1、6.2.3向量的数乘运算一、教学目标 1）了解向量数乘的概念2）理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算3）理解并掌握向量共线定理及其判定方法二、教学重点 了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义，理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算教学难点 理解并掌握两向量共线的性质和判断方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题三、教学过程1、情境引入我们知道数是可以做乘法的，平面向量既有大小，又有方向，平面向量可以做乘法吗？它和实数可以做乘法吗？问题1：已知非零向量a，作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)，它们的长度和方向是怎样的？答： =3a =-3a
2、 -3a的方向与a的方向相反， -3a的长度是a的长度的3倍，即|-3a|=3|a|2、探索新知1）定义： 一般地，我们规定实数与向量a的积是一个向量，这 种运算叫做向量的数乘(multiplication of vector by scalar)，记作a，它的长度与方向规定如下：（1） （2） 当时，的方向与的方向相同当时，的方向与的方向相反特别地，当=0或a=0时，a =0几何意义：将a的长度扩大（或缩小）|倍，改变（不改变）a的方向，就得到了a（也可以让学生自己解释其几何意义）问题2：如果把非零向量a的长度伸长到原来的3.5倍，方向不变得到向量b，向量b该如何表示？ 向量a，b之间的关系
3、怎样？答：b=3.5 a b的方向与a的方向相同，b的长度是a的长度的3.5倍问题3 我们知道实数的乘法有很好的运算律，那么，向量数乘运算有哪些运算律呢?请你写出来并加以验证答： 2）实数与向量的积的运算律：（1） （结合律） （2） （第一分配律） （3） （第二分配律） 特别地，我们有 (-)a=-(a)= (-a) (a-b)= a-b向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算向量线性运算的结果仍是向量对于任意向量a，b，以及任意实数，1，2，恒有(1a2b)= 1a2b【例1】解： 【例2】 如图平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且AB=a，AD=b，试用a,b表示向量MA 、
4、MB、MC和MD解：方法规律：向量数乘运算的方法(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数(2)向量也可以通过列方程来解把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算问题4：引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗？ 答：共线3）共线(平行)向量基本定理 给定一个非零向量b,则对于任意向量a，ab的充要条件是：存在唯一一个实数，使a=b注意：1.向量共线的条件:当向量b=0时
5、，b与任一向量a共线；当b0，对于向量a，如果存在一个实数，使a=b那么由实数与向量积的定义知，a与b共线.反之，已知向量a与b共线,b0，且向量a的长度是向量b的长度的倍，即|a|=|b|，则当a与b同方向时，a=b；当a与b反方向时，有a=-b2.已知三点A，B，C共线，O是平面内任意一点，则有OC=OA+OB,其中+=13.如果非零向量a与b不共线，且a=b，那么=0【例3】如图2，已知任意两个非零向量a，b，试作猜想A，B，C三点之间的位置关系，并证明你的猜想解：分别作向量OA、OB、OC，过点A、C作直线AC，观察发现， 不论向量怎样变化，点B始终在直线AC上，猜想A、B、C三点共线
6、因为AB=OB-OA=a+2b-a+b=b AC=OC-OA=a+3b-a+b=2b所以AC=2AB因此A、B、C三点共线【例4】已知，是两个不共线的向量，向量，共线，求实数t的值解析：由，不共线，易知为非零向量，由向量，共线可知存在实数，使得，即由，不共线，必有，否则，不妨设则，由两个向量共线的充要条件知，共线，与已知矛盾由，解得，因此，当向量，共线时，方法规律：1证明或判断三点共线的方法(1)一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数，使得ABAC (或BCAB等)即可(2)利用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点存在实数x、y，使OAxOByOC且xy12利用向量共
7、线求参数的方法判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数，使得ab(b0)而已知向量共线求，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，解方程从而求得的值四、课堂练习P15 练习 P16 练习1、下列运算正确的个数是(C)(3)2a6a2(ab)(2ba)3a(a2b)(2ba)0A.0 B.1 C.2 D.32、化简下列各式：3(6ab)922(5a4bc)3(a3bc)7a答：原式18a3b9a3b9a.原式ababab0.原式10a8b2c3a9b3c7abc.3、已知e1，e2是两个不共线的向量，若AB2e
8、18e2，CBe13e2，CD2e1e2，求证：A，B，D三点共线4、设a，b是两个不共线的向量若向量ka2b与8akb的方向相反，则k 4 .五、课堂小结1实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如a，a是没有意义的2a几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|倍，向量表示与向量a同向的单位向量3判断两个向量是否共线，关键是能否找到一个实数，使ba；若存在，则共线；不存在，则不共线4共线向量定理的应用证明向量共线：对于向量a与b，若存在实数，使ab，则a与b共线(平行)证明三点共线：若存在实数，使ABAC，则A、B、C三点共线求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值六、课后作业习题6.2 8、9、14七、课后反思
