1、第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章第八章 立体几何初步立体几何初步8 8. .6 6 空间直线、平面的垂直空间直线、平面的垂直8.6.1 直线与直线垂直第八章 立体几何初步第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章第八章 立体几何初步立体几何初步回顾：空间两条直线有哪些位置关系？共面直线共面直线异面直线异面直线：平行直线平行直线：相交直线相交直线： 在同一平面内，有且只有一个公共点；在同一平面内，有且只有一个公共点；在同一平面内，没有公共点；在同一平面内，没有公共点；不同在任何一个平面内，没有公共点不同在任何一个平面内，没有公共点. .第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章第
2、八章 立体几何初步立体几何初步 如图如图8.6-1,8.6-1,在正方体在正方体ABCD-ABCDABCD-ABCD中，直线中，直线ACAC与直线与直线ABAB，直线直线ADAD与直线与直线ABAB都是异面直线，直线都是异面直线，直线ACAC与与ADAD相对于直线相对于直线ABAB的位置相同吗的位置相同吗? ?如果不同，如何表示这种差异呢如果不同，如何表示这种差异呢? ?夹角第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 我们知道，平面内两条直线相交形成我们知道，平面内两条直线相交形成4 4个角个角, ,其中其中不大于不大于9090的角称为这的角称为这两条直线所成
3、的角两条直线所成的角( (或夹角或夹角) )，它刻画了一条直线相对，它刻画了一条直线相对于另一条直线于另一条直线倾斜的程度倾斜的程度. . 类似地，我们也可以用类似地，我们也可以用“异面直线所成的角异面直线所成的角”来刻画两条异来刻画两条异面直线的位置关系面直线的位置关系. .bbaa/,/我们把直线我们把直线a 与与bb所成所成的角的角叫做叫做异面直线异面直线a与与b b所成的角所成的角( (或夹角或夹角) ). .空间空间平面平面O第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这如果两条异面直线所成的角是直角，那么
4、我们就说这两条两条异面直线互相垂直异面直线互相垂直. .直线直线a a与直线与直线b b垂直，记作垂直，记作abab. . 当两条直线当两条直线a、b b相互平行时，我们规定它们所成的角为相互平行时，我们规定它们所成的角为0 0. . 所以所以空间两条直线所成角空间两条直线所成角的取值范围是的取值范围是0 09090. .O 直线直线a、b b所成角的所成角的大小与点大小与点O的位置有的位置有关吗关吗? ?无关第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章第八章 立体几何初步立体几何初步例1 如右图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1. (1)哪些棱所在的直线与直线AA1垂直？ (2)求直线B
5、A1与CC1所成角的大小. (3)求直线BA1与AC所成角的大小.解：解：(1)(1)棱棱ABAB、BCBC、CDCD、DADA、A A1 1B B1 1、B B1 1C C1 1、C C1 1D D1 1、D D1 1A A1 1所在直线与直线所在直线与直线AAAA1 1垂直垂直. .(2)(2)在正方体在正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，因为因为CCCC1 1BBBB1 1，所以所以BB1 1BABA为直线为直线BABA1 1与与CCCC1 1所成的角所成的角. .而而BB1 1BA=45BA=45. .第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八
6、章第八章 立体几何初步立体几何初步(3)(3)连接连接A A1 1C C1 1、BCBC1 1. .所以所以BB1 1BABA为直线为直线BABA1 1与与CCCC1 1所成的角所成的角. .在正方体在正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，AC/AAC/A1 1C C1 1，则，则BABA1 1C C1 1为直线为直线BABA1 1与与ACAC所成的角所成的角. .而而A A1 1BCBC1 1是等边三角形，所以是等边三角形，所以BABA1 1C C1 1=60=60，从而直线从而直线BABA1 1与与ACAC所成的角等于所成的角等于6060. .例1
7、如右图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1. (1)哪些棱所在的直线与直线AA1垂直？ (2)求直线BA1与CC1所成角的大小. (3)求直线BA1与AC所成角的大小.第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章第八章 立体几何初步立体几何初步例2 如右图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O1 为底面A1B1C1D1的中心,求证:AO1BD.第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章第八章 立体几何初步立体几何初步练习练习1：如图正方体如图正方体ABCDA1B1C1D1中，中，E、F分别是棱分别是棱C1C与与BC的中点，则直线的中点，则直线EF与直线与直线D1C所成的角的大小是所成的
8、角的大小是 60第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章第八章 立体几何初步立体几何初步练习练习2：已知正方体已知正方体ABCDABCD中：中：(1)BC与与CD所成的角为所成的角为 ；(2)AD与与BC所成的角为所成的角为 6045第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章第八章 立体几何初步立体几何初步练习练习3：如图所示，正方体如图所示，正方体AC1中，中，E、F分别是分别是A1B1、B1C1的的中点，求证：中点，求证：DB1EF.第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章第八章 立体几何初步立体几何初步在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成在研究异面直线所成角的大
9、小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角将空间问题向平面问题的角转化为两条相交直线所成的角将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径需要转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0(0，9090 ，解题，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小1、求异面直线所成角的基本方法是什么？第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章第八章 立体几何初步立体几何初步2、证明两条异面直线垂直的步骤：(1)(1)恰当选点，用平移法构造出一个相
10、交角恰当选点，用平移法构造出一个相交角(2)(2)证明这个角就是异面直线所成的角证明这个角就是异面直线所成的角( (或补角或补角) )(3)(3)把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三角形求出所构造的角的度数通过解三角形求出所构造的角的度数(4)(4)给出结论：若求出的平面角为直角，垂直得证给出结论：若求出的平面角为直角，垂直得证第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章第八章 立体几何初步立体几何初步课堂检测1分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是() A异面异面 B平行平行 C相交相交 D
11、以上都有可能以上都有可能D当两个平面平行时，这两条直线的位置关系为平行或异面，当两个平面相交时，这两条直线的位置关系有可能相交或异面第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章第八章 立体几何初步立体几何初步2如图，在正方体如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，中，E、F、G、H分分别为别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线的中点，则异面直线EF与与GH所成的角等于所成的角等于() A45 B60 C90 D120B取A1B1中点I，连接IG、IH，则EF綊IG.易知IG，IH，HG相等，则HGI为等边三角形，则IG与GH所成的角为60，即EF与GH所成的角为60.第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章第八章 立体几何初步立体几何初步3如图，正方体如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，中，AC与与BC1所成角所成角的大小是的大小是 60连接AD1，则AD1BC1.CAD1(或其补角)就是AC与BC1所成的角，连接CD1，在正方体ABCDA1B1C1D1中，ACAD1CD1，CAD160，即AC与BC1所成的角为60.第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章第八章 立体几何初步立体几何初步作业：
