1、人 教 A 版 高 中 数 学 必 修 第 二 册10.1随机事件与概率随机事件与概率 10.1.1有限样本空间与随机事件有限样本空间与随机事件 这一天，法国一位贵族、职业赌徒梅累（这一天，法国一位贵族、职业赌徒梅累（De MereDe Mere）向）向法国法国数学家、数学家、物理学家帕斯卡（物理学家帕斯卡（PascalPascal）提出了一个十分提出了一个十分有趣的有趣的“分赌注分赌注”问题问题问题是这样的，一次梅累和赌友掷硬币，各押赌注问题是这样的，一次梅累和赌友掷硬币，各押赌注3232个金个金币双方约定先胜三局者为胜币双方约定先胜三局者为胜, , 取得全部取得全部6464个金币个金币.
2、. 赌博赌博进行了一段时间，梅累已经赢了两局，赌友已经赢了一进行了一段时间，梅累已经赢了两局，赌友已经赢了一局这时候梅累接到通知，要他马上陪同国王接见外宾，局这时候梅累接到通知，要他马上陪同国王接见外宾，赌博只好中断了请问：两个人应该怎样分这赌博只好中断了请问：两个人应该怎样分这6464个金币才个金币才算合理呢算合理呢? ?概率论的生日：概率论的生日：16541654年年7 7月月2929日日概率论的起概率论的起源源 梅累争辩说，不对，即使下一次赌友掷出了正面，他还可梅累争辩说，不对，即使下一次赌友掷出了正面，他还可以得到以得到 ，即，即3232个金币；再加上下一次他还有一半希望个金币；再加上
3、下一次他还有一半希望得到得到1616个金币，所以他应该分得个金币，所以他应该分得6464个金币的个金币的 ，赌友只能，赌友只能分得分得6464个金币的个金币的 。两人到底谁说得对呢。两人到底谁说得对呢? ?214341赌友说，他要再碰上两次正面，或梅累要再碰上一次正面赌友说，他要再碰上两次正面，或梅累要再碰上一次正面就算赢，所以他主张赌金应按就算赢，所以他主张赌金应按2 2：1 1来分。即自己分来分。即自己分6464个个金币的金币的 ，梅累分，梅累分6464个金的个金的 。 3231概率论的起概率论的起源源 帕斯卡帕斯卡是是1717世纪有名的世纪有名的“神童神童”数学家。数学家。 可是，可是，
4、梅累提出的梅累提出的“分赌注分赌注”的问题，却把他难住的问题，却把他难住了他苦苦思考了两三年，到了他苦苦思考了两三年，到16541654年才算有了点年才算有了点眉目，于是写信给他的好友眉目，于是写信给他的好友费马费马，两人讨论结果，两人讨论结果，取得了一致的意见：梅累的分法是对的，他应得取得了一致的意见：梅累的分法是对的，他应得6464个金币的四分之三，赌友应得个金币的四分之三，赌友应得6464金币的四分之金币的四分之一。这时有位荷兰的数学家一。这时有位荷兰的数学家惠更斯惠更斯在巴黎听到这在巴黎听到这件新闻，也参加了他们的讨论件新闻，也参加了他们的讨论结果他们这样回答了梅结果他们这样回答了梅累
5、的问题；累的问题；“先做一个先做一个树结构图，根据树结构树结构图，根据树结构图图A A胜的概率是胜的概率是3 34 4时，时，就把赌钱的就把赌钱的3 34 4分给分给A A，把剩下的把剩下的1 14 4分给分给B B就可就可以了以了”于是，概率的于是，概率的计算就这样产生了计算就这样产生了概率论的起概率论的起源源 研究某种随机现象的规律研究某种随机现象的规律, ,首先要观察它所有首先要观察它所有可能的基本结果可能的基本结果. . 例如例如, ,将一枚硬币抛掷将一枚硬币抛掷2 2次次, ,观察正面、反面出观察正面、反面出现的情况现的情况; ;记录某地区记录某地区7 7月份的降雨量；等等月份的降雨
6、量；等等. . 从你所在的班级随机选择从你所在的班级随机选择1010名学生名学生, ,观观察近视眼的人数察近视眼的人数; ;在一批灯管中任意抽取一只，测试它的寿命；在一批灯管中任意抽取一只，测试它的寿命；探究新知探究新知 引入新知引入新知 1 1、随机试验：、随机试验：我们把对随机现象的实现和对它的我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母观察称为随机试验，简称试验，常用字母E E表示表示. .2 2、随机试验的特点：、随机试验的特点：(1)(1)试验可以在相同条件下重复进行；试验可以在相同条件下重复进行；(2)(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止试验的所有可
7、能结果是明确可知的，并且不止一个；一个； (3)(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果但事先不能确定出现哪一个结果. .可重复性可预知性随机性课堂探究课堂探究 思考思考 体育彩票摇奖时，将体育彩票摇奖时，将1010个质地和大小个质地和大小完全相同、分别标号完全相同、分别标号0,1,2, ,90,1,2, ,9的球放入摇的球放入摇奖器中奖器中, ,经过充分搅拌后摇出一个球经过充分搅拌后摇出一个球, ,观察这个观察这个球的号码球的号码. .这个随机试验共有多少个可能结果这个随机试验共有多少个可能结果? ?如何表示这些结
8、果如何表示这些结果? ?观察球的号码，共有观察球的号码，共有1010个可能结果个可能结果0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 .用数字用数字m m表示表示“摇出的球的号码为摇出的球的号码为m”m”这一结果这一结果, ,那么所那么所有的可能结果可用集合表示为有的可能结果可用集合表示为我们把随机试验我们把随机试验E E的每个可能的基本结果称为的每个可能的基本结果称为样样本点本点全体样本点的集合称为试验全体样本点的集合称为试验E E的的样本空间样本空间一般地，我们用一般地，我们用 表示样本空间，用表示样本空间，用 表示样本点。表示样本点。在本书中，我们只讨论在本书中，我们只讨论 为有限集的情况。如
9、果一个为有限集的情况。如果一个随机试验有随机试验有n n个可能结果个可能结果 ，则称样本空间，则称样本空间 为为有限样本空间有限样本空间12,n 12,n 引入新知引入新知 例例1 1 抛掷一枚硬币，观察它落地时哪一面朝上，写出试抛掷一枚硬币，观察它落地时哪一面朝上，写出试验的样本空间验的样本空间. .解：解：因为落地时只有正面朝上和反面朝上两个可能结果因为落地时只有正面朝上和反面朝上两个可能结果, ,所以试验的样本空间可以表示为所以试验的样本空间可以表示为=正面朝上正面朝上, ,反面朝反面朝上上). ). 如果用如果用h h表示表示“正面朝上正面朝上”，t t表示表示“反面朝上反面朝上”，则
10、样本空间则样本空间=h,t.=h,t.课堂典例课堂典例 例例2 2 抛掷一枚骰子，观察它落地时朝上的面的点数抛掷一枚骰子，观察它落地时朝上的面的点数, ,写出写出试验的样本空间试验的样本空间. .解：解：用用i i表示朝上面的表示朝上面的“点数为点数为i”.i”.因为落地时朝上面的点数因为落地时朝上面的点数有有1 1， 2 2，3 3，4 4，5 5，6 6共共6 6个可能的基本结果，所以试验的样个可能的基本结果，所以试验的样本空间可以表示为本空间可以表示为=1=1，2 2，3 3，4 4，5 5，6.6.课堂典例课堂典例 例例3 3 抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况抛掷两枚硬币，观
11、察它们落地时朝上的面的情况, ,写写出试验的样本空间出试验的样本空间. .解：解：掷两枚硬币，第一枚硬币可能的基本结果用掷两枚硬币，第一枚硬币可能的基本结果用x x表示，表示，第二枚硬币可能的基本结果用第二枚硬币可能的基本结果用y y表示，那么试验的样本点表示，那么试验的样本点可用可用(x, y)(x, y)表示表示. .于是，试验的样本空间于是，试验的样本空间 如果我们用如果我们用1 1表示硬币表示硬币“正面朝上正面朝上”，用，用0 0表示硬币表示硬币“反反面朝上面朝上”，那么样本空间还可以简单表示为，那么样本空间还可以简单表示为=(1=(1，1)1)，(1, 0)(1, 0)，(0(0，1
12、)1)，(0, 0).(0, 0).=(=(正面正面, ,正面正面),(),(正面正面, ,反面反面),(),(反面反面, ,正面正面),(),(反面反面, ,反面反面).).课堂典例课堂典例 如下图所示，画树状图可以帮助我们理如下图所示，画树状图可以帮助我们理解例解例3 3的解答过的解答过程程. .1 10 01 10 01 10 0第一枚第一枚第二枚第二枚(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(1,0,0),(0,1,1),(0,1,0),(0,0,1),(0,0,0)抛掷一枚质地均匀的硬币抛掷一枚质地均匀的硬币3 3次，写出试验的样本空间。次，写出试验的样本空间。课堂典例课堂典
13、例 思考：思考：在上面体育彩票摇号试验中在上面体育彩票摇号试验中, ,摇出摇出“球的号码球的号码为奇数为奇数”是随机事件吗是随机事件吗? ?摇出摇出“球的号码为球的号码为3 3的倍数的倍数”是否也是随机事件是否也是随机事件? ?如果用集合的形式来表示它们，那如果用集合的形式来表示它们，那么这些集合与样本空间有什么关系么这些集合与样本空间有什么关系? ? “球的号码为奇数球的号码为奇数”：A=1,3,5,7,9A=1,3,5,7,9“球的号码为球的号码为3 3的倍数的倍数”：B=B=0, 3, 6, 90, 3, 6, 9样本空间样本空间=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9=0,1,2,3,
14、4,5,6,7,8,9是随机事件课堂探究课堂探究 为了叙述方便，我们将样本空间为了叙述方便，我们将样本空间的子集称为的子集称为随机事件随机事件，简称，简称事件事件，并把只包含一个样本点，并把只包含一个样本点的事件称为的事件称为基本事件基本事件。随机事件一般用大写字母随机事件一般用大写字母A A，B B，C C，表示表示. . 在每次试验中，当且仅当在每次试验中，当且仅当A A中某个样本点出现时，中某个样本点出现时，称为称为事件事件A A发生发生。 一般地，随机试验中的每个随机事件都可以一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示。用这个试验的样本空间的子集来表示。引入
15、新知引入新知 作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，总会发生，我们称我们称为必然事件为必然事件。 空集空集 不包含任何样本点，在每次试验中都不会不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，发生，我们称我们称 为不可能事件为不可能事件. . 必然事件与不可能事件不具有随机性必然事件与不可能事件不具有随机性. .为了方便统一处理，将为了方便统一处理，将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形. .这样，每个这样，每个事件都是样本空间事
16、件都是样本空间的一个子集的一个子集. .引入新知引入新知 例例4 4 如如右右图，图，一一个个电电路路中中有有A A、B B、C C三三个个电电器器元元件，件，每每个个元元件件可可能能正正常，常，也也可可能能失失效效. .把把这这个个电电路路是是否否为为通通路路看看成成是是一一个个随随机机现现象，象，观观察察这这个个电电路路中中各各元元件件是是否否正正常常. . ( (1)1)写写出出试试验验的的样样本本空空间；间； ( (2)2)用用集集合合表表示示下下列列事事件：件： M M= =“恰恰好好两两个个元元件件正正常常”； N N= =“电电路路是是通通路路”； T T= =“电电路路是是断断
17、路路”. .ACB课堂典例课堂典例 解解：(1)(1)分别用分别用x x1 1,x,x2 2和和x x3 3表示元件表示元件A,BA,B和和C C的可能状态，则这个的可能状态，则这个电路的工作状态可用电路的工作状态可用(x(x1 1,x,x2 2,x,x3 3) )表示表示. . 进一步地，用进一步地，用1 1表示元件表示元件的的“正常正常”状态，用状态，用0 0表示表示“失效失效”状态，则样本空间状态，则样本空间=(0,0,0)=(0,0,0)，(1,0,0)(1,0,0)，(0,1,0)(0,1,0)，（，（0,0,1)0,0,1)，(1,1,0)(1,1,0)，(1, 0,1)(1, 0
18、,1)，(0,1,1), (1,1,1).(0,1,1), (1,1,1).还可借助树状图帮助我们列出试验的所有可能结果，还可借助树状图帮助我们列出试验的所有可能结果，如下如下图图. .0 01 1元件元件A A0 01 10 01 1元件元件B B0 01 10 01 10 01 10 01 1元件元件C C000000001001010010011011100100101101110110可能结果可能结果111111课堂典例课堂典例 M=(1,1,0)M=(1,1,0)，(1, 0,1)(1, 0,1)，(0,1,1)(0,1,1)；N=(1,1,0)N=(1,1,0)，(1, 0,1)(
19、1, 0,1)，(1,1,1)(1,1,1)；T=(0,0,0)T=(0,0,0)，(1,0,0)(1,0,0)，(0,1,0)(0,1,0)，(0,0,1)(0,0,1)，(0,1,1),.(0,1,1),. (2) (2)用集合表示下列事件：用集合表示下列事件： M=“M=“恰好两个元件正常恰好两个元件正常”； N=“N=“电路是通路电路是通路”； T=“T=“电路是断路电路是断路”. .ACB课堂典例课堂典例 1.1.样本空间有关概念：样本空间有关概念：(2)(2)样本空间样本空间： 2.2.随机事件有关概念：随机事件有关概念：(1)(1)基本事件基本事件: : 只包含一个样本点的事件只
20、包含一个样本点的事件. .(3)(3)事件事件A A发生：发生：当且仅当当且仅当A A中某个样本点出现中某个样本点出现. .(4)(4)必然事件：必然事件：在每次试验中总有一个样本点发生在每次试验中总有一个样本点发生. .为必然事件为必然事件. .(5)(5)不可能事件不可能事件： 在每次试验中都不会发生在每次试验中都不会发生. . 为不可能事件为不可能事件. .(2)(2)随机事件随机事件( (简称事件简称事件) )： 样本空间样本空间的子集的子集. .随机试验随机试验E E的每个可能的基本结果，的每个可能的基本结果，用用表示表示. .(1)(1)样本点：样本点：全体样本点的集合，全体样本点的集合，用用表示表示. .课堂小结课堂小结
