1、定义定义1：设：设 是线性空间是线性空间V的一个线性变换，的一个线性变换， 集合集合 ( )( )|VV 称为称为线性变换的值域线性变换的值域，也记作或，也记作或 Im,.V 集合集合 1(0)|, ( )0V 称为称为线性变换的核线性变换的核，也记作，也记作 ker. 注：注： 皆为皆为V的子空间的子空间.1( ),(0)V 定义定义2：线性变换的值域线性变换的值域 的维数称为的维数称为的秩的秩；( )V 的核的核 的维数称为的维数称为 的零度的零度. 1(0) 例例1、在线性空间在线性空间 中，令中，令 nP x ( )( )D f xfx 则则 1 ,nnD P xP x 1(0)DP
2、所以所以D的秩为的秩为n1，D的零度为的零度为1. 1. (定理定理10) 设是设是n 维线性空间维线性空间V的线性变换，的线性变换， 是是V的一组基，在这组基下的矩阵是的一组基，在这组基下的矩阵是A，12,n 则则1） 的值域的值域 是由基象组生成的子空间，即是由基象组生成的子空间，即 ( )V 12( )(), (), ()nVL 2） 的秩的秩A的秩的秩. 2. 设为设为n 维线性空间维线性空间V的线性变换，则的线性变换，则 的秩的零度的秩的零度n 即即 1dim( )dim(0).Vn 证明：设证明：设 的零度等于的零度等于r ，在核，在核 中取一组基中取一组基 1(0) 12,r 并
3、把它扩充为并把它扩充为V的一组基：的一组基： 12,rn 生成的生成的.由定理由定理10， 是由基象组是由基象组( )V 12(), (), ()n 但但 ()0,1,2, .iir 1( )(), ()rnVL 设设 11()()0rrnnkk 则有则有 110rrnnkk111(0)rrnnkk 下证下证 为为 的一组基，即证它们的一组基，即证它们1(), ()rn ( )V 即即 可被可被 线性表出线性表出. 12,r 线性无关线性无关.设设 1 122rrkkk于是有于是有 1 122,110rrrrnnkkkkk由于为由于为 V的基的基. 12,n 120nkkk 的秩的秩nr .因
4、此，因此， 的秩的秩 的零度的零度n. 故故 线线 性无关，即它为性无关，即它为 的一组基的一组基. 1(), ()rn ( )V 虽然虽然 与与 的维数之和等于的维数之和等于n，但是，但是( )V 1(0) 未必等于未必等于V. 1( )(0)V 如在例如在例1中中, 11 0 nnnD P xDP xP x ) 是满射是满射 ( )VV 证明：证明：) 显然显然.) 因为因为 若若 为单射，则为单射，则 00, 1(0)0 . 3. 设为设为n 维线性空间维线性空间V的线性变换，则的线性变换，则 ) 是单射是单射 1(0)0 反之反之 ，若，若 任取任取 若若 1(0)0 , ,V 、(
5、)( ), 则则()( )( )0, 即即 . = =故是单射故是单射. 1(0)0 , 从而从而 是单射是单射 是满射是满射. 证明：是单射证明：是单射 1(0)0 dim( )Vn 4. 设设为为n 维线性空间维线性空间V的线性变换，则的线性变换，则 1dim(0)0 是满射是满射. ( )VV 1021121312552212A 线性变换在此基下的矩阵为线性变换在此基下的矩阵为 1) 求求 及及 1(0). ( )V 2) 在在 中选一组基，把它扩充为中选一组基，把它扩充为V的一组基，的一组基， 1(0) 并求并求 在这组基下的矩阵在这组基下的矩阵. 并求并求 在这组基下的矩阵在这组基下
6、的矩阵. 3) 在在 中选一组基，把它扩充为中选一组基，把它扩充为V的一组基，的一组基，( )V 例例2、设是线性空间设是线性空间V的一组基，已知的一组基，已知1234, 解：解：1）先求）先求 设设 它在它在1(0). 1(0), 1234, 下的坐标为下的坐标为1234(,).x xxx 0,0,0,0 .故故123410210121301255022120 xxxx 由于由于 有有 在在 下的坐标为下的坐标为 ( )0, 1234, ( ) 解此齐次线性方程组，得它的一个基础解系：解此齐次线性方程组，得它的一个基础解系： 22/310 ,1201从而从而 112322/3, 是是 的一组
7、基的一组基. 1(0) 112(0),.L 由于由于 的零度为的零度为2 ，所以，所以 的秩为的秩为2， 又由矩阵又由矩阵A，有，有21242 即即 为为2维的维的.( )V 再求再求( ).V 11234()2 2234()222 1234( )(), (), (), ()VL 2）因为）因为 121212341021012/32,00100001 从而有从而有所以，线性无关，所以，线性无关，12(), () 12(), ()L 就是就是 的一组基的一组基. 12(), () ( )V 12341(,)D 而而 1021012/3210,001000011D可逆可逆. 从而从而 ， 线性无关
8、，即为线性无关，即为V的一组基的一组基. 1212, 在基在基 下的矩阵为下的矩阵为 1212, 11152009/2100.12002200DAD 3）因为）因为 1234123410001200(), (),12102201 12342(,)D 可逆可逆 .2D1000120020,12102201 而而从而从而 线性无关，即为线性无关，即为V的一组基的一组基. 1234(), (), 在这组基下的矩阵为在这组基下的矩阵为12252219/213/22.00000000DAD 1-10111201A 线性变换在此基下的矩阵为线性变换在此基下的矩阵为 1) 求求 及及 1(0). ( )V 2) 在在 中选一组基，把它扩充为中选一组基，把它扩充为V的一组基，的一组基， 1(0) 并求并求 在这组基下的矩阵在这组基下的矩阵. 并求并求 在这组基下的矩阵在这组基下的矩阵. 3) 在在 中选一组基，把它扩充为中选一组基，把它扩充为V的一组基，的一组基，( )V 作业作业设是线性空间设是线性空间V的一组基，已知的一组基，已知1234,
