1、2、傅里叶逆变换的确定有时是很困难的，因此使傅里、傅里叶逆变换的确定有时是很困难的，因此使傅里叶变换的应用受到限制。叶变换的应用受到限制。 3、它只能求出系统的零状态响应，零输入响应还得用、它只能求出系统的零状态响应，零输入响应还得用其他方法确定。其他方法确定。 在这一章中将通过把频域中的傅里叶变换推广到在这一章中将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频域来解决这些问题复频域来解决这些问题-即拉普拉斯变换。即拉普拉斯变换。 应用拉普拉斯变换进行系统分析的方法，同样是应用拉普拉斯变换进行系统分析的方法，同样是建立在线性时不变系统具有叠加性和齐次性的基础上建立在线性时不变系统具有叠加性和齐次性的基础上
2、的，只是信号分解的基本单元函数不同。因此这两种的，只是信号分解的基本单元函数不同。因此这两种变换，无论在性质上或是在进行系统分析的方法上都变换，无论在性质上或是在进行系统分析的方法上都有着很多类似的地方。事实上，傅里叶变换可看成是有着很多类似的地方。事实上，傅里叶变换可看成是拉普拉斯变换的一种特殊情况。拉普拉斯变换的一种特殊情况。在频域分析中，以在频域分析中，以tje 为基本信号，为基本信号， 在复频域分析中，以在复频域分析中，以tse 为基本信号，为基本信号， js 复数复数 ste其中其中 因此，傅立叶变换是拉普拉斯变换的一个特例。因此，傅立叶变换是拉普拉斯变换的一个特例。拉普拉斯变换是傅
3、立叶变换的推广。拉普拉斯变换是傅立叶变换的推广。由于当由于当 js , 0tjstee 本章共四节：拉普拉斯变换；拉普拉斯变换的性质；本章共四节：拉普拉斯变换；拉普拉斯变换的性质；拉普拉斯逆变换；复频域分析；拉普拉斯逆变换；复频域分析； ntjnneFtf)(1( )()2j tf tF jed一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 那么，能不能将这些信号乘上一个衰减因子，这那么，能不能将这些信号乘上一个衰减因子，这样它就可能满足绝对可积条件？正是这种想法，样它就可能满足绝对可积条件？正是这种想法，引出了拉普拉斯变换。引出了拉普拉斯变换。 0 tet如：一个指数增长的信号
4、如：一个指数增长的信号 显然不满显然不满足绝对可积条件，且它的傅里叶变换是不存在的。足绝对可积条件，且它的傅里叶变换是不存在的。 51 拉普拉斯变换拉普拉斯变换对任意信号对任意信号 乘以一个衰减因子乘以一个衰减因子 ,适当适当选取选取 的值使的值使 当当 时时,信号幅度趋于信号幅度趋于0，从而使其满足绝对可积的条件：，从而使其满足绝对可积的条件： tfte tetf t dtetft f t dt dtedttett 022 例如例如 tetft 2 不满足绝对可积的条件。不满足绝对可积的条件。 teetftt 2 只要只要2 dteett02 满足绝对可积的条件。满足绝对可积的条件。又如又如
5、 tttf 也不满足绝对可积的条件。也不满足绝对可积的条件。 tteetftt 只要只要0 dtett0 满足绝对可积的条件。满足绝对可积的条件。上述积分结果是上述积分结果是 的函数，令其为的函数，令其为 即：即： j jFb jFb dtetftj dejFetftjbt 21假设假设 满足绝对可积条件，则满足绝对可积条件，则 tetf 由傅立叶逆变换得：由傅立叶逆变换得： dtetfdteetfetftjtjtt 收敛收敛 dejFtftjb 21 dejFtftjb21令令 ， 为实数，则为实数，则 于是上面于是上面两个式子变为：两个式子变为：js jdsd 2 . 21 jjstbds
6、esFjtf 1 . dtetfsFstb 式称为双边拉普拉斯变换对；式称为双边拉普拉斯变换对； 称为称为 的双边拉氏变换（或的双边拉氏变换（或象函数象函数）；）； 称为称为 的双边拉氏逆变换（或的双边拉氏逆变换（或原函数原函数）。）。 21 sFb tf tf sFb jFb dtetftj 二、收敛域二、收敛域 如前所述，选择适当的如前所述，选择适当的 值才可能使值才可能使 满满足绝对可积足绝对可积,才可使才可使(1)式积分收敛，信号式积分收敛，信号 的双边的双边拉普拉斯变换存在。拉普拉斯变换存在。 通常把通常把 满足绝对可积的满足绝对可积的 值的范围称为值的范围称为收敛域。收敛域。 tf
7、 tetf tetf 1 dtetfdteetfetftjtjtt 收敛收敛我们先来研究两种信号：我们先来研究两种信号： （1）因果信号）因果信号 )0 , 0( ttf（2）反因果信号）反因果信号 )0 , 0( ttf 1 dtetfdteetfetftjtjtt 收敛收敛例例5.1-1 设因果信号设因果信号 0 , 0 , 01tettetftt求其拉氏变换。求其拉氏变换。 解：解： 0 1dtedtetesFtssttb s1 0sets 0 seetjt sRe收敛域收敛域 为实数为实数 可见对于因果信号，仅当可见对于因果信号，仅当 时，时，其拉氏变换才存在。其拉氏变换才存在。其收敛
8、域为其收敛域为 。 sRe sRe在以在以 为横轴，为横轴， 为纵轴的为纵轴的 平面（复平面），平面（复平面）， 是一个区域，称为拉普拉斯变换的收敛域或是一个区域，称为拉普拉斯变换的收敛域或象函数的收敛域。如下图象函数的收敛域。如下图 所示。所示。js sRe因果函数的收敛域S平面平面收敛边界收敛边界 0 , 0 , 01tettetftt例例5.1-2 设反因果信号设反因果信号 0, 00, e 2 tttetftt为实数，为实数， 求其双边拉氏变换。求其双边拉氏变换。 0 2dtedtetesFtssttb 解：解： 0 sets s1 0 seetjt sRe 收敛域收敛域可见对于反因果
9、信号，仅当可见对于反因果信号，仅当 时，时，其拉氏变换才存在。其拉氏变换才存在。其收敛域为其收敛域为 。如图所示。如图所示。 sRe sRe反因果函数反因果函数的收敛域的收敛域S平面平面 0, 00, e 2 tttetftt如果一个双边函数如果一个双边函数 0 0 21 tetetftftftt 其双边拉氏变换为其双边拉氏变换为 sFsFsFbbb21 如果如果 ，当然存在共同的收敛域，当然存在共同的收敛域 ，收敛域是带，收敛域是带状区域状区域 ; sRe如果如果 则没有共同的收敛域，则没有共同的收敛域， 不存在。不存在。 sFb双边函数双边函数的收敛域的收敛域 sRe sRe因果函数的收敛
10、域反因果函数反因果函数的收敛域的收敛域 tetft 1 tetft 2 0 0 21 tetetftftftt 双边函数双边函数的收敛域的收敛域 当收敛域包含虚轴时，拉氏变换与傅氏当收敛域包含虚轴时，拉氏变换与傅氏变换同时存在，将变换同时存在，将 代入即可得其傅氏代入即可得其傅氏变换。变换。 js 双边拉氏变换便于分析双边信号双边拉氏变换便于分析双边信号,但其收敛但其收敛条件较为苛刻条件较为苛刻,这也限制了它的应用这也限制了它的应用单边拉氏变换单边拉氏变换实际用到的信号都有初始时刻，不妨设其为坐标原实际用到的信号都有初始时刻，不妨设其为坐标原点，这样，点，这样， 时，时， 从而拉氏变换可写成从
11、而拉氏变换可写成0 t 0 tf 0dtetfsFst单边拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换 本章仅讨论单边拉普拉斯变换，单边拉普拉斯变本章仅讨论单边拉普拉斯变换，单边拉普拉斯变换简称为拉普拉斯变换或换简称为拉普拉斯变换或拉氏变换拉氏变换。 0这里这里 0是指是指 三、三、 （单边）（单边） 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 的拉氏变换简记为的拉氏变换简记为: tf sFtfL 逆变换简记为逆变换简记为: tfSFL 1其变换与逆变换也简记为其变换与逆变换也简记为: sFtf1、拉普拉斯变换的、拉普拉斯变换的符号表示符号表示为了使为了使 存在，积分式必须收敛。存在，积分式必须收敛。对此有如下定理：对此有如下
12、定理： 0dtetfst若若因果函数因果函数 满足：满足： tf（2）存在某个）存在某个 有有 0 0 , 0lim ttetf(1) 在有限区间在有限区间 内可积。内可积。bta 那么对于那么对于 ，拉氏积分收敛。，拉氏积分收敛。 0Re s2收敛域（单边拉氏变换存在条件）收敛域（单边拉氏变换存在条件）我们称我们称 为为 指数阶的。指数阶的。 tf0 其中其中ba0(1) 在有限区间在有限区间 内可积。内可积。bta 条件条件1表明，表明， 可以包含有限个间断点，只要求它在有限可以包含有限个间断点，只要求它在有限区间可积。区间可积。 tf tt1（2）存在某个）存在某个 有有 0 0 , 0
13、lim ttetf满足条件满足条件2，且，且 有界，其拉氏变换有界，其拉氏变换存在存在bbdtt021 tt1满足条件满足条件2，但，但 无界，其拉氏变换无界，其拉氏变换不存在不存在bbtdtt00ln1说明：说明：(1) 在有限区间在有限区间 内可积。内可积。bta 条件条件2表明，表明， 可以是随可以是随t的增大而增大的，只要它比某些的增大而增大的，只要它比某些指数函数增长的慢即可。指数函数增长的慢即可。 tf tt（2）存在某个）存在某个 有有 0 0 , 0lim ttetf2te满足条件满足条件1，但不满足条件，但不满足条件2，其拉氏变换不存在，其拉氏变换不存在说明：说明：满足条件满
14、足条件1，且，且 选选 ，有，有 其拉氏变换存在其拉氏变换存在00 0limttetf再例如：再例如： 0lim 3t3 ttteete 3Re0 s 0lim 2t2 ttteete 2Re0 s 0lim t tett 0Re0 s 0lim t tnnettt 0Re0 s增长比任何指数阶都快，所以不存在拉氏变换。增长比任何指数阶都快，所以不存在拉氏变换。 、 2tet ttt而而 0 , 0lim ttetf定理表明，满足条件定理表明，满足条件1和和2的因果函数的因果函数 存在拉氏变换，其存在拉氏变换，其收敛域为收敛域为 以右，即以右，即 的半平面，而且积分是一致的半平面，而且积分是一
15、致收敛的收敛的 tf0 0sR(1) 在有限区间在有限区间 内可积。内可积。bta （2）存在某个）存在某个 有有 0 0 , 0lim ttetf说明：说明：另外，要注意还有一类信号：另外，要注意还有一类信号：时限信号时限信号收敛域收敛域0t2 tf b1T2Tt0 tf a时限信号的时限信号的收敛域为整个收敛域为整个 平面。平面。s SRe即即 时限信号对于任何时限信号对于任何 都有都有 0lim ttetf例例5.1-3 求求 其其余余 , 0t0 , 12tgtf的象函数。的象函数。 解：这个信号显然是可积的，且对于任何解：这个信号显然是可积的，且对于任何 都有都有 0lim ttet
16、f所以收敛域是整个所以收敛域是整个 S 平面。平面。3常用信号的拉氏变换常用信号的拉氏变换 00dtedtetftfLststsesesst 1 0setgs 12 SRe例例5.1-4 求求 、 的象函数。的象函数。 t t解：解： ， 均为时限信号，所以收敛域均为时限信号，所以收敛域为整个为整个 平面。平面。 t ts 100 dttdtettLst ssedtdedtettLtsttstst 000 1t St SRe SRe例例5.1-5 求复指数函数求复指数函数 的象函数。的象函数。 tetftso 式中式中 为复常数为复常数 0s 00 0000ssedteeteLtsssttst
17、s01ss 0ReRess 解：解：特例：特例： 100 s stL1 0Re s 2 0 0 s steLt1 sRe 3 0 0 s steLt1 sRe 4 0 0 js jsteLtj 1 0Re s 5 0 0 js jsteLtj 1 0Re s01ss 0ReRess tets 0 setgs 12 SRe 1t St SRe SRe 010sstets 0ReRess *.收敛域简单记忆法收敛域简单记忆法 ： sF其中其中 为为 所有极点的实部的最大值。所有极点的实部的最大值。 0 的收敛域为：的收敛域为： sF Re0 s*.由于单边拉氏变换的积分区间是由于单边拉氏变换的积分
18、区间是 ， 所以所以 ， 与与 的拉氏变换相同。的拉氏变换相同。 为简便，时间函数中的为简便，时间函数中的 也常略去不写。也常略去不写。 0 ttf tf t 010sstets 0ReRess 010ssets 0ReRess 1.在频域分析中，以在频域分析中，以tje 为基本信号，为基本信号， 在复频域分析中，以在复频域分析中，以tse 为基本信号，为基本信号， js 复数复数 ste其中其中 因此，傅立叶变换是拉普拉斯变换的一个特例。因此，傅立叶变换是拉普拉斯变换的一个特例。拉普拉斯变换是傅立叶变换的推广。拉普拉斯变换是傅立叶变换的推广。由于当由于当 js , 0tjstee ntjnn
19、eFtf)(1( )()2j tf tF jed拉氏变换与傅里叶变换比较拉氏变换与傅里叶变换比较: 2.拉氏变换是傅氏变换的拓展，它对信号的拉氏变换是傅氏变换的拓展，它对信号的限制要宽限制要宽的多的多。象函数是。象函数是复变函数复变函数，它存在于收敛域的半平面，它存在于收敛域的半平面内，而傅里叶变换仅是收敛域中虚轴上的函数。内，而傅里叶变换仅是收敛域中虚轴上的函数。4.但拉氏变换也有但拉氏变换也有不足之处不足之处，单边拉氏变换仅适用单边拉氏变换仅适用于因果信号于因果信号，而且它们的物理意义不很明显，例，而且它们的物理意义不很明显，例有明确的物理含义，而有明确的物理含义，而 却没有明确的含义。却没有明确的含义。s拉氏变换与傅里叶变换比较拉氏变换与傅里叶变换比较:3. 拉氏变换可同时求解零输入响应和零状态响应，拉氏变换可同时求解零输入响应和零状态响应，且拉氏逆变换容易求得。且拉氏逆变换容易求得。
