1、人 教 A 版 高 中 数 学 必 修 第 二 册7.1.2 复数的几何意义在几何上,在几何上,我们用什么我们用什么来表示实数来表示实数?想一想?想一想?类比类比实数的实数的表示,可以表示,可以用什么来表用什么来表示复数?示复数?实数可以用实数可以用数轴数轴上的点来表示。上的点来表示。实数实数 数轴数轴上的点上的点 (形形)(数数)一一对应一一对应 引入新课引入新课 回忆回忆复数的复数的一般形一般形式?式?Z=a+bi(a, bR)实部实部!虚部虚部!一个复数一个复数由什么唯由什么唯一确定?一确定?由一个有序实数对(由一个有序实数对(a,b)唯一确定)唯一确定引入新课引入新课 引入新课引入新课
2、 复数复数z=a+bi有序实数对有序实数对(a,b)直角坐标系中的点直角坐标系中的点Z(a,b) 建立了平面直角建立了平面直角坐标系来表示复数的坐标系来表示复数的平面平面x轴轴-实轴实轴y轴轴-虚轴虚轴(数)(数)(形)(形)-复数平面复数平面 (简称简称复平面复平面)一一对应一一对应xy0Z( (a, ,b) )abz=a+bi探索新知探索新知xy0Z( (a, ,b) ) 建立了平面直角坐标系来建立了平面直角坐标系来表示复数的平面表示复数的平面复平面复平面x轴轴实轴实轴y轴轴虚轴虚轴abz=a+bi思考:在复平面上思考:在复平面上,实轴上的点,虚轴上的点,各,实轴上的点,虚轴上的点,各象限
3、内的点分别表示什么样的数?象限内的点分别表示什么样的数?(1 1)实轴上的点表示实数;)实轴上的点表示实数;(2 2)虚轴上的点)虚轴上的点除原点外除原点外都表示纯虚数;都表示纯虚数;(3 3)各象限内的点表示实部和虚部都不为零的虚数)各象限内的点表示实部和虚部都不为零的虚数. . 引入新知引入新知这是复数的一种几何意义这是复数的一种几何意义. .1.复数的几何意义 课堂典例课堂典例Oy练习:练习:(1)2+5i (1)2+5i ;(2)(2)3+2i3+2i;(3)2(3)24i4i;(4)(4)3 35i5i;(5)5(5)5;(6)(6)3i3i;x概念概念1.1.复数的几何意义复数的几
4、何意义 引入新知引入新知复数复数z=a+bi直角坐标系中的点直角坐标系中的点Z(a,b)一一对应一一对应平面向量平面向量OZ 一一对应一一对应一一对应一一对应这是复数的又一种几何意义这是复数的又一种几何意义. .xy0Z( (a, ,b) )abz=a+bi 引入新知引入新知 为方便起见,常把复数Z=a+bi说成点Z或说成向量OZ,并且规定,相等的向量表示同一个复数。 引入新知引入新知xy0Z( (a, ,b) )abz=a+bi复复数数z z = = a a + + b bi i的的向向量量O OZ Z的的模模r r叫叫做做, ,记记作作 z z 或或 a ai i模模+ + b b . .
5、 2.复数的模22ab 当当b=0时,复数时,复数z=a+bi是一个实数是一个实数a,它的模等于它的模等于|a|(就是就是a的绝对值的绝对值)。| |z|=|=r=| |OZ| | 复数复数 z= =a+ +bi的模的模r就是复数就是复数 z= =a+ +bi在复平面上对应的点在复平面上对应的点Z(Z(a, ,b) )到原点的距离到原点的距离. .复数模的几何意义复数模的几何意义: 课堂典例课堂典例(3)(3)满足满足|z|=5(zC)|z|=5(zC)的的z z值有几个?值有几个?(2)(2)满足满足|z|=5(zR)|z|=5(zR)的的z z值有几个?值有几个? 例例 求下列复数的模:求
6、下列复数的模: (1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i思考:思考:(4)z4=1+mi(mR) (5)z5=4a-3ai(a0)(1)(1)复数的模能否比较大小?复数的模能否比较大小?这些复数对应的点在复平面上构成怎样的图形?这些复数对应的点在复平面上构成怎样的图形? 课堂典例课堂典例xyO设设z=x+yi(x,yR)z=x+yi(x,yR)满足满足|z|=5(zC)|z|=5(zC)的复数的复数z z对应的点在对应的点在复平面上将构成怎复平面上将构成怎样的图形?样的图形?55555|22yxz 课堂典例课堂典例思考:思考:(1)(1)复数的模能否比较大小?模相等的两
7、个复数相等吗?复数的模能否比较大小?模相等的两个复数相等吗?(2)(2)满足满足|z|=2(zR)|z|=2(zR)的的z z值有几个?值有几个?(3)(3)满足满足|z|=2(zC)|z|=2(zC)的的z z值有几个?值有几个?这些复数对应的点在复平面上构成怎样这些复数对应的点在复平面上构成怎样的图形?的图形? (4)(4)满足满足2|z|3(zC)2|z|3(zC)的的z z值有几个?值有几个? 课堂典例课堂典例共轭复数共轭复数.zz-biazbiaz则时,表示。即当的共轭复数用互为共轭复数,复数,则这两个复数叫做等,而虚部互为相反数如果两个复数的实部相.z0是它本身即任一实数的共轭复数
8、时,当zb 课堂练习课堂练习练习:练习:已知复数已知复数z=(mz=(m2 2+m-6)+(m+m-6)+(m2 2+m-2)i+m-2)i在复平面内所在复平面内所对应的点位于第二象限,求实数对应的点位于第二象限,求实数m m允许的取值范围。允许的取值范围。 表示复数的点所表示复数的点所在象限的问题在象限的问题复数的实部与虚部所满复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题足的不等式组的问题转化转化(几何问题几何问题)(代数问题代数问题)一种重要的数学思想:一种重要的数学思想:数形结合思想数形结合思想226020mmmm由3221mmm 得或( 3, 2)(1,2)m 解:复数复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面在复平面内所对应的点是(内所对应的点是(m2+m-6,m2+m-2),), 课堂小结课堂小结要紧紧抓住要紧紧抓住复数复数,复平面上的,复平面上的点集点集与与位置向量位置向量这这三三者之间的一一对应关系,者之间的一一对应关系,处处理好理好“数数”与与“形形”的结合,的结合,从而更简、更快的解决有关的问从而更简、更快的解决有关的问题题。而正确判定复。而正确判定复数满足的关系数满足的关系式式所确定的图形,是我们运用几何意所确定的图形,是我们运用几何意义解决复数问义解决复数问题题的关键所在。的关键所在。