1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第四节 导数与函数的综合问题 A组 基础题组 1.若某商品的年利润 y(万元 )与年产量 x(百万件 )的函数关系式为 y=-x3+27x+123(x0),则获得最大年利润时的年产量为 ( ) A.1 百万件 B.2百万件 C.3 百万件 D.4百万件 2.(2014 课标 ,12,5 分 )已知函数 f(x)=ax3-3x2+1,若 f(x)存在唯一的零点 x0,且 x00,则 a的取值范围是 ( ) A.(2,+) B.(1,+) C.(-, -2) D.(-, -1) 3.(2016 北京朝阳期中 )已知函数 f(x)=aln x+ -(a+1)x. (
2、1)当 a0时 ,求函数 f(x)的单调区间 ; (2)当 a=-1时 ,证明 f(x) . 4.(2018 北京海淀期中 )已知函数 f(x)=x3-x,g(x)=2x-3. (1)求曲线 y=f(x)在点 (1, f(1)处的切线方程 ; (2)求函数 f(x)在 0,2上的最大值 ; (3)求证 :存在唯一的 x0,使得 f(x0)=g(x0). =【 ;精品教育资源文库 】 = 5.(2016 北京海淀二模 )已知 f(x)=x3+ax2-a2x-1,a0. (1)当 a=2时 ,求函数 f(x)的单调区间 ; (2)若关于 x的不等式 f(x)0 在 1,+) 上有解 ,求实数 a的
3、取值范围 ; (3)若存在 x0既是函数 f(x)的零点 ,又是函数 f(x)的极值点 ,请写出此时 a的值 .(只需写出结论 ) B组 提升题组 6.(2017 北京西城一模 )已知函数 f(x)=ex- x2.设 l为曲线 y=f(x)在点 P(x0, f(x0)处的切线 ,其中x0 -1,1. (1)求直线 l的方程 (用 x0表示 ); (2)求直线 l在 y轴上的截距的取值范围 ; (3)设直线 y=a分别与曲线 y=f(x)和射线 y=x-1(x0,+) 交于 M,N 两点 ,求 |MN|的最小值及此时 a的值 . 7.(2018 北京海淀期末 )已知函数 f(x)=(x-1)ex
4、+ax2. (1)求曲线 y=f(x)在点 (0, f(0)处的切线方程 ; (2)求证 :“a0).若函数 h(x)在 (0,+) 上恰有2 个零点 ,求实数 a的取值范围 .=【 ;精品教育资源文库 】 = 答案精解精析 A组 基础题组 1.C y=-3x2+27=-3(x+3)(x-3), 当 00;当 x3时 ,y0,则由图象知 f(x)有负数零点 ,不符合题意 . 则 a0知 ,此时必有 f 0,即 a -3 +10,化简得 a24,又 a0. f (x)= +x-(a+1)= = . (1) 当 00,得 x1或 00,所以 f (x)0 恒成立 . 函数 f(x)的单调递增区间是
5、 (0,+). 当 a1时 ,令 f (x)0,得 xa或 00,h(-1)h(1)0, 所以函数 h(x)在 (-1,+) 上没有零点 , 又 h(-3)=-150, 令 f (x)=0,得 x1= 0,x2=-a1,即 a3时 , f(x)在区间 上单调递减 ,在 上单调递增 , 所以 f(x)在 1,+) 上的最小值为 f , 所以有 f 0, 即 + - -10. 解得 a - ,所以 a3.综上 ,a1. (3)a=1. B组 提升题组 6. 解析 (1)对 f(x)求导 ,得 f (x)=ex-x, 所以切线 l的斜率为 f (x0)= -x0, 由此得切线 l的方程为 y- =(
6、 -x0)(x-x0), 即 y=( -x0)x+(1-x0) + . (2)由 (1)得 ,直线 l在 y轴上的截距为 (1-x0) + . 设 g(x)=(1-x)ex+ x2,x -1,1. 所以 g(x)=x(1-ex),令 g(x)=0,得 x=0. 所以 g(x),g(x)随 x的变化情况如下表 : x -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 g(x) - 0 - g(x) + 1 所以函数 g(x)在 -1,1上单调递减 , =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 g(x)max=g(-1)= + , g(x)min=g(1)= , 所以直线 l在 y轴上的截距的取值范围是 .
7、(3)过 M 作 x轴的垂线 ,与射线 y=x-1(x0,+) 交于点 Q, 所以 MNQ 是等腰直角三角形 , 所以 |MN|=|MQ|= . 令 h(x)=ex- x2-x+1,x0,+). 所以 h(x)=ex-x-1(x0). 令 k(x)=ex-x-1(x0), 则 k(x)=ex-10(x0), 所以 k(x)=h(x)在 0,+) 上单调递增 , 所以 h(x)h(0)=0, 从而 h(x)在 0,+) 上单调递增 , 所以 h(x)min=h(0)=2, 此时 M(0,1),N(2,1). 所以 |MN|的最小值为 2,此时 a=1. 7. 解析 (1)依题意 , f (x)=
8、xex+2ax,xR, 所以切线的斜率 k=f (0)=0. 又因为 f(0)=-1,所以切线方程为 y=-1. (2)证明 :先证不必要性 . 当 a=0时 , f(x)=(x-1)ex,令 f(x)=0, 解得 x=1.此时 ,f(x)有且只有一个零点 , 故 “f(x) 有且只有一个零点 , 则 a0, 所以 f(x)有且只有一个零点 . (ii)当 ln(-2a)e2-20,所以 f(x)有且只有一个零点 . (iii)当 ln(-2a)0, 即 a1. 下面证明当 x1时 ,exx2. 设 g(x)= (x1),则 g(x)= . 当 x(1,2) 时 ,g(x)0,g(x)在 (1,2)上单调递增 ; 当 x(2,+) 时 ,g(x)0, g(x)在 (2,+) 上单调递减 .
