1、沧州市20182019学年度第一学期期末教学质量监测高二数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某学校高一、高二年级共有1800人，现按照分层抽样的方法，抽取90人作为样本进行某项调查.若样本中高一年级学生有42人，则该校高一年级学生共有（ ）A. 420人 B. 480人 C. 840人 D. 960人【答案】C【解析】【分析】先由样本容量和总体容量确定抽样比，用高一年级抽取的人数除以抽样比即可求出结果.【详解】由题意需要从1800人中抽取90人，所以抽样比为，又样本中高一年级学生有42人，所以该校高一年级学生
2、共有人.故选C【点睛】本题主要考查分层抽样，先确定抽样比，即可确定每层的个体数，属于基础题型.2.已知命题，总有，则为( )A. ，使得 B. ，使得C. ，使得 D. ，使得【答案】B【解析】【分析】由含有一个量词的命题的否定直接可写出结果.【详解】命题，总有的否定为：，使得，故选B【点睛】本题主要考查含有一个量词的命题的否定，通常只需要改量词和结论即可，属于基础题型.3.从2名男生和2名女生中选择2人去参加某项活动，则2人中恰好有1名女生的概率为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用古典概型概率公式计算即可.【详解】解：从2名男生和2名女生选出2名参加某项活动，基本事件总数
3、n，2人中恰好有1名女生包含基本事件的个数为：，2人中恰好有1名女生的概率为p故选：A【点睛】解决古典概型问题时，首先分析试验的基本事件是什么，然后找到所有的基本事件，计算事件总数，其次要找到所研究事件包含的基本事件，计算总数，然后根据比值计算概率.4.点是抛物线的焦点，若抛物线上的点到的距离为3，则点到轴的距离为A. B. C. 2 D. 3【答案】C【解析】【分析】利用抛物线定义即可得到点到轴的距离.【详解】解：根据抛物线方程可求得焦点坐标为（0，1），准线方程为y1，根据抛物线定义，yM+13，解得yM2，点M到x轴的距离为2，故选：C【点睛】解决与抛物线有关的问题时，要注意抛物线的定义
4、在解题中的应用。抛物线定义有两种用途：一是当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点M满足定义，它到准线的距离为d，则|MF|d，可解决有关距离、最值、弦长等问题；二是利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线5.管理部门对某品牌的甲、乙两种食品进行抽样检测，根据两种食品中某种物质的含量数据，得到下面的茎叶图：由图可知两种食品中这种物质含量的平均数与方差的大小关系是( )A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】B【解析】【分析】由茎叶图中的数据计算出平均数和方差即可比较大小.【详解】由茎叶图可得：，所以，,所以，故选B【点睛】本题主要考查茎叶图，由茎叶图中数据计算平均数和方
5、差，熟记公式即可，也可根据茎叶图的特征判断，属于基础题型.6.已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，则双曲线的方程可能是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由双曲线焦点位置设出双曲线方程，再由渐近线的斜率即可求出结果.【详解】因为双曲线的焦点在轴上，所以设双曲线的方程为，又渐近线方程为，所以,所以双曲线方程可能为故选D【点睛】本题主要考查双曲线的方程，由渐近线方程可确定a,b的比值，进而可确定双曲线的方程，属于基础题型.7.为函数图象上一点，当直线，与函数的图象围成区域的面积等于时，的值为A. B. C. 1 D. 【答案】C【解析】【分析】确定被积区间及被积函数，利用定积
6、分表示面积，即可得到结论【详解】直线，与函数的图象围成区域的面积Sdx故选：C【点睛】本题考查面积的计算，解题的关键是确定曲线交点的坐标，确定被积区间及被积函数，利用定积分表示面积8.若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离大于实轴长，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由点到直线的距离公式表示出一个焦点到一条渐近线的距离，再与实轴比较大小，列出不等式即可求出结果.【详解】由题意不妨令焦点为，其中一条渐近线方程为，所以焦点到渐近线的距离为，整理得：，故.所以选D【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质，由点到直线的距离公式求出焦点到渐近线的距离，根据题意列
7、出不等式即可求解，属于基础题型.9.执行如图所示的程序框图，如图输出的的值为2，则判断框中的条件可能是（ ）A. ？ B. ？ C. ？ D. ？【答案】A【解析】【分析】根据程序框图逐步执行循环结构，即可求出结果.【详解】第一步：由初始值得：；继续执行循环；第二步：，此时，结束循环，故判断框中应填？故选A【点睛】本题主要考查程序框图，由程序框图，分析框图的作用即可求解，属于基础题型.10.如图，在三棱锥中，平面，为的中点，则直线与平面所成角的余弦值为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】取PC的中点为E，连接EO，易证OE平面PAC，即OCE为直线与平面所成角.【详解】取PC的中
8、点为E，连接EO，可得OEBC，平面，平面ABC，又ACBC，ACBC=C，BC平面PAC，又OEBC，OE平面PAC，OCE为直线与平面所成角，设，OE=1.，OC=cosOCE=故选：B【点睛】本题考查了直线与平面所成的角的作法和求法，解题时要按作、证、算三步规范解题，要能熟练的将空间问题转化为平面问题加以解决11.若函数在上有极值点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由函数在上有极值点，得到其导函数所对应的方程在上有实根，分类讨论即可求出结果.【详解】因为，所以，由函数在上有极值点，可得在上有实根，又恒成立，所以方程必有实根，由得函数过点,所以当时
9、，函数开口向下，对称轴在轴左侧，故此时与轴正半轴无交点，不满足题意，所以舍去;当时，与轴正半轴无交点，不满足题意，所以舍去;当时，函数开口向上， 又函数过点，所以无论对称轴在轴的任何一侧，都能满足函数与轴正半轴有交点，即方程在上有实根；综上，实数的取值范围是：故选A【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，由函数在某区间有极值，可得其导函数所对应的方程在某区间内有实根，通常用分类讨论的思想来处理，属于常考题型.12.直线与抛物线交于，两点，为抛物线上一点，三点的横坐标依次成等差数列.若中，边上的中线的长为3，则的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先设，三点坐标，由 ，
10、三点的横坐标依次成等差数列，以及为边上的中线可表示出的坐标，再由点差法求出直线的方程，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理即可求出结果.【详解】设，因为，三点的横坐标依次成等差数列，所以，又因为为边上的中线，所以轴，即，因为，在抛物线上，所以有，两式作差可得,所以,所以直线的方程为，即，由得：，所以，所以，故.故选【点睛】本题主要考查直线与抛物线的综合，常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理以及题中条件即可求解，属于常考题型二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.函数，则_【答案】【解析】【分析】先对函数求导，再将代入即可求出结果.【详解】因为，所以，所以.故答案为【点睛】
11、本题主要考查导函数的值，利用取到公式求出导函数即可求解，属于基础题型.14.如图，为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于其中一点，与轴交于点，且.直线与的外角平分线交于点，则的周长为_【答案】3【解析】【分析】由题意先得与相似，由确定相似比，再结合椭圆定义即可求出结果.【详解】由题意可得，是的外角平分线，所以，所以，又，所以，又由椭圆的方程可得：，所以的周长为.故答案为3【点睛】本题主要考查椭圆的定义，由两三角形相似确定相似比，结合椭圆的定义即可求解.15.如图，边长为的正三角形内接于圆，点为弧上任意一点，则的面积大于的概率为_【答案】【解析】【分析】过点作直线与平行交弧于点，的面积恰好为，点
12、由点向点移动的过程中，的面积越来越大，结合古典概型中与角度有关的几何概型即可求出结果.【详解】因为的边长为，所以的高为设外接圆的半径为，则，所以，,所以点到的距离为，过点作直线与平行交弧于点，的面积恰好为，所以点由点向点移动过程中，的面积越来越大；点由点向点移动过程中，的面积越来越小，因此，为使的面积大于，只需点由点向点移动，所以由几何概型可知，的面积大于的概率等于与角大小之比.因，所以的面积大于的概率为.故答案为【点睛】本题主要考查几何概型，根据题意，将问题转化为求圆心角之比即可，属于基础题型.16.已知函数，其图象上存在两点，在这两点处的切线都与轴平行，则实数的取值范围是_【答案】【解析】
13、【分析】先对函数求导，由题意函数图象上存在两点，的切线都与轴平行，即是在上有两不等实根，再由导数的方法求解即可.【详解】因为，所以，由函数图象上存在两点，的切线都与轴平行，所以在上有两不等实根，即在上有两不等实根；即直线与曲线在上有两个不同交点.因，由得，由得;所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以有最小值；又，当时，所以为使直线与曲线在上有两个不同交点，只需.故答案为【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，将问题转化为导函数有两实根的问题，再转化为两函数有两交点的问题，结合函数单调性和值域即可求解，属于常考题型.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
14、.） 17.命题：实数满足集合，：实数满足集合.（1）若，为真命题，求集合，；（2）若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）解绝对值不等式与分式不等式，即可得到集合，；（2）是成立的充分不必要条件，即，建立不等式组，即可得到结果.【详解】（1）由，得，.由，解得.（2）是成立的充分不必要条件，.，即实数的取值范围是.【点睛】本题考查不等式的解法，集合的有关概念及运算等基本知识，属基础题18.为保护农民种粮收益，促进粮食生产，确保国家粮食安全，调动广大农民粮食生产的积极性，从2004年开始，国家实施了对种粮农民直接补贴.通过对20142018年的数
15、据进行调查，发现某地区发放粮食补贴额（亿元）与该地区粮食产量（万亿吨）之间存在着线性相关关系.统计数据如下表：年份2014年2015年2016年2017年2018年补贴额亿元91012118粮食产量万亿吨2325302621（）请根据如表所给的数据，求出关于的线性回归直线方程；（）通过对该地区粮食产量的分析研究，计划2019年在该地区发放粮食补贴额7亿元，请根据（）中所得的线性回归直线方程，预测2019年该地区的粮食产量.（参考公式：，）【答案】（1）（2）粮食产量大约为18.7万亿吨.【解析】【分析】（1）由最小二乘法求出a,b的估计值，进而可得回归直线方程；（2）将代入（1）所求的回归方程
16、即可求出结果.【详解】（1）由已知数据，可得，.代入公式，经计算，得，.所求关于的线性回归直线方程为.（2）由题意，知，代入（1）中所得线性回归直线方程，计算得.2019年该地区的粮食产量大约为18.7万亿吨.【点睛】本题主要考查线性回归方程以及利用线性回归方程求预测值的问题，由最小二乘法先求出a,b的估计值，进而即可求解，属于基础题型.19.某校高二（20）班共50名学生，在期中考试中，每位同学的数学考试分数都在区间内，将该班所有同学的考试分数分为七个组：，绘制出频率分布直方图如图所示.（1）根据频率分别直方图，估计这次考试学生成绩的中位数和平均数；（2）已知成绩为104分或105分的同学共
17、有3人，现从成绩在中的同学中任选2人，则至少有1人成绩不低于106分的概率为多少？（每位同学的成绩都为整数）【答案】（1）中位数为114，平均数为114.32（2）【解析】【分析】（）根据中位数的两边概率相等，即可求出中位数；由每组的中间值乘以该组的频率再求和即可求出平均数；（）先由题意求出成绩在的人数，对成绩为104分或105分的同学和成绩为106分、107分的学生编号，用列举法结合古典概型的概率计算公式即可求出结果.【详解】（）由频率分布直方图，知，所以学生成绩的中位数为.平均数为 .（）因为，所以成绩在之间的学生共有6人.设成绩为104分、105分的学生为，成绩为106分、107分的学生
18、为，.从6人中任选2人，共有，15种情况，其中恰好2人都不低于106分的有，共3种情况，所以从成绩在中的同学中任选2人，则恰好2人成绩都不低于106分的概率为.【点睛】本题主要考查根据频率分布直方图求中位数、平均数的问题以及古典概型的概率计算公式的问题；频率分布直方图中的中位数两边概率之和相等，根据每组的中间值乘该组的频率再求和即可求出平均数；列举法处理古典概型的问题是常用的做法，属于基础题型.20.在如图（1）所示的四边形中，.将沿折起，使二面角为直二面角（如图（2），为的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】(1)由题意可得平面，故 .
19、 以为坐标原点，分别以，为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，明确平面BOP的法向量与AD的方向向量，利用二者共线，即可证得；（2）求出平面的法向量，利用法向量的夹角余弦即可得到二面角的余弦值.【详解】（1）证明：由题，知，.又二面角为直二面角，平面.又平面，.以为坐标原点，分别以，为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系.，由平面几何知识，可得，.为的中点，.设平面的法向量为.即令，则.又，.平面.（2）解：设为中点，连接，如图.平面，平面，平面平面，交线为.又为等边三角形，.又平面.平面.是平面的法向量.，.，二面角的余弦值为.【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，
20、建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.21.椭圆的右焦点为，为圆与椭圆的一个公共点，.（）求椭圆的标准方程；（）如图，过作直线与椭圆交于，两点，点为点关于轴的对称点.（1）求证：；（2）试问过，的直线是否过定点？若是，请求出该定点；若不是，请说明理由.【答案】（）；（）（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（）根据题意布列关于a，b的方程组，即可得到椭圆的标准方程；（）（1）由题意，设的方程为，联立方程可得，
21、利用韦达定理即可得到结果；（2）直线的方程为，可化为 .从而得到定点.【详解】（）解：设是椭圆的左焦点，连接，.，.又，.椭圆的标准方程为.（）（1）证明： 当直线斜率为0时，的方程为，等式显然成立；当直线斜率不为0时，由题意，设的方程为.，点为点关于轴的对称点，则.整理，得.，. .等式成立.（2）解：过，的直线过定点.当直线斜率不为0时，直线的方程为，即，即.由（1）可知， . .过，的直线过定点；当直线斜率为0时，的方程为，直线也过定点.综上可知，过，的直线过定点.【点睛】圆锥曲线中定点问题的常见解法（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故
22、得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意22.已知函数，.（1）求函数在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3） 求证：当时，恒成立.【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，得到切线斜率，利用点斜式得到切线方程；（2）解不等式即可得到函数的单调区间；（3）要证恒成立，即证恒成立.分别求左侧函数与右侧函数的最小值与最大值即可.【详解】（1）解：，.又，即.函数在点处的切线方程为.（2）解：函数的定义域为.，当时，；当时，.函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（3）证明：由，得，要证恒成立，即证恒成立.令，.，当时，为增函数；当时，为减函数.又，当时，为增函数；当时，为减函数.恒成立.当时，恒成立.【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.(3)构造双函数，求函数的最值即可.
