1、一、函数项级数的一致收敛性一、函数项级数的一致收敛性幂级数在收敛区间上的性质类似于有限项函数求和但一般函 数项级数则不一定有这么好的特点. 例如例如, 级数)()()(1232nnxxxxxxx每项在 0,1 上都连续, 其前 n 项之和为,)(nnxxS和函数)(lim)(xSxSnn10 x, 01x, 1该和函数在 x1 间断.的性质,因为对任意 x 都有: ),2, 1(1sin222nnnxn所以它的收敛域为(, ) , 但逐项求导后的级数 xnxx22cos2coscos22222sin22sin1sinnxnxx其一般项不趋于0, 所以对任意 x 都发散 .又如又如, 函数项级数
2、问题问题: 对什么样的函数项级数才有:逐项连续 和函数连续; 逐项求导 = 和函数求导; 逐项积分 = 和函数积分 函数序列的一致收敛函数序列的一致收敛回忆回忆 0( ),nfxIxI 设设是是区区间间 上上的的函函数数列列 若若数数列列 0()( ).nnfxfxI收收敛敛，则则称称在在收收敛敛或或逐逐点点收收敛敛上上000,(, )0,(, ),即当时N xnN x 00|()()|nfxf x 定义定义 ( )nfxI则则称称在在 上上一一 ( )( )nfxIf x设设在在点点集集 上上逐逐点点收收敛敛于于，且且对对0, 任任意意( ),xN 存存在在与与 无无关关 ,nN 使使得得当
3、当时时 对对一一,xI 切切( )( ),nfxf x 都都有有( )f x致致收收敛敛于于。证明：证明：反之，反之，定理定理sup( )(: ) nnx Ifxf x 记记， ( )nfxI则则在在 上上( ) lim0nnf x 一一致致收收敛敛于于。( )( ),nfxIf x若若在在 上上一一致致收收敛敛于于0, 则则( )0,N . . ( ),s tnN 时时,xI 对对都都有有( )( )2nfxf x sup( )( )2nnx Ifxf x lim0.nn lim0,0,( )0,( )nnNnN 若若则则时时,n ,( )( ).nnxIfxf x ( )( ).在 上一致
4、收敛于nfxIf x例例. .证明：证明：22( )(,).1nxfxn x 求求证证在在上上一一致致收收敛敛(,),x 2222211( )( )1212nxn xfxf xn xnn xn 22lim( )lim0,( )0.1nnnxfxf xn x 逐逐点点收收敛敛于于(,)1sup( )( )0.2nnxfxf xn ( )0,(,).nfxx 一一致致收收敛敛于于例例. .解：解：一致收敛一致收敛故在故在(0,1)(0,1)上不一致收敛上不一致收敛. .22( )(0,1)(1,)1nnxfxn x 判判断断在在和和上上是是否否一一致致收收敛敛？, lim( )0.nnxfx 1,
5、x 当当时时222211( )( )1nnxnxfxf xn xn xnxn (1,)1sup( )( )0nnxfxf xn 01,x 当当时时(0,1)111sup( )( )( )0,112nnnxfxf xfn 而而0,不不定义定义. 设 S(x) 为 )(1xunn若对 都有一个只依赖于 的自然数 N , 使 当n N 时, 对区间 I 上的一切 x 都有)()()(xSxSxrnn则称该级数在区间 I 上一致收敛于和函数S(x) .在区间 I 上的和函数,任意给定的 0,显然, 在区间 I 上 )(1xunn一致收敛于和函数S(x)部分和序列)(xSn一致收敛于S(x) 余项 )(
6、xrn一致收敛于 0 几何解释几何解释 : (如图) )(xSy)(xSyIx)(xSy , 0,NN当n N 时,表示)()(xSxSn曲线 )()(xSyxSy与总位于曲线)(xSyn)(xSyn之间.定理定理( (柯西收敛原理柯西收敛原理) )1( )( )nnuxIS x 在在 上上一一致致收收敛敛于于0,( ),NN 1,( )( ).nnpxIpNuxux ( ),nN 当当时时推论推论逆否命题逆否命题: :0收收敛敛于于 。1( )( )nnnuxIuxI 若若在在 上上一一致致收收敛敛，则则在在 上上一一致致1( )0,( ).nnnuxIuxI 若若在在 上上不不一一致致收收
7、敛敛于于 则则在在 上上不不一一致致收收敛敛例例1(0,).nxnne 讨讨论论在在上上的的一一致致收收敛敛性性例例1. 研究级数 ) 1)(1)3)(2(1)2)(1(1nxnxxxxx在区间 0, +) 上的收敛性.解解: 111) 1)(1kxkxkxkx), 2 , 1(k)3121()2111()(xxxxxSn)111(nxnx1111nxx)(lim)(xSxSnn)1111(limnxxn11x)0( x余项的绝对值:)()()(xSxSxrnn11nx11n)0( x因此, 任给 0, 取自然数 ,11N则当n N 时有)0()(xxrn这说明级数在 0, +) 上一致收敛于
8、 .11)(xxS例例2. 证明级数 )()()(1232nnxxxxxxx在 0,1 上不一致收敛 . 证证: nnnnxxxxxxxS)()()(12)(xS10 x, 01x, 1)()()(xSxSxrnn10 x,nx1x, 0取正数 ,21对无论多么大的正数 n ,112( ),nnx 取0, 1 ,nx 12(),nnr x而因此级数在 0, 1 上不一致收敛 . yOx说明说明:11nnnxxS)()(xS10 x, 01x, 12n4n10n30n) 1 , 1 ()(xS对任意正数 r 0, 欲使,nr只要,lnlnrn因此取,lnlnrN只要,Nn ,)(nnrxr必有即
9、级数在 0, r 上一致收敛 .魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯(Weierstrass) 判别法判别法 用一致收敛定义判别级数的一致收敛性时, 需求出 ),()(xSxSn及这往往比较困难. 下面介绍一个较方便的判别法.若函数项级数)(1xunn在区间 I 上满足:; ),2, 1()() 1naxunn,)21收敛正项级数nna则函数项级数 )(1xunn在区间 I 上一致收敛 .简介 (M-(M-判别法或优判别法判别法或优判别法) )证证:由条件2), 根据柯西审敛原理, ,0N当 n N 时, 对任意正整数 p , 都有 221pnnnaaa由条件1), 对 x I , 有)()()(21xu
10、xuxupnnn)()()(21xuxuxupnnn221pnnnaaa则由上式得令,p2)(xrn故函数项级数 )(1xunn在区间 I 上一致收敛 . 证毕OxRRab推论推论.若幂级数nnnxa0的收敛半径 R 0 , 则此级 数在 (R, R ) 内任一闭区间 a , b 上一致收敛 .证证: ,maxbar 设则对 a , b 上的一切 x , 都有 ),2, 1 ,0(nraxannnn,0Rr 而由Abel定理(第三节定理1) 级数 nnnra0绝对收敛 , 由Weierstrauss判别法即知推论成立. 说明说明: 若幂级数在收敛区间的端点收敛, 则一致收敛 区间可包含此端点.
11、 证毕 例例3.证明级数22222sin22sin1sinnxnxx在(, ) 上 一致收敛 .证证: ),(x因对任意),2, 1 ,0(1sin222nnnxn而级数021nn收敛, 由Weierstrauss判别法知所给级数在(, )上 一致收敛 .说明说明:Weierstrauss判别法不仅能判别级数的一致收 敛性, 而且能判别其绝对收敛性. 当不易观察到不等式时，nnaxu)(可利用导数求sup( )nnxIaux例如例如, 级数,1251xnxnn), 0 x5322520,)111sup,12nnnxaun xnn用求导法可得已知2311nn收敛, 因此原级数在 0, ) 上一致
12、收敛 . ,1)(25xnxnxun二、一致收敛级数的基本性质二、一致收敛级数的基本性质定理定理1. 若级数 :)(1满足xunn, )(,)()21xSbaxunn上一致收敛于在区间.,)(上连续在则baxS证证: 只需证明, ,0bax . )()(lim00 xSxSxx由于)()(0 xSxS)()()()(00 xrxSxrxSnnnn)()()()(00 xrxrxSxSnnnn;,)() 1上连续在区间各项baxun)()()()()()(000 xrxrxSxSxSxSnnnn因为级数)(1xunn一致收敛于S (x) , N, 0故),(N使当 n N 时, 有3)(,3)(
13、0 xrxrnn对这样选定的 n , ,)(0连续在xxSn从而必存在 0 ,有时当,0 xx3)()(0 xSxSnn从而得)()(0 xSxS,)(0连续在故xxS).()(lim00 xSxSxx即证毕 说明说明:(1) 定理1 表明, 对一致收敛的级数, 极限运算与无限 求和运算可交换, 即有)(lim)(lim0011xuxunxxnnnxx(2) 若函数项级数不一致收敛时, 定理结论不一定成立. 例如例如, 级数 ) 1() 1() 1(12xxxxxxxn在区间 0 , 1 上处处收敛, 而其和函数)(xS10 x, 01x, 1在 x = 1 处不连续 .例例. .（内闭一致收
14、敛）内闭一致收敛）证明：证明：10( )().证明在上连续nxnS xne, 10( )()nxnS xne, 虽虽然然在在上上不不一一致致收收敛敛，), 在在上上连连续续。0)( ),S x 但但任任取取，它它在在上上一一致致收收敛敛。因因此此( )S x 由由于于 的的任任意意性性，因因此此在在(0)., 上上连连续续定理定理2. 若级数 :)(1满足xunn, )(,)()21xSbaxunn上一致收敛于在区间则该级数在 a, b 上可逐项积分, xxuxxSnxxnxxd)(d)(001,0bxxa即对且上式右端级数在 a, b 上也一致收敛 . 证证: 因为 xxukxxnkd)(0
15、1xxSxxunxxknkxxd)(d)(001;,)() 1上连续在区间各项baxun所以只需证明对任意 ),(,00 xxbaxx一致有xxSxxSxxnxxnd)(d)(lim00 根据级数的一致收敛性, ),(, 0NN 使当 n N 时, 有abxSxSn)()(于是, 当 n N 时, 对一切 ),(,00 xxbaxx有xxSxxSxxnxxd)(d)(00 xxSxSnxxd)()(0 xxSxSnbad)()(因此定理结论正确. 证毕 说明说明: 若级数不一致收敛时, 定理结论不一定成立. 例如例如, 级数 2222) 1(221e) 1(2e2xnxnnxnxn它的部分和
16、,e2)(222xnnxnxS因此级数在 0 , 1 上收敛于 S (x) = 0 , 所以.0d)(10 xxS但是xxnxnxnxnnde) 1(2e22222) 1(2211022ee) 1(1nnn110)(dxxS 对级数定理结论不成立的原因: 级数的余项 22e2)(2xnnxnxr,10时当nx )2(1e2)(0nnxrn可见级数在 0, 1 上不一致收敛 , 此即定理2 结论 对级数不成立的原因. 2222) 1(221e) 1(2e2xnxnnxnxn 定理定理3. 若级数 满足：)(1xunn,)()31上一致收敛在级数baxunn,),()(1baxxuxSnn且可逐项
17、求导, 即 ; ),2, 1(,)()2nbaxun上连续在,)(1上一致收敛在区间则baxunn; )(,) 1xSba上收敛于在区间证证: 先证可逐项求导. ),()(1xxunn设根据 定理2有对, ,baxxxuxxnxanxad)(d)(1)()(1auxunnn)()(11auxunnnn)()(aSxS上式两边对 x 求导, 得 ).()(xxS再证.,)(1上一致收敛在baxunn根据,d)(1上一致收敛在级数baxxunxan而xxunxand)(1)()(11auxunnnn定理2)(1xunnxxunxand)(1)(1aunn所以.,上一致收敛在ba级数一致收敛并不保证
18、可以逐项求导. 例如, 例3中的级数22222sin22sin1sinnxnxx说明说明:在任意区间上都一致收敛, 但求导后的级数 xnxx22cos2coscos其一般项不趋于 0, 所以对任意 x 都发散 . 证毕 例例4. 证明函数 31sin)(nnxxfn对任意 x 有连续导数.解解: 显然所给级数对任意 x 都收敛 , 且每项都有连续导数, 而逐项求导后的级数 31sinnnxn21cosnnxn,1cos22nnnx,121收敛nn故级数在 (, ) 上一致收敛, 故由定理3可知.cos)(21nnxxfn 再由定理1可知 .),()(上连续在 xf定理1 定理3 定理定理4 .
19、 若幂级数nnnxa0的收敛半径,0R)(xS数nnnxaxS0)(,11nnnxan),(RRxxxaxxSnxnnxdd)(000 ,110nnnxna),(RRx则其和函在收敛域上连续, 且在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分, 运算前后收敛半径相同,即证证: 由Weierstrauss判别法的推论及定理 1, 2 可知 和函数连续、级数逐项可积； 级数逐项可导分两步证：),(10RRxannnn在先证内收敛.),(RRx任取,11Rxxx使再取定, 11xxq记则1nnxannnnxaxxxn11111nnnxaxqn1111由比值审敛法知 ,10收敛nnqn, 0lim1nnqn故因此
20、存在 M 0 , 使得 ),2, 1(111nMqnxn,01Rx 又,10收敛级数nnnxa由比较审敛法可知nnxaM1,11绝对收敛nnnxan,ba从而在(R, R)内任一闭区间上一致收敛, 故原级数,0baxannn在上满足定理3 条件,定理3 从而可逐项求导, 再由a, b 的任意性, 即知 ),(,110RRxxanxannnnnn再证 11nnnxan的收敛半径 R = R .前面已证 ;RR 11)(, 0nnnxanRxx上对在定理3 逐项积分, 得,1nnnxa,RR .RR 证毕因逐项积分所得级数的收敛半径不会缩小, 综上所述幂级数 nnnxa0(R, R ) 内有任意阶
21、导数, 且有 knnknkxaknnnxS) 1() 1()()(),2, 1(k其收敛半径都为 R . 推论推论:的和函数 S (x) 在收敛区间 第七节 设幂级数设幂级数 0nnnxa的收敛半径为的收敛半径为, R.0 R;lim000 nnnnnnRxRaxa.)(lim000 nnnnnnRxRaxa(Abel(Abel第二定理第二定理) )定理定理连续性定理连续性定理收敛，则收敛，则若若 0)(nnnRa收敛，则收敛，则若若 0nnnRa当当 0nnnRa收敛收敛, ., 0Rxn00上上一一致致收收敛敛在在RRaxannnnnn 证证明明：单调单调一致有界，且关于一致有界，且关于在
22、在由于由于nRRxn, 0 ,判别法根据最后附录介绍的Abel.0 ,上上类似可得在类似可得在R .lim000 nnnnnnRxRaxa故故作业作业(6-13)P307 1; 2; 4(2), (3), (5) 1( )( )nnnax bx 的的一一致致收收敛敛的的判判别别法法定义定义定义定义 0,|.nnaM,naM 数数列列有有界界存存在在使使得得对对有有 ( ),( )0,nf xIxIM x 设设定定义义在在 上上，若若给给定定存存在在使使,( )( ) ( ).nnnfxxM xfI 得得有有，则则在在 上上逐逐点点有有界界称称 ( )0nf xIMxI 设设定定义义在在 上上，
23、若若存存在在，使使得得对对，( ),1,2 ( ).nnfxMxnfI ，则则称称在在 上上一一致致有有界界以下部分是阅读材料,不做要求!(1)(1) . 0,)(上一致收敛于上一致收敛于并且在并且在单调单调对固定的对固定的Ixxbn(2)(2).)(1上一致有界上一致有界的部分和序列在的部分和序列在Ixann .)()(1上一致收敛上一致收敛在在则则Ixbxannn 证明：证明： nkkmnkmnkkxaxaxa111)()()(由于由于Mxaxankkmkk2)()(11 定理定理(Dirichlet(Dirichlet判别法判别法) )满足下列条件：满足下列条件：设设 1)()(nnnx
24、bxa引理有，引理有，所以由所以由Abel) )(2)(2)()(11xbxbMxbxapnnpnnkkk , 0)(上上一一致致收收敛敛于于在在又又因因为为Ixbn.8)(Mxbn ., ,82821pIMMMbapnnkkk 于是有于是有由柯西收敛原理，由柯西收敛原理，有有对对所以所以,),(. t . s),(, 0IxNnN .)()(1上一致收敛上一致收敛在在Ixbxannn 证毕证毕! !例例证明证明：即部分和序列一致有界，即部分和序列一致有界，11cossin, ,2.nnnxnxnn 证证明明在在上上一一致致收收敛敛1cos,( )0.nnnanx bb xn 取取则则单单调调
25、减减( ( 一一致致) ) 趋趋于于1111( )cossinsin22nnkkka xkxx 且且，1cos ,2.由Dirichlet判别法可得，在上一致收敛nnxn 1sin ,2.nnxn 同同理理，在在上上一一致致收收敛敛 ;,)( )1(上一致有界上一致有界且在且在单调单调对固定对固定Ixxbn.)( )2(1上一致收敛上一致收敛在在Ixann .)()(1上一致收敛上一致收敛在在则则Ixbxannn .,)(., 0IxMxbs.tMn 即：即：定理定理3.4(Abel3.4(Abel判别法判别法) )满足下列条件：满足下列条件：设设 1)()(nnnxbxa类似类似Dirich
26、letDirichlet判别法可证，这里判别法可证，这里从略从略. .例例解：解：2( 1) (2)arctan0,).ln (1)nnnnxnxnx 讨讨论论在在上上的的一一致致收收敛敛性性2( 1),lnnnnan 令令( ( 1 1) )12( 1)lnnnnnan 则则一一致致收收敛敛，211,11nnnnxbxx 令令则则0,1,( )1,( )( )| 2,nnnxb xxb xb x 递递增增，递递减减, , 且且| |2( 1)20,).ln1nnnnxnx 所所以以在在上上一一致致收收敛敛 , arctanxnx 又又因因为为对对 固固定定单单( ( 2 2) )调调递递增增，|arctan|,2x 且且2( 1)2arctan0,).1nnnnxnxnx 在在上上一一致致收收敛敛维尔斯特拉斯维尔斯特拉斯 (1815 1897)德国数学家. 他的主要贡献是在函数论及分析学方面. 1854年, 他解决了椭圆 以后还建立了椭圆函数的新结构. 他在分析学中建立了实数理论,引进了极限的 定义, 定义及性质, 还构造了一个处处不可微的连续函数: 积分的逆转问题, 给出了连续函数的严格为分析学的算术化作出了重要贡献 .)cos(0 xbannn),1, 10(23为奇数baba
