1、1.5 全称量词与存在量词1.5.1 全称量词与存在量词全称量词与存在量词每课一言每课一言 用激情点燃青春，用汗水书写人生，用努用激情点燃青春，用汗水书写人生，用努力创造奇迹！力创造奇迹！1.1.命题：命题： 在数学中，有时会遇到一些含有变量的陈述句，如在数学中，有时会遇到一些含有变量的陈述句，如能够判断真假的陈述句能够判断真假的陈述句. . 复习复习 引入引入(1)x3; (2)2x+1是整数；(3)对所有的xR，x3；(4)对任意一个xZ，2x+1是整数. 由于不知道变量代表什么数，无法判断真假，因此由于不知道变量代表什么数，无法判断真假，因此它们不是命题它们不是命题. 如果在原句的基础上
2、，用一个短语对变量的取值范如果在原句的基础上，用一个短语对变量的取值范围进行限定，如围进行限定，如 我们把这样的短语称为我们把这样的短语称为量词量词. 下列语句是命题吗？(1)与(3)、(2)与(4)之间有什么关系？(1)x3; (2)2x+1是整数；(3)对所有的xR，x3；(4)对任意一个xZ，2x+1是整数. (1),(2)不是命题，但是不是命题，但是(3),(4)是陈述句，并且能判是陈述句，并且能判定真假，所以定真假，所以(3),(4)是命题是命题. 思思 考考 短语“所有的”、“任意一个”、 “一切一切”、“每一个每一个”、“任何任何”等等 在逻辑中通常叫做全称量词. 全称量词命题全
3、称量词命题:含有全称量词的命题含有全称量词的命题.全称量词并用符号“ ”表示. . 概概 念念 通常将含有变量x的语句用p(x)、q(x)、r(x)表示，变量x的取值范围用M表示，那么，全称量词命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为： 读作：对任意x属于M，有p(x)成立. xM，p(x)例1：判断下列全称量词命题的真假(1)所有的素数都是奇数;(2) xR，x2+11;(3)对每一个无理数x，x2也是无理数. 应应 用用 解：(1)2是素数，但2不是奇数.所以，全称量词命题“所有的素数都是奇数”是假命题.解:(2) xR，总有x20，因而x2+11.所以，全称量词命题“ xR
4、，x2+11”是真命题.解： (3) 是无理数，但 是有理数.所以，全称量词命题“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题. 全称量词命题强调命题的一般性，对一个全称量词命题， xM，p(x)， 小小 结结 (1)要证明它是真命题，需对集合要证明它是真命题，需对集合M中的中的每每一个元素一个元素x,证明证明p(x)成立成立.(2)要判断它是假命题，只要在集合要判断它是假命题，只要在集合M中中找到找到一个元素一个元素x0，使，使p(x0)不成立即可不成立即可.判断真假的方法：判断真假的方法：判断下列命题是否是全称量词命题，并判断真假.(1)每个末位是0的整数都是5的倍数.(2)任何实数都有算术
5、平方根.(3) x0 xx是无理数，x02是无理数.(4)内接于圆的四边形是等腰梯形.真命题真命题假命题假命题假命题假命题假命题假命题 巩固练习巩固练习1 下列语句是命题吗？(1)与(3)、(2)与(4)之间有什么关系？(1)2x+1=3; (2)x能被2和3整除；(3)存在一个x0R，使2x0+1=3；(4)至少有一个x0Z，x0能被2和3整除. 思思 考考 (1),(2)不是命题，但是不是命题，但是(3),(4)是陈述句，并且能判是陈述句，并且能判定真假，所以定真假，所以(3),(4)是命题是命题. 短语“存在一个”、“至少有一个”、“有一些”、“对某个”在逻辑中通常叫做存在量词.存在量词
6、命题：含有存在量词的命题. 概概 念念 存在量词命题“存在M中的元素x，使 p(x)成立”读作：“存在M中的元素x，使p(x)成立.”用符号表示为： xM，p(x)存在量词用符号“ ”表示 例2：判断下列存在量词命题的真假.(1)有一个实数x0，使x02+2x0+3=0;(2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线;(3)有些整数只有两个正因数. 应应 用用 解：(1)由于xR，x2+2x+3=(x+1)2+22，因此使x2+2x+3=0的实数x不存在.所以，存在量词命题“有一个实数x0，使 x02+2x0+3=0”是假命题.解:(2)由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因此不存在两
7、条相交的直线垂直于同一条直线.所以，存在量词命题“平面内存在两条相交平面垂直于同一条直线”是假命题.解:(3)由于存在整数3只有两个正因数1和3，所以存在量词命题“有些数只有两个正因数”是真命题. 存在量词命题强调结论的存在性，因此，已知一个命题“ xM，p(x)”， 小小 结结 (1)要证明它是真命题，只需在集合M中，找到一个元素x，使p(x)成立即可.(2)要判断它是假命题，需对集合M中的每一个元素x，证明p(x)不成立.判断真假的方法：判断真假的方法：判断下列命题是否是存在量词命题，并判断真假.(1) x0R,x00(2)至少有一个整数，它不是合数，也不是素数.(3) x0 xx是无理数
8、，x02是无理数.(4)有些内接于圆的四边形是等腰梯形.(5）存在一个三角形，它的内角和小于1800.真命题真命题真命题真命题 真命题真命题 真命题真命题 假命题假命题 巩固练习巩固练习2 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假.(1)末位是0的整数，可以被5整除.(2)线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；(3)负数的平方是正数；(4)梯形的对角线相等；(5)有些实数是无限不循环小数；(6)有些三角形不是等腰三角形；(7)有些菱形是正方形. (8)存在两个三角形全等，这两三角形面积不相等 .真命题真命题真命题假命题真命题真命题真命题假命题 巩固练习巩固练习3
9、(1)自然数的平方大于零.(2)圆x2+y2=r2上的任一点到圆心的距离是r(3)存在一对整数x,y，使得2x+4y=3(4)存在一个无理数，它的立方是有理数. nN，n20 PPP在圆x2+y2=r2上,OP=r(O为圆心) (x,y)(x,y)x,y是整数，2x+4y=3; xxx是无理数，x3qq是有理数用符号“ ”与“ ”表示下列含有量词的命题 巩固练习巩固练习4 一、全称量词(1)“所有的”、“任意一个”、“每一个”、“任何的”、“一切”(2)全称量词命题 xM,p(x)(3)判断真假的方法： 要证明它是真命题，需对集合M中的每一个元素x证明p(x)成立； 要判断它是假命题，只要在集
10、合M中找到一个元素x0，使p(x0)不成立即可.课堂小结课堂小结 二、存在量词(1)“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“对某个”(2)存在量词命题 xM,p(x).(3)判断真假的方法： 要证明它是真命题，只需在集合M中，找到一个元素x，使p(x)成立即可. 要判断它是假命题，需对集合M中的每一个元素x，证明p(x)不成立.课堂小结课堂小结 1.5 全称量词与存在量词1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定全称量词命题和存在量词命题的否定每课一言每课一言 苦想没盼头，苦干有奔头！苦想没盼头，苦干有奔头！一、全称量词(1)“所有的”、“任意一个”、“每一个”、“任何的”、“一切”(2)
11、全称量词命题 xM,p(x)(3)判断真假的方法： 要证明它是真命题，需对集合M中的每一个元素x证明p(x)成立； 要判断它是假命题，只要在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)不成立即可.课堂小结课堂小结 二、存在量词(1)“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“对某个”(2)存在量词命题 xM,p(x).(3)判断真假的方法： 要证明它是真命题，只需在集合M中，找到一个元素x，使p(x)成立即可. 要判断它是假命题，需对集合M中的每一个元素x，证明p(x)不成立.课堂小结课堂小结 复习引入复习引入 一般地，对一个命题进行否定，一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新就可
12、以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定命题称为原命题的否定.例如例如(1) 56是是7的倍数；的倍数；命题的否定：命题的否定： 56不是不是7的倍数的倍数.(2) 空集是集合空集是集合A=1,2,3的真子集；的真子集；命题的否定：命题的否定： 空集不是集合空集不是集合A=1,2,3的真子集的真子集. 下面，我们学习下面，我们学习利用利用存在量词存在量词对对全称量词命题全称量词命题进行否定，以及进行否定，以及利用利用全称量词全称量词对对存在量词命题存在量词命题进行否定进行否定. 写出下列命题的否定：写出下列命题的否定：命题的否定：并非所有的矩形都是平行四边形命题的否定：并非所有的矩形都是
13、平行四边形.也就是说，也就是说，命题的否定：并非每一个素数都是奇数命题的否定：并非每一个素数都是奇数.也就是说，也就是说，命题的否定：并非任意的实数命题的否定：并非任意的实数x都使不等式成立都使不等式成立.也就是说，也就是说， 思思 考考 全称量词命题p:它的否定p:全称量词命题的否定是存在量词命题全称量词命题的否定是存在量词命题. 对对 比比 命题的否定与原命题在形式上有什么变化？命题的否定与原命题在形式上有什么变化？全称量词命题p:1.写出下列全称量词命题的否定：写出下列全称量词命题的否定：(2)p：每一个四边形的四个顶点共圆：每一个四边形的四个顶点共圆 ；(3)p：的个位数字不等于：的个
14、位数字不等于(1)p：所有能被整除的整数都是奇数；：所有能被整除的整数都是奇数； p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆 p：的个位数字等于：的个位数字等于 p：存在一个能被整除的整数不是奇数：存在一个能被整除的整数不是奇数 应应 用用 写出下列全称量词命题的否定：写出下列全称量词命题的否定：(2)任意素数都是奇数；任意素数都是奇数；(3)每个二次函数的图像都是轴对称图形每个二次函数的图像都是轴对称图形(1)存在一个素数，它不是奇数存在一个素数，它不是奇数存在一个二次函数的图像不是轴对称图形存在一个二次函数的图像不是轴对称图形 巩固练习巩固练习1 写出下列命
15、题的否定：写出下列命题的否定：否定：不存在绝对值是正数的实数，否定：不存在绝对值是正数的实数，也就是说，也就是说，否定：没有一个平行四边形是菱形，否定：没有一个平行四边形是菱形，也就是说，也就是说，否定：不存在实数否定：不存在实数x使不等式成立，使不等式成立，也就是说，也就是说， 思思 考考 它的否定p:存在量词命题p:存在量词命题的否定是全称量词命题存在量词命题的否定是全称量词命题. 对对 比比 命题的否定与原命题在形式上有什么变化？命题的否定与原命题在形式上有什么变化？2写出下列存在量词命题的否定：写出下列存在量词命题的否定：(2)p：有一个素数含三个正因数；：有一个素数含三个正因数；(3
16、)p：(1)p：有的三角形是等边三角形；：有的三角形是等边三角形； p：每一个素数都不含三个正因数：每一个素数都不含三个正因数 p： p：所有的三角形都不是等边三角形：所有的三角形都不是等边三角形 应应 用用 写出下列存在量词命题的否定：写出下列存在量词命题的否定：(2)有些梯形是等腰梯形；有些梯形是等腰梯形；(3)存在一个实数，它的绝对值不是正数存在一个实数，它的绝对值不是正数(1)有些三角形是直角三角形；有些三角形是直角三角形；所有梯形都不是等腰梯形所有梯形都不是等腰梯形所有实数的绝对值都是正数所有实数的绝对值都是正数所有三角形都不是直角三角形所有三角形都不是直角三角形 巩固练习巩固练习2 全称量词命题的否定是存在量词命题；全称量词命题的否定是存在量词命题；存在量词命题的否定是全称量词命题存在量词命题的否定是全称量词命题某些命题的否定形式某些命题的否定形式(总结总结)：p是是 都是都是 至少有至少有一个一个至多有至多有一个一个对任意对任意x A,使使p(x)真真 p 不不是是 不不都是都是 一个也一个也没有没有至少有至少有两个两个存在存在x A,使使p(x)假假课堂小结课堂小结 含有一个量词的命题的否定含有一个量词的命题的否定
