1、(6)(6)角动量、角动量守恒定律角动量、角动量守恒定律角动量守恒定律角动量守恒定律教材：教材：5.2与与5.5节（学习角动节（学习角动量守恒定律主要是为了研究刚量守恒定律主要是为了研究刚体的定轴转动问题，注意体的定轴转动问题，注意刚体刚体是特殊的质点系是特殊的质点系）作业：练习作业：练习6一、概念：角动量、力矩、冲量矩、角量系统一、概念：角动量、力矩、冲量矩、角量系统二、质点角动量定理二、质点角动量定理三、质点系的角动量定理三、质点系的角动量定理四、角动量守恒定律四、角动量守恒定律yzm rpo rL p 质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律概念：概念： 刚体、定轴转动刚体、定轴转动(6
2、)(6)角动量、角动量守恒定律角动量、角动量守恒定律刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律角动量角动量转动转动惯量惯量角动量时角动量时间变化率间变化率力矩力矩角动量角动量定理定理角动量角动量守恒定律守恒定律结构框图：结构框图：重要性：重要性：中学未接触的新内容中学未接触的新内容大到星系，小到基本粒子都有旋转运动；大到星系，小到基本粒子都有旋转运动；微观粒子的角动量具有量子化特征；微观粒子的角动量具有量子化特征；角动量守恒定律与空间旋转对称性相对应。角动量守恒定律与空间旋转对称性相对应。(6)(6)角动量、角动量守恒定律角动量、角动量守恒定律【引入】为什么提出【引入】为什么提出“角动量角动量”概念？概
3、念？1rvmP 2r问题一：问题一：两个质点如右图，以不同半径两个质点如右图，以不同半径的轨道转动，动量大小相等，位移方向的轨道转动，动量大小相等，位移方向相同时连动量方向也相同，该如何区别相同时连动量方向也相同，该如何区别两个质点？两个质点？vmrL 0 CvMp总总但是系统有机械运动，说明但是系统有机械运动，说明不宜使用动不宜使用动量来量度转动物体的机械运动量量来量度转动物体的机械运动量。问题二：问题二：将一绕通过质心的固定轴转动将一绕通过质心的固定轴转动的圆盘视为一个质点系，系统总动量为的圆盘视为一个质点系，系统总动量为C M* *引入与动量引入与动量 对应的角量对应的角量 角动量（动量
4、矩）角动量（动量矩）pL动量对参考点（或轴）求矩动量对参考点（或轴）求矩(6)(6)角动量、角动量守恒定律角动量、角动量守恒定律一、相关概念一、相关概念 1. 质点的质点的角动量角动量(angular momentum)mopr vmrprL 定义：定义： prprmvrL sin大小：大小： p r方向：方向：服服从从右右手手定定则则。组组成成的的平平面面，和和垂垂直直于于pryzm rpo rL p质点相对质点相对O点的矢径点的矢径(6)(6)角动量、角动量守恒定律角动量、角动量守恒定律v质点的角动量质点的角动量的的方向方向vmrprLvrLLrpmo 质点以角速度质点以角速度 作半径作半
5、径为为 的圆运动，相对圆心的的圆运动，相对圆心的角动量角动量r2mrL Lrxyzomrv 的方向符合右手法则。的方向符合右手法则。1）从）从位矢位矢 转向转向速度速度 2）夹角夹角 小于小于180度度L 注意注意四指四指代表代表质点相对于质点相对于0 0点的转动趋点的转动趋势势，则，则大拇指大拇指代表代表角动量的方向角动量的方向【特别】在圆轨迹运动时【特别】在圆轨迹运动时(6)(6)角动量、角动量守恒定律角动量、角动量守恒定律vmrL 直角坐标系中角直角坐标系中角动量的分量表示动量的分量表示yzxzpypL zxyxpzpL xyzypxpL pmor po r 注意注意* *必须指明参考点
6、，角动量才有实际意义。必须指明参考点，角动量才有实际意义。* *质点对某参考点的角动量反映质点绕该参考点旋转运动的质点对某参考点的角动量反映质点绕该参考点旋转运动的强弱。强弱。 LpprLo，大大小小相相同同，则则：、若若为为参参考考点点：以以00 Lo为为参参考考点点：以以(6)(6)角动量、角动量守恒定律角动量、角动量守恒定律2 2、力矩力矩(moment of force) FrM 单位：牛单位：牛米米（N m）定义：定义：力力对定点对定点的力矩的力矩rF odm大小：大小：FdrFFr sin方向：方向： 服从右手定则服从右手定则力矩力矩服从右手定则组成的平面和垂直于,Fr mo Mr
7、FMrFmoFrM 四指代表该力作用下质点相对于四指代表该力作用下质点相对于0 0点的转动趋势，则点的转动趋势，则大拇指大拇指代表代表角动角动量的方向量的方向【特别】在圆轨迹运动时【特别】在圆轨迹运动时(6)(6)角动量、角动量守恒定律角动量、角动量守恒定律例题、例题、365-783mjiviFjir已知：)()(jijivmrL65833)(smkgk/1742)(sNk56)()(ijiFrM783解：解：求角动量和力矩求角动量和力矩直角坐标系中直角坐标系中力矩的分量式力矩的分量式:yzxzFyFM zxyxFzFM xyzyFxFM FrM (6)(6)角动量、角动量守恒定律角动量、角动
8、量守恒定律合力为零时，其合力矩是否一定为零？合力为零时，其合力矩是否一定为零？合力矩为零时，合力是否一定为零？合力矩为零时，合力是否一定为零？ 0, 0oMFoFF 0, 0oMFFFo例：例：不不一一定定 作用力和反作用力对同一参作用力和反作用力对同一参考点合力矩为零考点合力矩为零。从而，质点系内力矩矢量和从而，质点系内力矩矢量和一定为零。一定为零。0 iiM内内1 2 12f21f1m2m1r2rdo讨讨 论论(6)(6)角动量、角动量守恒定律角动量、角动量守恒定律FrM 力矩为零的情况力矩为零的情况: :（1）力）力 等于零；等于零；F（2）力）力 的作用线与矢的作用线与矢径径 共线共线
9、(即即 ）即过即过0点的点的有心力有心力Fr0sin有心力：有心力：物体所受的力始终指向（或背离）某一物体所受的力始终指向（或背离）某一固定点固定点讨讨 论论 mo MrFpmor po r h2mh1力心力心按惯性定律知此时物体保按惯性定律知此时物体保持静止或者匀速直线状态持静止或者匀速直线状态(6)(6)角动量、角动量守恒定律角动量、角动量守恒定律?dd,ddtLFtpptrtprprttLdddd)(ddddtLMdd 作用于质点的合力对作用于质点的合力对参考点参考点 O 的力矩的力矩 ，等于质点对该点，等于质点对该点 O 的的角角动量动量随时间的随时间的变化率变化率.FrtprtLdd
10、dd0,ddptrvvprL二、质点的角动量定理二、质点的角动量定理(theorem of angular momentum) pv/(6)(6)角动量、角动量守恒定律角动量、角动量守恒定律质点的角动量定理质点的角动量定理(theorem of angular momentum) 质点角动量对时间的变化率等于作用于质点的力质点角动量对时间的变化率等于作用于质点的力矩矩质点角动量定理的质点角动量定理的微分形式微分形式。质点角动量的增量等于外力矩对质点的角冲量质点角动量的增量等于外力矩对质点的角冲量（冲量矩）（冲量矩）角动量定理的角动量定理的积分形式积分形式ttLLdtM00dtLdM 冲量矩冲量
11、矩(6)(6)角动量、角动量守恒定律角动量、角动量守恒定律 例例 一半径为一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内的光滑圆环置于竖直平面内.一质量为一质量为 m 的小球穿在圆环上的小球穿在圆环上, 并可在圆环上滑动并可在圆环上滑动. 小球开始时静小球开始时静止于圆环上的点止于圆环上的点 A (该点在通过环心该点在通过环心 O 的水平面上的水平面上),然后然后从从 A 点开始下滑点开始下滑.设小球与圆环间的摩擦略去不计设小球与圆环间的摩擦略去不计.求小球求小球滑到点滑到点 B 时对环心时对环心 O 的角动量和角速度的角动量和角速度.质点的角动量定理质点的角动量定理ABPRnFv(6)(6)角动量、
12、角动量守恒定律角动量、角动量守恒定律小球受重力和支持力作用小球受重力和支持力作用,圆圆环的支持力为有心力，力矩环的支持力为有心力，力矩为零；为零；重力矩重力矩垂直纸面向里垂直纸面向里由质点的角动量定理由质点的角动量定理cosmgRM tLmgRddcos质点的角动量定理质点的角动量定理ABPRnFv 解解 tmgRLdcosddcosd32gRmLL得得tdd2,mRmRvLLmRtdd2(6)(6)角动量、角动量守恒定律角动量、角动量守恒定律由题设条件积分上式由题设条件积分上式0320dcosdgRmLLL2123)sin2(gmRL 21)sin2(Rg2mRL dcosd32gRmLL
13、本题也可以用质点的功能原理求解本题也可以用质点的功能原理求解。(6)(6)角动量、角动量守恒定律角动量、角动量守恒定律dtLdM 1221LLdtMtt 因为因为时，0 M12LL 三、质点的角动量守恒定律三、质点的角动量守恒定律所以所以角动量守恒定律角动量守恒定律（2）力）力 的作用线与矢径的作用线与矢径 共线，即过共线，即过0点点（即（即 ，有心力），有心力）Fr0sin力矩为零的情况力矩为零的情况（1）力）力 等于零；等于零；Fh2mh1讨讨 论论这也是自然界普遍适用的一条基本规律。这也是自然界普遍适用的一条基本规律。(6)(6)角动量、角动量守恒定律角动量、角动量守恒定律 如果作用于质
14、点的合力矩不为零如果作用于质点的合力矩不为零, , 而合力矩沿而合力矩沿z轴的分量为零轴的分量为零, ,则则恒量恒量 ( ( 当当Mz = 0时时 ) ) zL当质点所受对当质点所受对z z轴的力矩为零时轴的力矩为零时, ,质点对该轴的角动质点对该轴的角动量保持不变量保持不变质点对轴的角动量守恒定律。质点对轴的角动量守恒定律。讨讨 论论(6)(6)角动量、角动量守恒定律角动量、角动量守恒定律例、例、 已知：地球已知：地球 R=6378 km（地球（地球均匀球体）均匀球体） 卫星卫星 近地：近地：h1= 439 km v1=8.1 km.s-1 远地远地: h2= 2384 km 求求 ： v2
15、=?解：解： 由于卫星是在地球的万有引由于卫星是在地球的万有引力力有心力作用下运动，故有心力作用下运动，故卫星卫星 m 对地心对地心 o的的 角动量守恒角动量守恒mh1h2R1v2v.o 2211hRmvhRmv 111212skm3 . 61 . 8238463784396378vvhRhRv近地近地1411skm1038. 3km9 .160vH1252skm1225km1003. 2vH可充分利用卫星大,t远地远地小小很很快快掠掠过过t (6)(6)角动量、角动量守恒定律角动量、角动量守恒定律 例：例：行星运动的开普勒第二定律认为行星运动的开普勒第二定律认为, , 对于任一对于任一行星行
16、星, , 由太阳到行星的径矢在相等的时间内扫过相等由太阳到行星的径矢在相等的时间内扫过相等的面积。试用角动量守恒定律证明之。的面积。试用角动量守恒定律证明之。 解解: :将行星看为质点将行星看为质点, ,在在dt 时间内以速度时间内以速度 完成的完成的位移为位移为 , ,矢径矢径 在在d t 时间内扫过的面积为时间内扫过的面积为dS（图中阴影）。图中阴影）。 vtv drtvrSd21d根据质点角动量的定义根据质点角动量的定义 )(vrmvmrLfrromdtv则则tmLSd2d(6)(6)角动量、角动量守恒定律角动量、角动量守恒定律矢径在单位时间内扫过的面积（矢径在单位时间内扫过的面积（称为
17、称为掠面速度掠面速度） mLtS2dd 万有引力属于有心力万有引力属于有心力, , 行星相对于太阳所在处的行星相对于太阳所在处的点点O的角动量是守恒的的角动量是守恒的, , 即即 = = 恒矢量恒矢量, ,故有故有 LmLtS2dd恒量恒量 行星对太阳所在点行星对太阳所在点O 的角动量守恒的角动量守恒, ,不仅角动量的不仅角动量的大小不随时间变化大小不随时间变化, , 即掠面速度恒定即掠面速度恒定, , 而且角动量而且角动量的方向也是不随时间变化的的方向也是不随时间变化的, , 即行星的轨道平面在即行星的轨道平面在空间的取向是恒定的。空间的取向是恒定的。(6)(6)角动量、角动量守恒定律角动量
18、、角动量守恒定律 例例：质量为质量为m的小球系于细绳的一端的小球系于细绳的一端 , ,绳的另一绳的另一端缚在一根竖直放置的细棒上端缚在一根竖直放置的细棒上, , 小球被放在水平桌面上小球被放在水平桌面上内绕细棒旋转内绕细棒旋转, , 某时刻角速度为某时刻角速度为 1 1，细绳的长度为，细绳的长度为r1。当旋转了若干圈后当旋转了若干圈后, , 由于细绳缠绕在细棒上由于细绳缠绕在细棒上, , 绳长变绳长变为为r2, , 求此时小球绕细棒旋转的角速度求此时小球绕细棒旋转的角速度 2 2 。2r1r解：解：小球受力小球受力 绳子的张力绳子的张力 , ,指向细棒；指向细棒；重力重力 ，竖直向下；支撑力，
19、竖直向下；支撑力 , ,竖直向上。竖直向上。 与绳子平行与绳子平行, , 不产生力矩；不产生力矩； 与与平衡，力矩始终为零。所以平衡，力矩始终为零。所以, , 作用于小作用于小球的力对细棒的力矩始终等于零球的力对细棒的力矩始终等于零, , 故小故小球对细棒的角动量必定是守恒的。球对细棒的角动量必定是守恒的。 TTWWNN(6)(6)角动量、角动量守恒定律角动量、角动量守恒定律根据质点对轴的角动量守恒定律根据质点对轴的角动量守恒定律 2211rmvrmv式中式中v1是半径为是半径为r1时小球的线速度时小球的线速度, , v2是半径为是半径为r2时小球的线速度。时小球的线速度。 代入上式得代入上式
20、得222121mrmr解得解得12212)(rr 可见可见, 由于细绳越转越短由于细绳越转越短, , 小球的角速度小球的角速度必定越转越大必定越转越大, 即即 。rr2121222111,rvrv而而(6)(6)角动量、角动量守恒定律角动量、角动量守恒定律 例：例：光滑的水平面上用一光滑的水平面上用一弹性绳（弹性绳（k）系一小球）系一小球(m)。开始时，弹性绳自然伸长开始时，弹性绳自然伸长(L0)。今给小球与弹性绳垂。今给小球与弹性绳垂直的初速度直的初速度V0, 试求试求当弹性当弹性绳转过绳转过90度且伸长了度且伸长了L 时，时，小球的速度大小与方向。小球的速度大小与方向。v0vmL0L0+L
21、习习 题题 训训 练练(6)(6)角动量、角动量守恒定律角动量、角动量守恒定律 解解 由机械能守恒有：由机械能守恒有：2202220212121LmkvvkLmvmv 如何求角度如何求角度 ？ 由于质点在有心力由于质点在有心力作用下运动，故角作用下运动，故角动量守恒。有：动量守恒。有：)(/cos)(cos000000LLvLvLLmvLmv v0vmL0L0+L(6)(6)角动量、角动量守恒定律角动量、角动量守恒定律 例例2 一质量一质量 的登月飞船的登月飞船, 在离在离月球表面高度月球表面高度 处绕月球作圆周运动处绕月球作圆周运动.飞船飞船采用如下登月方式采用如下登月方式 : 当飞船位于点
22、当飞船位于点 A 时时,它向外侧短它向外侧短时间喷气时间喷气 , 使飞船与月球相切地到达点使飞船与月球相切地到达点 B , 且且OA 与与 OB 垂直垂直 . 飞船所喷气体相对飞船的速度为飞船所喷气体相对飞船的速度为 . 已知已知月球半径月球半径 ; 在飞船登月过程中在飞船登月过程中,月球的月球的重力加速度视为常量重力加速度视为常量 .试问登月飞船在登月过程试问登月飞船在登月过程中所需消耗燃料的质量中所需消耗燃料的质量 是多少是多少?m0vAvBBvuvhORAkg1020. 14mkm100h14sm1000. 1ukm1700R2sm62. 1g(6)(6)角动量、角动量守恒定律角动量、角
23、动量守恒定律 解解 设飞船在点设飞船在点 A 的的速度速度 , 月球质量月球质量 mM ,由万有引力和牛顿定律由万有引力和牛顿定律0vhRmhRmmG202M)(v2MRmGg 0vAvBBvuvhORAkg1020. 14mkm100h14sm1000. 1ukm1700R2sm62. 1g已知已知求求 所需消耗燃料的质量所需消耗燃料的质量 .m(6)(6)角动量、角动量守恒定律角动量、角动量守恒定律得得12120sm1612)(hRgRv21)(220vvvARmhRmBvv)(01sm1709)(RhR0Bvv得得当飞船在当飞船在A点以相对速度点以相对速度u 向向外喷气的短时间里外喷气的
24、短时间里 , 飞船的飞船的质量减少了质量减少了m 而为而为 , 并并获得速度的增量获得速度的增量 , 使飞船使飞船的速度变为的速度变为 , 其值为其值为vAvm质量质量 在在 A 点和点和 B 点只受有心力作用点只受有心力作用 , 角动量守恒角动量守恒m0vAvBBvuvhORA(6)(6)角动量、角动量守恒定律角动量、角动量守恒定律飞船在飞船在 A点喷出气体后点喷出气体后, 在到在到达月球的过程中达月球的过程中, 机械能守恒机械能守恒21)(220vvvA1sm1709BvRmmGhRmmGMM2B2Avmvm2121RmGhRmGMM222B2Avv即即1sm1615Av于是于是121sm
25、100)(202Avvv而而vmum)(kg120ummv0vAvBBvuvhORA(6)(6)角动量、角动量守恒定律角动量、角动量守恒定律 例例3 质量很小长度为质量很小长度为l 的均匀细杆的均匀细杆,可绕过其中心可绕过其中心 O并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动.当细杆静止于水平当细杆静止于水平位置时位置时, 有一只小虫以速率有一只小虫以速率 垂直落在距点垂直落在距点O为 l/4 处处, 并并背离点背离点O 向细杆的端点向细杆的端点A 爬行爬行.设小虫与细杆的质量均为设小虫与细杆的质量均为m.问问:欲使细杆以恒定的角速度转动欲使细杆以恒定的角速度转动, 小虫应
26、以多大速率小虫应以多大速率向细杆端点爬行向细杆端点爬行?0v220)4(1214lmmllmvl0712 v 解解 小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞前后系统角动量守恒前后系统角动量守恒系统角动量守恒系统角动量守恒(6)(6)角动量、角动量守恒定律角动量、角动量守恒定律l0712 v由角动量定理由角动量定理tJtJtLMddd)(dddtrmrmrmltmgrdd2)121(ddcos22即即考虑到考虑到t)712cos(247cos2dd00tltgtrvvlg(6)(6)角动量、角动量守恒定律角动量、角动量守恒定律 例例4 一杂技演员一杂技演员
27、 M 由距水平跷板高为由距水平跷板高为 h 处自由下处自由下落到跷板的一端落到跷板的一端A,并把跷板另一端的演员并把跷板另一端的演员N 弹了起来弹了起来.设设跷板是匀质的跷板是匀质的,长度为长度为l,质量为质量为 ,跷板可绕中部支撑点跷板可绕中部支撑点C 在竖直平面内转动在竖直平面内转动,演员的质量均为演员的质量均为m.假定演员假定演员M落在跷落在跷板上板上,与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞.问演员问演员N可弹起多可弹起多高高?ll/2CABMNh 解解 碰撞前碰撞前 M 落在落在 A点的速度点的速度21M)2( ghv 碰撞后的瞬间碰撞后的瞬间, M、N具有相同的线速度具有相同的线速度2lu m(6)(6)角动量、角动量守恒定律角动量、角动量守恒定律 把把M、N和跷板作为和跷板作为一个系统一个系统, 角动量守恒角动量守恒21M)(2gh v2lu 22M21121222mllmlmuJlmvlmmghmmllmlm)6()2(621222122Mv解得解得演员演员 N 以以 u 起起跳跳, 达到的高度达到的高度hmmmglguh2222)63(82ll/2CABMNh
