1、20182019学年度第一学期期末考试试题高二数学（选修物理）一、填空题请把答案填写在答题纸相应位置上1.双曲线的渐近线方程是 （用一般式表示）【答案】【解析】由题意得在双曲线中，所以双曲线的准线方程为。答案：2.焦点为的抛物线标准方程是_.【答案】【解析】【分析】设抛物线标准方程为x22py，由焦点坐标公式可得p值，将p值代入抛物线方程即可得答案【详解】抛物线的焦点为（0，-5）在y轴上，设抛物线的标准方程为x22py，则有5，解可得p10，故抛物线标准方程为x220y；故答案为：x220y【点睛】本题考查抛物线的标准方程，注意分析抛物线焦点的位置，进而设出抛物线的标准方程3.命题“若，则”
2、的逆否命题为_.【答案】若，则【解析】【分析】根据逆否命题的定义进行求解即可【详解】命题若p则q的逆否命题为若q则p，则命题“若，则”的逆否命题为：若x20，则x0，故答案为：若x20，则x0【点睛】本题考查四种命题之间的关系，根据逆否命题的定义是解决本题的关键4.若，且，则的最大值是_.【答案】1【解析】试题分析：根据约束条件画出可行域，当直线z=x-y过点A（1，0）时，z最大值，最大值是1，考点：简单的线性规划，以及利用几何意义求最值5.已知双曲线与椭圆有公共焦点且离心率为，则其标准方程为_.【答案】【解析】【分析】求出椭圆的焦点坐标得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的离心率，求解a，c，
3、得到b，即可求出双曲线方程【详解】双曲线与椭圆有公共焦点，可得c5，双曲线的离心率为，可得a3，则b4，则该双曲线方程为：故答案为：【点睛】本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力6.已知函数，则_.【答案】3【解析】【分析】对函数求导，将x=代入即可得到答案.【详解】f(x)=2cos2x+，则故答案为：3【点睛】本题考查导数公式的应用，考查计算能力.7.函数的极小值是_.【答案】【解析】【分析】求函数的导数，由f(x)0，得增区间，由f(x)0，得减区间，从而可确定极值【详解】函数，定义域为,则f(x)x-，由f(x)0得x1，f（x）单调递增；当x0或0x1时，f(x)0，f
4、（x）单调递减，故x1时，f（x）取极小值故答案为：【点睛】本题考查导数的运用：求单调区间和求极值，注意判断极值点的条件，考查运算能力，属于基础题8.已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义转化为对应关系进行求解即可【详解】x2（a+1）x+a0即（x1）（xa）0，p是q的必要不充分条件，当a1时，由（x1）（x1）0得x1，此时不满足条件，当a1时，由（x1）（xa）0得ax1，此时不满足条件当a1时，由（x1）（xa）0得1xa，若p是q的必要不充分条件，则a3，即实数a的取值范围是（3，+），故答案为：（3，+）【点睛】本题
5、主要考查充分条件和必要条件的应用，根据定义转化为不等式的包含关系是解决本题的关键.9.若直线是曲线的一条切线，则实数的值是_.【答案】1【解析】【分析】设出切点坐标P（x0，ex0），利用导数的几何意义写出在点P处的切线方程，由直线yx+b是曲线yex的切线，根据对应项系数相等可求出实数b的值【详解】yex，yex，设切点为P（x0，ex0），则在点P处的切线方程为yex0ex0（xx0），整理得yex0xex0x0+ex0，直线是yx+b是曲线yex的切线，ex01，x00，b1故答案为：1【点睛】本题考查导数的几何意义，考查曲线在某点处的切线方程的求法，属于基础题.10.已知是椭圆上一点，
6、为椭圆的两个焦点，则的最大值与最小值的差是_.【答案】1【解析】试题分析：设P（x0，y0），|PF1| =2+x0，|PF2| =2-x0，|PF1|PF2|=4-x02，|PF1|PF2|的最大值是4，最大值是3，的最大值与最小值之差1。考点：本题主要考查椭圆的标准方程及几何性质。点评：应用焦半径公式，将最值问题转化成闭区间上二次函数的最值问题。11.设集合，若，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】若AB，得x2+2（1a）x+3a0在x0，3有解，分离变量再构造函数g（t），转为求函数最值即可得解.【详解】集合Ax|x2+2（1a）x+3a0，Bx|0x3，若AB，得x2+2（
7、1a）x+3a0在x0，3有解，即（2x+1）ax2+2x+3在x0，3有解，设t2x+1，则t1，7，则x，则a，设g（t），t1，7，由对勾函数的性质可得yg（t）在（1，3）为减函数，在（3，7）上为增函数，又g（t）的最小值为g(3)2，所以实数a的取值范围是2，+），故答案为：2，+）【点睛】本题考查不等式有解问题及集合交集的运算，考查转化与化归思想，考查对勾函数图像的性质，属中档题12.已知，R+，且，则的最小值是_.【答案】【解析】【分析】根据a，b0，及a+3b4ab即可得出，则，展开根据基本不等式即可得最小值【详解】a，bR+，且a+3b4ab； ；3a+4b的最小值为故答案
8、为：【点睛】本题考查基本不等式在求最值时的应用，注意1的妙用.13.已知椭圆过点，其短轴长的取值范围是，则椭圆离心率的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由椭圆的短轴长的取值范围，结合a，b关系，即可得椭圆的离心率的范围【详解】根据题意，椭圆过点，则，短轴长2b的取值范围是，可得b2,即e，故答案为：【点睛】本题考查椭圆的几何性质，求解椭圆的离心率的范围，注意短轴长为2b14.已知，若，使成立，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】问题等价于“当xe，e2时，有f（x）maxf（x）max+a”，利用导数性质结合分类讨论思想，能求出实数a的取值范围【详解】若，使成立，等价于“当xe，
9、e2时，有f（x）maxf（x）max+a”，当xe，e2时，lnx1，2，1，f（x）a+（）2+a，f（x）max+a，问题等价于：“当xe，e2时，有f（x）max”，当a，即a时，f（x）a+（）2+a0，f（x）在e，e2上为减函数，则f（x）maxf（e）eaee（1a），a1，当a0，即0a时，xe，e2，1，f（x）a+，由复合函数的单调性知f（x）在e，e2上为增函数，存在唯一x0（e，e2），使f（x0）0且满足：f（x）在e，x0）递减，在（x0，e2递增，f（x）maxf（e）或f（e2），而f（e2）ae2，故ae2，解得：a，无解舍去；综上，实数a的取值范围为故答案
10、为：【点睛】本题主要考查函数、导数等基本知识考查运算求解能力及化归思想、函数方程思想、分类讨论思想的合理运用二、解答题请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.已知：函数在R上是单调增函数，：（1）若为真命题，求实数的取值范围；（2）若为假命题，求实数的取值范围【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）函数f（x）mx2sinx在R上是单调递增函数得xR时，f（x）0恒成立，即m2cosx0，即m2cosx恒成立，得m范围，取补集即可；（2）解二次不等式m2m60，利用复合命题及其真假列不等式组可得解【详解】（1）由函数在R上是单调递增函数，得R时，恒成立，且无
11、连续区间上的导数为0，则 ，恒成立，所以，则若为真命题，则 （2）由，得，则，所以当为假命题时，或 又为假命题，则，都是假命题，所以实数满足解得【点睛】本题考查复合命题及其真假、利用导数研究函数的单调性及解二次不等式，属简单题16.如图，在棱长为3的正方体中，点在棱上，且 （1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求二面角的正弦值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）以为原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，求和， 利用空间向量的数量积求解即可（2）求平面PAD1和平面BAD1的法向量，利用空间向量的数量积求解即可【详解】如图建立以为原点，分别以，的方向为轴，轴，
12、轴的正方向的空间直角坐标系，因为棱长为3，且可得， （1）则，所以 （2）依题意，可得设为平面的法向量，则即不妨令，可得；设为平面的法向量，则即不妨令，可得因此有，于是 所以，二面角的正弦值为【点睛】本题考查空间向量的数量积的应用，二面角与异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力17.如图，在等腰直角中， ，点，分别为，边上的动点，且 设，的面积为（1）试用的代数式表示；（2）当为何值时，的面积最大？求出最大面积【答案】（1）（2）当时，的面积最大，最大面积为 【解析】【分析】（1）先已知条件得到，利用相似成比例化简即可得到EC.(2)利用面积公式表示出面积，然后求导，判断单调性，由
13、单调性即可得到最值.【详解】（1）在中， ，又，则 在和中，由得， 所以因直角中，则，所以，代入 ； （2）的面积为，则， 则 ，得 当时，所以在上单调递增；当时，所以在上单调递减所以当时， 当时，的面积最大，最大面积为【点睛】本题考查函数解析式的求解，考查利用导数求函数最值问题，属于基础题.18.已知抛物线经过点，过作直线与抛物线相切（1）求直线的方程；（2）如图，直线，与抛物线交于，两点，与直线交于点，是否存在常数，使【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）将T（2，2）代入y22px，得抛物线方程，设直线l方程与抛物线方程联立，通过0得k2，得直线l方程.（2）设直线l的方程为y
14、x+b，联立方程组解得P（22b，2b），则PT25b2，设A（x1，y1），B（x2，y2），与抛物线联立，利用弦长公式，转化求解即可【详解】（1）将代入，则，所以抛物线方程为设直线的方程为，联立方程组消得，因相切，由得，所以直线的方程为 设直线的方程为，联立方程组消得，因相切，由得，所以直线的方程为 （2）因，设直线的方程为，联立方程组解得，则 设，联立方程组得，所以，； ，所以存在实数，使 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查设而不求思想方法的应用，考查分析问题解决问题的能力19.已知椭圆的离心率，且经过点，为椭圆的四个顶点（如图），直线过右顶点且垂直于轴（1）求该椭圆
15、的标准方程；（2）为上一点（轴上方），直线，分别交椭圆于，两点，若，求点的坐标【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用椭圆的离心率和经过的点，列方程组求解即可（2）设P（2，m），m0，得直线PC方程与椭圆联立，利用韦达定理，推出E的坐标， 同理求F点横坐标，由SPCD2SPEF，转化求解即可【详解】（1）因的离心率，且经过点，所以解得，所以椭圆标准方程为（2）由（1）知椭圆方程为，所以直线方程为， 设，则直线的方程为， 联立方程组消得，所以点的横坐标为；又直线的方程为联立方程组消得，所以点的横坐标为 由得，则有，则，化简得，解得，因为，所以，所以点的坐标为【点睛】本题考查椭圆标准方程的
16、求法和直线与椭圆的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力和转化思想的应用.20.已知函数，R（1）若函数在上单调递减，在上单调递增，求的值；（2）求函数在上的最大值；（3）当时，若有3个零点，求的取值范围【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据函数的单调性求出a值即可；（2）求出函数导数，通过讨论a的范围，求出函数最大值即可；（3）求出函数导数，根据函数的单调性求出函数的极值，结合图象判断a的范围即可【详解】（1）由，则因函数在上单调递减，在上单调递增，得，当时，显然满足要求，所以（2）因 ，当，即时，在上单调递增，则； 当，即时，在上单调递减，则；当，即时，当
17、时，；当时，所以在递减，在递增，则又，故当时，；当时，；当时，综上，在上的最大值 （3）因得或；又，单调递增；，单调递减；，单调递增，则， 令，因R，所以R，所以与图像相同则的零点个数即为方程不同实数解的个数当(如图1)，即时，有唯一负实数解，则存在使，而只有一个实数解，故只有一个实数解当（如图2），即时，有两个不同实数解，因，与各有一个实数解，故有两个不同的实数解 当时（如图3），即，有三个不同实数解，因，有一个实数解，则与只能各有一个实数解则由（2）可知在单调递减，单调递增，则即由得，当时，因，故有综上，时，若有3个零点，则的取值范围是【点睛】本题考查了函数的单调性，极值，最值，零点问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，数形结合，综合性较强
