1、一、刚体的运动一、刚体的运动 无论在多大外界作用下，物体的形状和大小均无论在多大外界作用下，物体的形状和大小均不发生改变，这样的物体称为不发生改变，这样的物体称为刚体刚体。 各质点间的各质点间的相对位置永不发生变化相对位置永不发生变化的的质点系质点系。1、平动、平动刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持平行。刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持平行。AA A BB B 平动中刚体上的各点均有平动中刚体上的各点均有相同的轨迹、位移、相同的轨迹、位移、速度及加速度速度及加速度。用质心运动讨论。用质心运动讨论。2、定轴转动、定轴转动 刚体上各点均绕同一固定直线旋转的运动，刚体上各点均绕同一固定
2、直线旋转的运动，称为刚体的称为刚体的定轴转动定轴转动。 O定轴转动定轴转动：各质元均作圆周运动，其圆心都在：各质元均作圆周运动，其圆心都在一条固定不动的直线（转轴）上。一条固定不动的直线（转轴）上。转动平面转动平面转轴转轴参考参考方向方向PXQP XX各质元的线速度、加速度一般不同，各质元的线速度、加速度一般不同，但角量（但角量（角位移、角速度、角加速度角位移、角速度、角加速度）都相同都相同描述刚体整体的运动用角量最方便描述刚体整体的运动用角量最方便。二、刚体的转动定律二、刚体的转动定律1、转动惯量、转动惯量质点质点的转动惯量的转动惯量：2mrI 质点系质点系的转动惯量的转动惯量：iimrI2
3、dmrI2刚体刚体的转动惯量的转动惯量：式中：式中：r 为为dm 至转轴的距离。至转轴的距离。 刚体转动惯量的大小与三个因素有关：刚体转动惯量的大小与三个因素有关： 刚体的总质量刚体的总质量 质量相对于定轴的分布质量相对于定轴的分布 转轴的位置转轴的位置例例1、P67例例4-2。计算质量为。计算质量为m，长为，长为L的匀质细的匀质细杆绕垂直中心轴杆绕垂直中心轴Z的转动惯量。的转动惯量。ZOXdm解：建立坐标系，如图。解：建立坐标系，如图。dxLmdxdm2121mLI 同理，转轴过端点并与杆垂直时，其转动惯量：同理，转轴过端点并与杆垂直时，其转动惯量：231mLI 2222LLdxxLmdmx
4、I刚体的转动惯量见教材刚体的转动惯量见教材P68表表4-2-1（不需要背）（不需要背）2 2、力对转轴的力矩、力对转轴的力矩frMZ2frPO转动平面转动平面1ffZfrPdOM转动平面转动平面 fdrfMsin（1）外力在转动平面内）外力在转动平面内方向：沿转轴方向：沿转轴Z方向方向 。（2）外力不在转动平面内）外力不在转动平面内把外力分解成两个分力：把外力分解成两个分力： 21ff和2frM 与转轴平行的力与转轴平行的力 对物体对物体转动不起作用。转动不起作用。1f（3）合外力矩）合外力矩在在定轴转动定轴转动中中 ：iMM3、转动定律、转动定律在在定轴转动定轴转动中中 ：IM 刚体获得的角
5、加速度的大小刚体获得的角加速度的大小 与刚体受与刚体受到的合外力矩到的合外力矩 M 成正比，与刚体的转动惯量成正比，与刚体的转动惯量J 成反比。成反比。注意注意：M、 的的+、- 号规定。号规定。 方向：沿转轴方向：沿转轴Z方向方向 。刚体定轴转动的转动定律的应用刚体定轴转动的转动定律的应用AB1T2Tmg2T对这类问题的处理方法对这类问题的处理方法 ： 先先隔离隔离各物体，各物体，分析受分析受力情况。力情况。 再根据再根据牛顿定律牛顿定律研究研究平动平动，根据，根据转动定律转动定律研究研究转动，转动，找出平动与转动的找出平动与转动的牵连关系牵连关系。 mg1TN例例2:(教材教材P69，例，
6、例4-4）质量均为质量均为m的两个物体的两个物体A、B，A放在倾角为放在倾角为 的光滑斜面上，通过绕在定滑轮的细的光滑斜面上，通过绕在定滑轮的细绳与绳与B相连，定滑轮是质量为相连，定滑轮是质量为m，半径为，半径为R的圆盘。求的圆盘。求绳中张力绳中张力T1和和T2，以及，以及A、B的加速度。的加速度。AB1T2Tmg2Tmg1TN解：物体解：物体A、B、定滑轮受力如图。、定滑轮受力如图。 联立（联立（1）-（4），可得），可得对物体对物体A： ）（ 1 sin1AmamgT对物体对物体B： ）（2 2BmaTmg对定滑轮：对定滑轮： ）（3 21212mRIRTRT牵连关系：牵连关系： ）（4
7、RaaBAmgT5sin321mgT5sin232gaaBA5)sin1 (2三、刚体定轴转动中的动能定理三、刚体定轴转动中的动能定理 1、力矩的功、力矩的功O转动平面转动平面rFrdrdFdAsinFrd dMA 21)2cos( FdsMddA转动平面内的外力转动平面内的外力 的元功：的元功： F力矩力矩M做的元功做的元功： Z 刚体从刚体从 转到转到 角时，角时，力矩力矩M所作的总功：所作的总功： 122 2、转动动能、转动动能221 iikmE 整个刚体的转动动能，等于刚体上所有整个刚体的转动动能，等于刚体上所有质元动能之和。质元动能之和。 ）（2221 iirm22)(21 iirm
8、221 IEk3 3、动能定理、动能定理MddAdIdI 合外力矩合外力矩M 作的元功：作的元功：ddtdI积分得积分得2122212121IIdM12kkEEA 外力矩对刚体作功之和，等于刚体转动外力矩对刚体作功之和，等于刚体转动动能的增量。动能的增量。 四、定轴转动刚体的角动量及其守恒定律四、定轴转动刚体的角动量及其守恒定律1、质点对轴的角动量、质点对轴的角动量 O mL r2mrmrL2 rmrmL 在定轴转动的刚体在定轴转动的刚体上，各质元对轴的角动上，各质元对轴的角动量都沿转轴方向。量都沿转轴方向。 2、刚体对轴的角动量、刚体对轴的角动量IL 推导推导.圆周运动圆周运动：质元对轴的角
9、动量：质元对轴的角动量：2iiirmL刚体对轴的角动量刚体对轴的角动量 ：iLL)(2iirm)(2iirmI 、 、 的方向，都沿转轴方向。所以的方向，都沿转轴方向。所以 iLLIL 推导推导：3、刚体角动量定理和角动量守恒定律、刚体角动量定理和角动量守恒定律由质点系角动量定理：由质点系角动量定理： 00 IIdtMti 外dtLdMi外 )(dtId标量式标量式： dtIddtdLMi)( 外 刚体角动量对时间的变化率，等于作用于刚体角动量对时间的变化率，等于作用于刚体上的外力矩之和。刚体上的外力矩之和。 00 IIdtMti 外刚体角动量的增量，等于刚体受到的冲量矩刚体角动量的增量，等于
10、刚体受到的冲量矩 。常量时，当外ILMi0 上式称为刚体的角动量守恒定律。当上式称为刚体的角动量守恒定律。当刚体所受刚体所受的外力矩之和等于零的外力矩之和等于零时，刚体的角动量保持不变。时，刚体的角动量保持不变。 强调强调：当系统为质点和刚体组成时，当当系统为质点和刚体组成时，当系统对某系统对某一定轴的外力矩之和为零一定轴的外力矩之和为零时，系统对该轴的总角时，系统对该轴的总角动量保持不变。即：动量保持不变。即： 常矢量mrIdtrd 速度dtda 加速度五、质点与刚体力学规律对照表五、质点与刚体力学规律对照表dtd 角速度dtd 角加速度mF ，质量力amF 牛二律，力矩FrM dmrI2转
11、动惯量IM 转动定律ttdtFm 0 ，冲量动量dtPdF 动量定理质质 点点 刚体（定轴转动）刚体（定轴转动） ttMdtIL 0 , 冲量矩角动量dtdLM 角动量定理五、质点与刚体力学规律对照表五、质点与刚体力学规律对照表（续）（续）质质 点点 刚体（定轴转动）刚体（定轴转动） 动量守恒定律：则有，若外 0 iF常矢量0iipp角动量守恒定律：常量IL221 m平动动能bardFA 力的功2022121 mmA动能定理2022121 IIA动能定理0 MdA力矩的功221 I转动动能时，则有当0iM刚体动力学规律的应用举例刚体动力学规律的应用举例 例例1：如图，质量：如图，质量m，长为，
12、长为L的匀质细杆，可绕水的匀质细杆，可绕水平的光滑轴在竖直平面内转动，转轴平的光滑轴在竖直平面内转动，转轴O在杆的在杆的A端。若使杆于水平位置从静止开始向下摆动，求端。若使杆于水平位置从静止开始向下摆动，求杆摆到铅直位置时的角速度。杆摆到铅直位置时的角速度。OmgN 方法一方法一：应用动能定理应用动能定理 MdAdLmgcos220mgL210212ILg3 OmgN方法二方法二：应用转动定律应用转动定律 dtdILmgMcos2ddIdtdddI分离变量后，积分分离变量后，积分200cos2d IdLmgLg3 方法四方法四：应用机械能守恒定律（见下一个例题应用机械能守恒定律（见下一个例题
13、）方法三方法三：应用角动量定理应用角动量定理dtIdM)（sMmlm22)3(6例例2：质量：质量m，长为，长为L的均匀细棒，可绕过其一端的水的均匀细棒，可绕过其一端的水平轴平轴O转动。现将棒拉到水平位置（转动。现将棒拉到水平位置（OA）放手，棒下）放手，棒下摆到铅直位置（摆到铅直位置（OA）时，与水平面）时，与水平面A处的质量为处的质量为M的的物块作完全弹性碰撞，物体在水平面上向右滑行了一物块作完全弹性碰撞，物体在水平面上向右滑行了一段距离段距离s后停止。设物体与水平面间的摩擦系数处处后停止。设物体与水平面间的摩擦系数处处 相同，求证相同，求证思思 路路： 分清过程分清过程分析受力分析受力选
14、择系统选择系统应用规律应用规律MMsOAA解：解：（1）第一阶段：棒从水平位置下摆到铅直位置第一阶段：棒从水平位置下摆到铅直位置但尚未与物块碰撞。以棒和地球为系统，系统的机械但尚未与物块碰撞。以棒和地球为系统，系统的机械能守恒。选择地面处的能守恒。选择地面处的EP = 0 。 MMsOAA）（ 1 22102lmgImgl）（式中：2 312mlI （2）第二阶段：棒与物第二阶段：棒与物块作完全弹性碰撞。以块作完全弹性碰撞。以棒和物块为系统，系统棒和物块为系统，系统的角动量守恒和机械能的角动量守恒和机械能守恒。守恒。MMsOAA）（3 lMII）（4 21212122MII（3）第三阶段：碰撞后物块在水平面上滑行。应第三阶段：碰撞后物块在水平面上滑行。应用动能定理。用动能定理。)5( 2102MMgs联立以上五式，可证明：联立以上五式，可证明：sMmlm22)3(6作业：作业： 教材：教材：3 25；4 10，12 教材：教材：4 15，16，17
