1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第五节 直线、平面垂直的判定与性质 A组 基础题组 1.已知在空间四边形 ABCD中 ,ADBC,ADBD, 且 BCD 是锐角三角形 ,则必有 ( ) A.平面 ABD 平面 ADC B.平面 ABD 平面 ABC C.平面 ADC 平面 BDC D.平面 ABC 平面 BDC 2.如图所示 ,四边形 ABCD中 ,ADBC,AD=AB,BCD=45,BAD=90. 将 ADB 沿 BD折起 ,使平面 ABD平面 BCD,构成三棱锥 A-BCD,则在三棱锥 A-BCD中 ,下列结论正确的是 ( ) A.平面 ABD 平面 ABC B.平面 ADC 平面 BD
2、C C.平面 ABC 平面 BDC D.平面 ADC 平面 ABC 3.(2017 北京朝阳期中 )设 m,n 是两条不同的直线 , 是两个不同的平面 .下列命题正确的是 ( ) A.若 m?,n ?,mn, 则 B.若 ,m,n, 则 mn C.若 ,m,n, 则 mn D.若 ,=m,nm, 则 n 4.(2015北京西城二模 )在长方体 ABCD-A1B1C1D1中 ,AB= ,BC=AA1=1,点 P为对角线 AC1上的动点 ,点 Q为底面 ABCD 上的动点 (点 P、 Q可以重合 ),则 B1P+PQ的最小值为 ( ) A. B. C. D.2 5.(2017 北京 ,18,14分
3、 )如图 ,在三棱锥 P-ABC中 ,PAAB,PABC,ABBC,PA=AB=BC=2,D 为线段 AC的中点 ,E为线段 PC上一点 . (1)求证 :PABD; (2)求证 :平面 BDE 平面 PAC; (3)当 PA 平面 BDE时 ,求三棱锥 E-BCD的体积 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 6.(2017 北京朝阳期中 )如图 ,四边形 ABCD为矩形 ,PA 平面 ABCD,DEPA. (1)求证 :BCCE ; (2)若直线 m?平面 PAB,试判断直线 m与平面 CDE的位置关系 ,并说明理由 ; (3)若 AB=PA=2DE=2,AD=3,求三棱锥 E-PCD的体积
4、 . 7.(2018 北京朝阳期中 )如图 ,在四棱锥 P-ABCD中 ,底面 ABCD 是菱形 ,PA 平面 ABCD,E 是棱 PA上的一个动点 . (1)若 E 为 PA的中点 ,求证 :PC 平面 BDE; (2)求证 :平面 PAC 平面 BDE; (3)若三棱锥 P-BDE的体积是四棱锥 P-ABCD的体积的 ,求 的值 . =【 ;精品教育资源文库 】 = B组 提升题组 8.(2016北京海 淀二模 )正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1,点 P,Q,R分别是棱 A1A,A1B1,A1D1的中点 ,以 PQR为底面作正三棱柱 ,若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方
5、体的表面上 ,则这个正三棱柱的高为( ) A. B. C. D. 9.(2017北京东城二模 )如图 ,在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中 ,侧面 ADD1A1和侧面 CDD1C1都是矩形 ,BCAD,ABD是边长为 2的正三角形 ,E,F 分别为 AD,A1D1的中点 . (1)求证 :DD1 平面 ABCD; (2)求证 :平面 A1BE 平面 ADD1A1; (3)若 CF 平面 A1BE,求棱 BC 的长度 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 10.(2018北京海淀期末 )如图 ,三棱柱 ABC-A1B1C1中 ,侧面 ABB1A1 底面ABC,ACAB,AC=AB=AA 1=
6、2,AA 1B1=60,E,F 分别为棱 A1B1,BC的中点 . (1)求证 :ACAE; (2)求三棱柱 ABC-A1B1C1的体积 ; (3)在直线 AA1上是否存在一点 P,使得 CP 平面 AEF.若存在 ,求出 AP 的长 ;若不存在 ,请说明理由 . 11.(2016北京西城二模 )如图 ,在周长为 8的矩形 ABCD中 ,E,F分别为 BC,DA的中点 .将矩形 ABCD沿着线段 EF折起 ,使得 DFA=60. 设 G为 AF上一点 ,且满足 CF 平面 BDG. (1)求证 :EFDG; (2)求证 :G为线段 AF 的中点 ; (3)求线段 CG长度的最小值 . =【 ;
7、精品教育资源文库 】 = 答案精解精析 A组 基础题组 1.C ADBC,ADBD,BCBD=B, AD 平面 BDC,又 AD?平面 ADC, 平面 ADC 平面 BDC. 2.D 易证 BDCD. 因为平面 ABD 平面 BCD,且平面 ABD 平面 BCD=BD,CD?平面 BCD,故 CD 平面 ABD,则 CDAB. 又 ADAB,ADCD=D,AD ?平面 ADC, CD?平面 ADC, 故 AB 平面 ADC. 又 AB?平面 ABC, 平面 ADC 平面 ABC. 3.B 由 m,n是两条不同的直线 , 是两个不同的平面知 : 在 A 中 ,若 m?,n ?,mn, 则 与 相
8、交或平行 ,故 A错误 ; 在 B 中 ,若 ,m,n, 则 m,mn, 故 B正确 ; 在 C 中 ,若 ,m,n, 则 m与 n相交、平行或异面 ,故 C错误 ; 在 D 中 ,若 ,=m,nm, 则 n与 相交、平行或 n?, 故 D错误 .故选 B. 4.C 5. 解析 本题考查线面垂直的判定和性质 ,面面垂直的判定及线面平行的性质 ,三棱锥的体积 .考查空间想象能力 . (1)因为 PAAB,PABC, 所以 PA 平面 ABC. 又因为 BD?平面 ABC, 所以 PABD. (2)因为 AB=BC,D为 AC中点 , 所以 BDAC. 由 (1)知 ,PABD, 所以 BD 平面
9、 PAC. 因为 BD?平面 BDE,所以平面 BDE 平面 PAC. (3)因为 PA 平面 BDE,平面 PAC 平面 BDE=DE, =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 PADE. 因为 D为 AC 的中点 , 所以 DE= PA=1,BD=DC= . 由 (1)知 ,PA 平面 ABC, 所以 DE 平面 ABC. 所以三棱锥 E-BCD的体积 V= BDDCDE= . 6. 解析 (1)证明 :因为 PA 底面 ABCD,PADE, 所以 DE 底面 ABCD. 所以 DEBC. 因为四边形 ABCD为矩形 , 所以 BCCD. 又因为 CDDE=D, 所以 BC 平面 CDE,
10、所以 BCCE. (2)直线 m 平面 CDE.证明如下 : 因为 PADE, 且 PA?平面 PAB,DE?平面 PAB, 所以 DE 平面 PAB. 在矩形 ABCD中 ,CDBA, 且 BA?平面 PAB,CD?平面 PAB, 所以 CD 平面 PAB. 又因为 CDDE=D, 所以平面 PAB 平面 CDE. 又因为直线 m?平面 PAB, 所以直线 m 平面 CDE. (3)由题意知 ,三棱锥 E-PCD 的体积等于三棱锥 P-CDE的体积 . 由 (1)可知 ,BC 平面 CDE. 又因为 ADBC, 所以 AD 平面 CDE. 易证 PA 平面 CDE,所以点 P 到平面 CDE
11、的距离等于 AD的长 . 因为 SCDE = CDDE= 21=1, =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以三棱锥 E-PCD的体积 V= SCDE AD= 13=1. 7. 解析 (1)证明 :如图 ,设 AC交 BD于 O,连接 EO. 因为底面 ABCD是菱形 ,所以 O是 AC的中点 .又因为 E为 PA 的中点 ,所以 EOPC. 因为 PC?平面 BDE,EO?平面 BDE,所以 PC 平面 BDE. (2)证明 :因为底面 ABCD是菱形 , 所以 ACBD. 又因为 PA 平面 ABCD,BD?平面 ABCD, 所以 PABD. 因为 PAAC=A, 所以 BD 平面 PAC.
12、 因为 BD?平面 BDE,所以平面 PAC 平面 BDE. (3)设四棱锥 P-ABCD的体积为 V. 因为 PA 平面 ABCD,所以 V= S 菱形 ABCDPA. 又因为底面 ABCD是菱形 ,BD 为对角线 , 所以 SABD =SBCD = S 菱形 ABCD, 所以 VP-ABD= S ABD PA= V. 根据题意 ,VP-BDE= V, 所以 VE-ABD=VP-ABD-VP-BDE= V- V= V. 又因为 VE-ABD= S ABD EA, 所以 = = . =【 ;精品教育资源文库 】 = B组 提升题组 8.D 连接 A1C,A1C1,B1D1. 在正方形 A1B1
13、C1D1中 ,A1C1B 1D1, 又 CC 1 面 A1B1C1D1, B1D1?面 A1B1C1D1, CC 1B 1D1,A 1C1CC 1=C1, B 1D1 面 A1CC1.B 1D1A 1C. 又 R 、 Q分别为 A1D1、 A1B1的中点 , RQB 1D1,RQA 1C. 同理可证 ,PQA 1C. 又 RQPQ=Q,A 1C 面 PQR. 故此正三棱柱的侧棱必与 A1C 平行 . 连接 AC,BD交于 M,连接 PM. P 为 AA1的中点 ,M 为 AC的中点 , PMA 1C,PM 面 PQR, 故 M 为正三棱柱另一底面的一个顶点 . 故 PM的长即为正三棱柱的高 .
14、 在 AA 1C中 ,PM= A1C= . 9. 解析 (1)证明 :因为侧面 ADD1A1和侧面 CDD1C1都是矩形 , 所以 DD1AD, 且 DD1CD. 因为 ADCD=D, 所以 DD1 平面 ABCD. (2)证明 :因为 ABD 是正三角形 ,且 E为 AD的中点 , 所以 BEAD. 因为 DD1 平面 ABCD,BE?平面 ABCD, =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 BEDD 1. 因为 ADDD 1=D, 所以 BE 平面 ADD1A1. 因为 BE?平面 A1BE, 所以平面 A1BE 平面 ADD1A1. (3)因为 BCAD,ADA 1D1, 所以 BCA
15、1F. 所以 B,C,F,A1四点共面 . 因为 CF 平面 A1BE, 平面 BCFA1 平面 A1BE=A1B, 所以 CFA 1B. 所以四边形 BCFA1是平行四边形 . 所以 BC=FA1= AD=1. 10. 解析 (1)证明 :三棱柱 ABC-A1B1C1中 , 侧面 ABB1A1 底面 ABC,ACAB, 因为侧面 ABB1A1 底面 ABC=AB,AC?底面 ABC, 所以 AC 平面 ABB1A1,又因为 AE?平面 ABB1A1, 所以 ACAE. (2)连接 AB1,因为三棱柱 ABC-A1B1C1中 ,所以 A1B1=AB. 因为 AB=AA1=2,所以 A1B1=A
16、A1=2. 又因为 A A1B1=60, 所以 AA 1B1是边长为 2的正三角形 . 因为 E是棱 A1B1的中点 ,所以 AEA 1B1,AE= . 又因为 AEAC,A 1C1AC, 所以 AEA 1C1. 因为 A1C1A 1B1=A1, A1C1、 A1B1?底面 A1B1C1, 所以 AE 底面 A1B1C1. =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以三棱柱 ABC-A1B1C1的体积为 V= AE = A1B1A 1C1AE= 22 =2 . (3)在直线 AA1上存在点 P,使得 CP 平面 AEF. 理由如下 :连接 BE并延长 ,与 AA1的延长线相交 ,设交点为 P.连接
17、CP. 因为 BB1AA 1,故 = = . 由于 E为棱 A1B1的中点 ,所以 EA1=EB1,故有 PE=EB. 又 F 为棱 BC 的中点 ,连接 EF, 故 EF为 BCP 的中位线 ,所以 EFCP. 又 EF?平面 AEF,CP?平面 AEF, 所以 CP 平面 AEF. 故在直线 AA1上存在点 P, 使得 CP 平面 AEF. 此时 A1P=BB1=2,AP=2AA1=4. 11. 解析 (1)证明 :因为在折起前的矩形 ABCD中 ,E,F分别为 BC,DA的中点 , 所以在立体图形中 ,EFFD,EFFA, 又因为 FDFA=F, 所以 EF 平面 DFA. 又因为 DG?平面 DFA, 所以 EFDG.
