1、10.2事件的相互独立性一、教学目标 1. 在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念2. 能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题二、教学重点 独立事件同时发生的概率教学难点 有关独立事件发生的概率计算三、教学过程1、情境引入我们知道，积事件AB就是事件A与事件B同时发生.因此，积事件AB发生的概率一定与事件A、B发生的概率有关.那么，这种关系会是怎样的呢? 下面我们来讨论一类与积事件有关的特殊问题2、探索新知探究1：下面两个随机试验各定义了一对随机事件A和B，你觉得事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗? 试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币 A=“第一枚硬币正面朝上”，B=
2、“第二枚硬币反面朝上” 试验2：一个袋子中装有标号分别是1、2、3、4的4个球,除标号外没有其他差异,采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A=“第一次摸到球的标号小于3”,B=“第二次摸到球的标号小于3” 分别计算P(A)、P(B)、P(AB)，你有什么发现? 答：显然，对于试验1，因为两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响，所以事件A发生与否不影响事件B发生的概率对于试验2，因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响，所以事件A发生与否也不影响事件B发生的概率在试验1中，用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则样本空间
3、为，包含4个等可能的样本点.而所以由古典概型概率计算公式，得，于是，积事件的概率恰好等于与的乘积.在试验2中，样本空间而所以于是也有，积事件的概率也等于，的乘积1）相互独立事件的概念 设A,B两个事件,如果P(AB)=P(A)P(B)成立, 则称事件A与事件B相互独立.简称独立 说明：事件A与事件B相互独立就是事件A的发生不影响事件B发生的概率，事件B的发生不影响事件A发生的概率公式变形: 相互独立的定义，即可以用来判断两个事件是否独立，也可以在相互独立的条件下求积事件的概率问题1： 独立事件与互斥事件的区别？ 答：互斥事件：两个事件不能同时发生，相互独立事件：两个事件的发生彼此互不影响问题2
4、：必然事件、不可能事件与任意事件相互独立吗？ 答：必然事件、不可能事件都与任意事件相互独立，这是因为必然事件总会发生，不会受任何事件是否发生的影响；同样，不可能事件总不会发生，也不受任何事件是否发生的影响.当然，它们也不影响其他事件是否发生探究2：互为对立的两个事件是非常特殊的一种事件关系. 如果事件A与事件B相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立? 以有放回摸球试验为例,验证A与,与B, 与是否独立,你有什么发现? 答：我们就以实验2来验证，试验2：一个袋子中装有标号分别是1、2、3、4的4个球,除标号外没有其他差异,采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球设A=“第一次摸到球的标号小于3”
5、，B=“第二次摸到球的标号小于3”易得 n()=16，n(A)=8，n()=8n(B)=8，n()=8，n(A)=4n(B)=4，n()=4所以P(A)=P(A)P()=， P (B)= P()P (B)=P ()=P ()P ()= 因此A与,与B, 与独立 因此，对于A与，因为，而且与互斥所以所以由事件的独立性定义，A与相互独立类似地，可以证明事件与B，与也都相互独立2）相互独立事件的性质必然事件W 及不可能事件与任何事件A相互独立如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立说明：我们知道，如果三个事件A、B、C两两互斥，那么概率加法公式P(A1A2A3)=P(A1)+P(A2)
6、+P(A3)成立，但当三个事件A、B、C两两独立时，等式P(ABC)=P(A)P(B)P(C)一般不成【例1】一个袋子中有标号分别为1、2、3、4的4个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次. 设事件A=“第 一次摸出球的标号小于3”,事件B=“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A与事件B是否相互独立? 解：因为样本空间且所以此时，因此，事件A与事件B不独立【例2】甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率（1）两人都中靶（2）恰好有一人中靶（3）两人都脱靶（4）至少有一人中靶解：设“甲中靶”, “乙中靶”,则“甲脱靶”,
7、“乙脱靶”,由于两个人射击的结果互不影响,所以A与B相互独立,A与,与B,与都相互独立由已知可得 （1） “两人都中靶”,由事件独立性的定义得（2）“恰好有一人中靶” ,且与互斥根据概率的加法公式和事件独立性定义,得（3）事件“两人都脱靶”所以（4）方法1：事件“至少有一人中靶”,且AB,与两两互斥所以方法2：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”根据对立事件的性质,得事件“至少有一人中靶”的概率为方法规律：(1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤首先确定各事件之间是相互独立的求出每个事件的概率，再求积(2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事
8、件是相互独立的【例3】甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率解：设分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件.根据独立性假定，得，设A=“两轮活动星队猜对3个成语”，则，且与互斥，与， 与分别相互独立，所以因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是方法规律：求较复杂事件的概率的一般步骤如下(1)列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示(2)理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立
9、，或者是相互独立的)，列出关系式(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率四、课堂练习P249 练习1、甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为和，两人能否破译密码相互独立，求两人破译时，以下事件发生的概率：(1)两人都能破译的概率(2)恰有一人能破译的概率(3)至多有一人能破译的概率解：记事件A为“甲独立地破译出密码”，事件B为“乙独立地破译出密码”(1)两个人都破译出密码的概率为P(AB)P(A)P(B)(2)恰有一人破译出密码分为两类：甲破译出乙破译不出，乙破译出甲破译不出，
10、即ABP(AB)P(A)P(B)P(A)P()P()P(B)(3)至多有一人破译出密码的对立事件是两人都破译出密码，其概率为1P(AB)12、三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，它们是否正常工作相互独立.在如图所示的电路中，电路不发生故障的概率是多少？解记T1正常工作为事件A，T2正常工作为事件B，T3正常工作为事件C，则P(A)，P(B)P(C)电路不发生故障，即T1正常工作且T2，T3至少有一个正常工作，T2，T3至少有一个正常工作的概率P11所以整个电路不发生故障的概率为PP(A)P1五、课堂小结1、相互独立事件的判断2、相互独立事件概率的计算六、课后作业习题10.2 4、6七、课后反思
