1、人 教 A 版 高 中 数 学 必 修 第 二 册8.6.1 直线与直线垂直直线与直线垂直复习复习 两直线的位置关系两直线的位置关系 相交直线：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线共面直线 平行直线：平行直线：同一平面内，没有公共点同一平面内，没有公共点；异面直线：异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。不同在任何一个平面内，没有公共点。引入新课引入新课 在在平面内两直线相交成四个角，平面内两直线相交成四个角，不大不大于于90的角成为夹角。的角成为夹角。ab 夹角刻画了一条直线对另一条直线的倾斜夹角刻画了一条直线对另一条直线的倾斜程度，异面直线
2、通过程度，异面直线通过异面直线所成的角异面直线所成的角来刻画。来刻画。夹角夹角引入新课引入新课 定义：已知两条异面定义：已知两条异面直线直线a、b，经过空间任一点，经过空间任一点O作直线作直线aa，bb，我们把，我们把a，b所成的所成的锐角锐角（或直角）（或直角）叫做异面直线叫做异面直线a、b所成的角所成的角(或夹角或夹角)两条异面直线所成的角两条异面直线所成的角abPabO引入新课引入新课 两条异面直线所成的角两条异面直线所成的角注注1：异面直线：异面直线a、b所成角，只与所成角，只与a、b的相互位置有的相互位置有关，而与点关，而与点O位置无关位置无关注注2：一般常把点：一般常把点O取在直线
3、取在直线a或或b上上abOa注注3：异面直线所成角的取值范围：异面直线所成角的取值范围：900 求异面直线所成的角的步骤是求异面直线所成的角的步骤是: 一作一作(找找)：作（或找）平行线：作（或找）平行线 二证：证明所作的角为所求的二证：证明所作的角为所求的异异 面直线所成的角。面直线所成的角。 三求：在一恰当的三角形中求三求：在一恰当的三角形中求出角出角引入新课引入新课 异面直线所成的角异面直线所成的角如果两条异面直线所成的角为直角，如果两条异面直线所成的角为直角，就说两条直线互相垂直，记作就说两条直线互相垂直，记作abab。ba aOab 记记作作：课堂探究课堂探究 （1）在长方体）在长方
4、体 ABCD-ABCD中，有没有两条棱中，有没有两条棱所在的直线是相互垂直的异面直线？所在的直线是相互垂直的异面直线？ABCDABCD有，如有，如AB和和CC，AB和和DD。课堂探究课堂探究 垂直垂直（2）如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂）如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线是否也与这条直线垂直？直，那么另一条直线是否也与这条直线垂直？垂直分为两种：垂直分为两种：相交直线的垂直相交直线的垂直异面直线的垂直异面直线的垂直acbacb课堂探究课堂探究 （3）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？acb 如图，若如图，若c，则，则c垂直于
5、垂直于内所有直线，内所有直线，而而内任意两条直线的关系可能是平行，也可能内任意两条直线的关系可能是平行，也可能是相交。是相交。不一定不一定课堂典例课堂典例 例例1 在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中，求：中，求：(1)A1B与与B1D1所成的角；所成的角；(2)AC与与BD1所成的角所成的角 思路点拨思路点拨利用正方体的图形特点，把异面直线利用正方体的图形特点，把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角后进行求解所成的角转化为相交直线所成的角后进行求解课堂典例课堂典例 (1)求求A1B与与B1D1所成的角；所成的角；课堂典例课堂典例 (2)连接连接BD交交AC于点于点O，取，取DD1中点
6、中点E，连接，连接EO、EA、EC. O为为BD的中点，的中点，OEBD1. EDA90EDC， EDED，ADDC， EDA EDC. EAEC.在等腰在等腰EAC中，中， O是是AC的中点的中点EOAC. EOA90. 又又EOA是异面直线是异面直线AC与与BD1所成的角，所成的角，AC与与BD1所成的角为所成的角为90. (12分分)(2)求求AC与与BD1所成的角所成的角课堂典例课堂典例 例例2 2 如图，在正方体如图，在正方体ACAC1 1中，中，M M、N N分别是分别是A A1 1B B1 1、BBBB1 1的中的中点，求：点，求：（1 1）异面直线）异面直线AMAM与与CNCN
7、所成角的大小；所成角的大小；NMA1B1C1D1DCBA课堂典例课堂典例 例例2 2 如图，在正方体如图，在正方体ACAC1 1中，中，M M、N N分别是分别是A A1 1B B1 1、BBBB1 1的中的中点，求：点，求：（1 1）异面直线）异面直线AMAM与与CNCN所成角的大小；所成角的大小；NMA1B1C1D1DCBAQ例例2 2 如图，在正方体如图，在正方体ACAC1 1中，中，M M、N N分别是分别是A A1 1B B1 1、BBBB1 1的中的中点，求：点，求：（1 1）异面直线）异面直线AMAM与与CNCN所成角的大小；所成角的大小；NMA1B1C1D1DCBAP课堂典例课
8、堂典例 例例2 2 如图，在正方体如图，在正方体ACAC1 1中，中，M M、N N分别是分别是A A1 1B B1 1、BBBB1 1的中的中点，求：点，求：（1 1）异面直线）异面直线AMAM与与CNCN所成角的大小；所成角的大小；（2 2）异面直线）异面直线AMAM与与BDBD所成角的大小；所成角的大小；MA1B1C1D1DCBA课堂典例课堂典例 例例2 2 如图，在正方体如图，在正方体ACAC1 1中，中，M M、N N分别是分别是A A1 1B B1 1、BBBB1 1的中的中点，求：点，求：（1 1）异面直线）异面直线AMAM与与CNCN所成角的大小；所成角的大小；（2 2）异面直
9、线）异面直线AMAM与与BDBD所成角的大小；所成角的大小；MA1B1C1D1DCBAR课堂典例课堂典例 例例2 2 如图，在正方体如图，在正方体ACAC1 1中，中，M M、N N分别是分别是A A1 1B B1 1、BBBB1 1的中的中点，求：点，求：（1 1）异面直线）异面直线AMAM与与CNCN所成角的大小；所成角的大小；（2 2）异面直线）异面直线AMAM与与BDBD所成角的大小；所成角的大小；（3 3）异面直线）异面直线AMAM与与BDBD1 1所成角的大小。所成角的大小。MA1B1C1D1DCBA课堂典例课堂典例 例例2 2 如图，在正方体如图，在正方体ACAC1 1中，中，M
10、 M、N N分别是分别是A A1 1B B1 1、BBBB1 1的中的中点，求：点，求：（1 1）异面直线）异面直线AMAM与与CNCN所成角的大小；所成角的大小；（2 2）异面直线）异面直线AMAM与与BDBD所成角的大小；所成角的大小；（3 3）异面直线）异面直线AMAM与与BDBD1 1所成角的大小。所成角的大小。MA1B1C1D1DCBAS课堂典例课堂典例 例例3 3：如图，在三棱锥如图，在三棱锥D DABCABC中，中， DADA平面平面ABCABC，ACB = 90ACB = 90，ABD = 30ABD = 30，AC = BCAC = BC，求异面直线，求异面直线AB AB 与
11、与CDCD所成的角的余弦所成的角的余弦值。值。ABCD课堂典例课堂典例 ABCD（1）固定固定CDCD，移动，移动AB AB ，EFABAB向前移动向前移动思路一：平移思路一：平移课堂典例课堂典例 ABCDMABAB向上移动向上移动ABAB还有其他方向可以移动还有其他方向可以移动课堂典例课堂典例 (2)(2)：固定固定AB AB ，移动，移动 CDCD ，ABCD课堂典例课堂典例 ABCD(3)(3)：同时移动同时移动 AB AB ，CDCD ，EMFN课堂典例课堂典例 思路二：补形思路二：补形ABCDPEMNABCD课堂典例课堂典例 （1）平移法：即根据定义，以平移法：即根据定义，以“运动运
12、动”的观点，用的观点，用“平移转化平移转化”的方法，使之成的方法，使之成为相交直线所成的角为相交直线所成的角。 课堂总结课堂总结 （2 2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体等，其目的几何体，如正方体、平行六面体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系。的在于易于发现两条异面直线的关系。课堂总结课堂总结 课堂练习课堂练习 练习：如图所示，空间四边形练习：如图所示，空间四边形ABCD中，中，ABCD，ABCD，E、F分别分别 为为BC、AD的中点，求的中点，求EF和和AB 所成的角所成的角ABCD，EGGF.EGF90.EFG为等腰直角三角形为等腰直角三角形GFE45，即即EF与与AB所成的角为所成的角为45.
