1、第十五章振动第十五章振动 1-1 简谐振动的描述简谐振动的描述1.3 简谐振动的动力学方程简谐振动的动力学方程 1.2 简谐振动的矢量图表示法简谐振动的矢量图表示法1.4 两个简谐振动的实例两个简谐振动的实例 单摆单摆 复摆（物理摆）复摆（物理摆） 简谐振动的动力学方程简谐振动的动力学方程 简谐振动的速度和加速度简谐振动的速度和加速度 二阶微分方程的初始条件决定振幅和初相位二阶微分方程的初始条件决定振幅和初相位提提 纲纲 振动的一般概念振动的一般概念 简谐振动的运动学描述简谐振动的运动学描述简谐振动的描述简谐振动的描述 振动的一般概念振动的一般概念 什么叫振动什么叫振动物体在同一路径的一定物体
2、在同一路径的一定位置附近作重复往返运动称为机械振动。位置附近作重复往返运动称为机械振动。 周期性振动周期性振动在在 T时间内运动状态能完全重复。时间内运动状态能完全重复。人类生活在振动的世界里。振动在力学、声学、电人类生活在振动的世界里。振动在力学、声学、电学、生物工程、自控等各领域都占有重要的地位。学、生物工程、自控等各领域都占有重要的地位。特点特点：有平衡点，且具有重复性。有平衡点，且具有重复性。非周期性振动非周期性振动在在 T时间内运动状态不能完全重复。时间内运动状态不能完全重复。 机械振动分类机械振动分类按产生振动原因分：按产生振动原因分：自由、受迫、自激、参变振动自由、受迫、自激、参
3、变振动。按振动规律分：按振动规律分：简谐、非简谐、随机振动简谐、非简谐、随机振动。按自由度分：按自由度分：单自由度系统、多自由度系统振动单自由度系统、多自由度系统振动。按振动位移分：按振动位移分：角振动、线振动角振动、线振动。按系统参数特征分：按系统参数特征分：线性、非线性振动线性、非线性振动。其中简谐振动是最基本的，存在于许多物理现象中。其中简谐振动是最基本的，存在于许多物理现象中。1-1 简谐振动简谐振动1.简谐振动的特征及其表达式简谐振动的特征及其表达式 简谐振动：简谐振动：物体运动时，离开平衡位置的位移物体运动时，离开平衡位置的位移( (或或角位移角位移) )按余弦按余弦( (或正弦或
4、正弦) )规律随时间变化。规律随时间变化。XOFFXOXO简谐振动的特征及其表达式简谐振动的特征及其表达式弹簧振子：弹簧振子：连接在一起的一个忽略了质量的弹簧和连接在一起的一个忽略了质量的弹簧和一个不发生形变的物体系统。一个不发生形变的物体系统。回复力：回复力：作简谐运动的质点所受的沿位移方向的合作简谐运动的质点所受的沿位移方向的合 外力外力, , 该力与位移成正比且反向。该力与位移成正比且反向。 简谐振动的动力学特征简谐振动的动力学特征: :kxF, xmkmFa 据牛顿第二定律，得据牛顿第二定律，得2mk令令xtxa222dd运动学特征运动学特征简谐振动的特征及其表达式简谐振动的特征及其表
5、达式0dd222xtx位移位移 之解可写为：之解可写为：)cos(0tAxx或或)i(0etAx 简谐振动的运动学特征简谐振动的运动学特征: :物体的加速度与位移成正物体的加速度与位移成正 比而方向相反，物体的位移按余弦规律变化。比而方向相反，物体的位移按余弦规律变化。速度速度)sin(dd0tAtxv加速度加速度)cos(dd0222tAtxa简谐振动的特征及其表达式简谐振动的特征及其表达式0dd222xtx 例例15-2 15-2 一质量为一质量为m 的平底船，其平均水平截面积为的平底船，其平均水平截面积为S，吃水深度为吃水深度为h，如不计水的阻力，求此船在竖直方向的振动周，如不计水的阻力
6、，求此船在竖直方向的振动周期。期。解解: : 船静止时浮力与重力平衡，船静止时浮力与重力平衡，mghSg OyPPy 船在任一位置时，以水面为坐标原点船在任一位置时，以水面为坐标原点, ,竖竖直向下的坐标轴为直向下的坐标轴为y 轴，船的位移用轴，船的位移用y 表示。表示。 几种常见的简谐振动几种常见的简谐振动船的位移船的位移为为y 时船所受合力为：时船所受合力为：SgymgSgyhf)(船在竖直方向作简谐振动，其角频率和周期为船在竖直方向作简谐振动，其角频率和周期为: :mSggSmT22因因,ShmghT2得得: : 几种常见的简谐振动几种常见的简谐振动 简谐振动中质点位移、速度、加速度与时
7、间的关系简谐振动中质点位移、速度、加速度与时间的关系: :tx42tvta简谐振动的特征及其表达式简谐振动的特征及其表达式0000sin,cosAvAx2020)(vxA000arctgxv 常量常量 和和 的确定的确定A0在在 到到 之间，通常之间，通常 存在两个值，可根据存在两个值，可根据 进行取舍。进行取舍。00sinAv0根据初始条件：根据初始条件： 时，时， , , ，得得0 xx 0vv 0t简谐振动的特征及其表达式简谐振动的特征及其表达式2.简谐振动的振幅、周期、频率和相位简谐振动的振幅、周期、频率和相位(1)(1)振幅振幅: : 物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。物体离开平衡
8、位置的最大位移的绝对值。2020)(vxA由初始条件确定由初始条件确定2T)(cos)cos(00tTAtAx(2)(2)周期和频率周期和频率 周期：周期：物体作一次完全运动所经历的时间。物体作一次完全运动所经历的时间。频率：频率：单位时间内物体所作完全运动的次数。单位时间内物体所作完全运动的次数。21T22T角频率角频率: : 物体在物体在 秒内所作的完全运动的次数。秒内所作的完全运动的次数。2对于弹簧振子，因有对于弹簧振子，因有 ，得，得: :mk,2kmTmk21利用上述关系式，得谐振动表达式：利用上述关系式，得谐振动表达式：02cosTtAx02costAx 简谐振动的振幅、周期、频率
9、和相位简谐振动的振幅、周期、频率和相位(3)(3)相位和初相相位和初相相位相位 ：决定简谐运动状态的物理量。：决定简谐运动状态的物理量。)(0t初相位初相位 ：t =0 时的相位时的相位。0)cos(1011tAx)cos(2022tAx 相位概念可用于比较两个谐振动之间在振动相位概念可用于比较两个谐振动之间在振动步调上的差异。步调上的差异。 设有两个同频率的谐振动，表达式分别为：设有两个同频率的谐振动，表达式分别为：二者的二者的相位差相位差为：为：10201020)()(tt 简谐振动的振幅、周期、频率和相位简谐振动的振幅、周期、频率和相位10201020)()(tt(b)(b)当当 时时,
10、 ,称两个振动为反相；称两个振动为反相；) 12(k(d)(d)当当 时时, ,称第二个振动落后第一个振动称第二个振动落后第一个振动 。0(c)(c)当当 时时, ,称第二个振动超前第一个振动称第二个振动超前第一个振动 ；0讨论讨论: : 相位可以用来比较不同物理量变化的步调，对相位可以用来比较不同物理量变化的步调，对于简谐振动的位移、速度和加速度，存在于简谐振动的位移、速度和加速度，存在: :)cos(0tAx (a) (a)当当 时时, ,称两个振动为同相；称两个振动为同相；k2)2cos()sin(0m0mtvtvv 简谐振动的振幅、周期、频率和相位简谐振动的振幅、周期、频率和相位)co
11、s()cos(0m0mtataa 速度的相位比位移的相位超前速度的相位比位移的相位超前 ，加速度的相，加速度的相位比位移的相位超前位比位移的相位超前 。2 简谐振动的振幅、周期、频率和相位简谐振动的振幅、周期、频率和相位 例例15-1 15-1 一物体沿一物体沿X 轴作简谐振动轴作简谐振动，振幅振幅A=0.12m, ,周期周期T=2s。当当t=0t=0时时, ,物体的位移物体的位移x= =0.06m, ,且向且向 X 轴正向运动轴正向运动。求求:(1):(1)简谐振动表达式简谐振动表达式;(2) ;(2) t = =T/4时物体的位置、速度和加速时物体的位置、速度和加速度度;(3);(3)物体
12、从物体从x =-0.06=-0.06m向向 X 轴负方向运动，轴负方向运动，第一次回到平衡第一次回到平衡位置所需时间。位置所需时间。解解: (1): (1)取平衡位置为坐标原点取平衡位置为坐标原点, ,谐振动方程写为：谐振动方程写为：(m)3cos(12. 0tx)cos(0tAx其中其中A=0.12m, T=2s, )(s21T初始条件：初始条件：t = 0, x0=0.06m,可得可得06. 0cos12. 0030据初始条件据初始条件 得得, 0sin00Av30 简谐振动的矢量图示法简谐振动的矢量图示法(2) (2) 由由(1)(1)求得的简谐振动表达式得求得的简谐振动表达式得: :)
13、s(m)3sin(12. 0dd1ttxv)s(m)3cos(12. 0dd22ttva在在t =T/4=0.5s时时，从前面所列的表达式可得从前面所列的表达式可得m104. 0m) 35 . 0cos(12. 0 x11sm18. 0sm)35 . 0sin(12. 0v222sm03. 1sm) 35 . 0cos(12. 0a 简谐振动的矢量图示法简谐振动的矢量图示法(3) (3) 当当x = -0.06m时时，该时刻设为该时刻设为t1 1, ,得得21)3cos(1t34, 3231t因该时刻速度为负，应舍去因该时刻速度为负，应舍去 ，34s11t设物体在设物体在t2 2时刻第一次回到
14、平衡位置，相位是时刻第一次回到平衡位置，相位是232332t因此从因此从x = -0.06m处第一次回到平衡位置的时间处第一次回到平衡位置的时间：。s83. 012ttt另解另解：从从t1 1时刻到时刻到t2 2时刻所对应的相差为时刻所对应的相差为：653223s83. 12ts83. 0t 简谐振动的矢量图示法简谐振动的矢量图示法3. 简谐振动的矢量图示法简谐振动的矢量图示法 采用旋转矢量法，可直观地领会简谐振动表达采用旋转矢量法，可直观地领会简谐振动表达式中各个物理量的意义。式中各个物理量的意义。 旋转矢量旋转矢量: :一长度等于振幅一长度等于振幅A 的矢量的矢量 在纸平面在纸平面内绕内绕
15、O点沿逆时针方向旋转，其角速度与谐振动的角点沿逆时针方向旋转，其角速度与谐振动的角频率相等，这个矢量称为旋转矢量。频率相等，这个矢量称为旋转矢量。A21A A1A A2A Ax2xx1x20M1M2M2 1)cos(2)(cos21221222112212221AAAAAAAAA22112211coscossinsinAAAAtg)cos(tAx两个同频率同方向谐振动的合成 简谐振动的矢量图示法简谐振动的矢量图示法振动相位振动相位逆时针方向逆时针方向 M 点在点在 x 轴上投影轴上投影( (P点点) )的运动的运动规律规律： )cos(0tAx的长度的长度A 旋转的角速度旋转的角速度A旋转的方
16、向旋转的方向A与参考方向与参考方向x 的夹角的夹角AXOM P xA0t振幅振幅A振动圆频率振动圆频率 简谐振动的矢量图示法简谐振动的矢量图示法AXO速度、加速度的旋转矢量表示法：速度、加速度的旋转矢量表示法：AXvxvaxa0t 沿沿X 轴的投轴的投影为简谐运动的速度、影为简谐运动的速度、加速度表达式加速度表达式。,vaM 点点: :MAXOAvmAam20v0v 简谐振动的矢量图示法简谐振动的矢量图示法两个同频率的简谐运动：两个同频率的简谐运动：)cos(111tAx相位之差为相位之差为.)()(1212ttXO1A1)cos(222tAx采用旋转矢量直观表示为：采用旋转矢量直观表示为：2
17、A2 简谐振动的矢量图示法简谐振动的矢量图示法4.4.几种常见的简谐振动几种常见的简谐振动(1) (1) 单摆单摆gmT重物所受合外力矩：重物所受合外力矩：sinmglMOl.! 5! 3sin53sinmglM据转动定律，得到据转动定律，得到lgmlmglJMt222dd 很小时很小时( (小于小于 ) )，可取，可取5令令 , ,lg2。lgT22有有)cos(0tm转角转角 的表达式可写为：的表达式可写为：角振幅角振幅 和初相和初相 由初始条件求得。由初始条件求得。m0单摆周期单摆周期 与角振幅与角振幅 的关系为的关系为mT 2sin43212sin2114222220mmTT 为为 很
18、小时单摆的周期。很小时单摆的周期。0Tm 根据上述周期的级数公式，可以将周期计算根据上述周期的级数公式，可以将周期计算到所要求的任何精度。到所要求的任何精度。 几种常见的简谐振动几种常见的简谐振动(2) (2) 复摆复摆一个可绕固定轴摆动的刚体称为复摆。一个可绕固定轴摆动的刚体称为复摆。gmCO 刚体的质心为刚体的质心为C, , 对过对过O 点的点的转轴的转动惯量为转轴的转动惯量为J, , O、C 两点间两点间距离的距离为距离的距离为h。sindd22mghtJmghtJ22dd令令Jmgh20dd222tmghJT22据转动定律，得据转动定律，得若若 角度较小时角度较小时 几种常见的简谐振动
19、几种常见的简谐振动5. 5. 简谐振动的能量简谐振动的能量)(sin212102222tAmmvEK)(cos21210222tkAkxEP动能动能势能势能以水平弹簧振子为例讨论简谐振动系统的能量。以水平弹簧振子为例讨论简谐振动系统的能量。系统总的机械能：系统总的机械能：)(cos21)(sin210220222tkAtAmEEEPKPKEEE 简谐振动的能量简谐振动的能量 考虑到考虑到 ，系统总能量为，系统总能量为 ，表，表明简谐振动的机械能守恒。明简谐振动的机械能守恒。221kAE mk2能量平均值能量平均值20022241d)(sin211kAttAmTETK2002241d)(cos2
20、11kAttkATETP2EEEPK上述结果对任一谐振系统均成立。上述结果对任一谐振系统均成立。谐振子的动能、势能和总能量随时间的变化曲线谐振子的动能、势能和总能量随时间的变化曲线: :tAxcostxO221kAE PEkEtOE 简谐振动的能量简谐振动的能量1-2 阻尼振动阻尼振动 振动物体不受任何阻力的影响，只在回复力作用振动物体不受任何阻力的影响，只在回复力作用下所作的振动，称为下所作的振动，称为无阻尼自由振动无阻尼自由振动。 在回复力和阻力作用下的振动称为在回复力和阻力作用下的振动称为阻尼振动阻尼振动。阻尼：阻尼：消耗振动系统能量的原因消耗振动系统能量的原因。 阻尼种类：摩擦阻尼阻尼
21、种类：摩擦阻尼 辐射阻尼辐射阻尼 对在流体对在流体( (液体、气体液体、气体) )中运动的物体，当物体速中运动的物体，当物体速度较小时，阻力大小正比于度较小时，阻力大小正比于速度，且方向相反，表示速度，且方向相反，表示为为 txvFddf ：阻力系数：阻力系数在阻力作用下的弹簧振子在阻力作用下的弹簧振子 阻尼振动阻尼振动受力：受力：运动方程运动方程: :txkxtxmdddd22引入引入 阻尼因子阻尼因子 m2固有频率固有频率mk00dd2dd2022xtxtx在小阻尼条件下在小阻尼条件下 ，微分方程的解为，微分方程的解为: :)(0) cos(e00tAxt220其中其中阻力阻力kxfF弹性
22、恢复力弹性恢复力) cos(e00tAxt0A其中其中 和和 为积分常数为积分常数, ,由初始条件决定。上式由初始条件决定。上式中的余弦项表征了在弹性力和阻力作用下的周期中的余弦项表征了在弹性力和阻力作用下的周期运动；运动； 反映了阻尼对振幅的影响。反映了阻尼对振幅的影响。0tetAe0txO阻尼振动的准周期性阻尼振动的准周期性减幅振动减幅振动 阻尼振动阻尼振动 阻尼振动不是周期性振动，更不是简谐振动，因阻尼振动不是周期性振动，更不是简谐振动，因位移不是时间的周期函数。但阻尼振动有某种重复性。位移不是时间的周期函数。但阻尼振动有某种重复性。 位移相继两次达到极大值的时间间隔叫做位移相继两次达到
23、极大值的时间间隔叫做阻尼振阻尼振动的周期动的周期，有，有0220222T显而易见，由于阻尼，振动变慢了。显而易见，由于阻尼，振动变慢了。阻尼振动的振幅为：阻尼振动的振幅为：tAAe0 振幅随时间作指数衰减。阻尼振幅随时间作指数衰减。阻尼 大小决定了阻尼大小决定了阻尼振动振幅的衰减程度。振动振幅的衰减程度。 阻尼振动阻尼振动阻尼振动的三种情形：阻尼振动的三种情形：000txO临界阻尼临界阻尼过阻尼过阻尼欠阻尼欠阻尼欠阻尼欠阻尼过阻尼过阻尼临界阻尼临界阻尼 通过控制阻尼的通过控制阻尼的大小，以满足不同实大小，以满足不同实际需要。际需要。 阻尼振动阻尼振动阻尼振动的三种情形：阻尼振动的三种情形：00
24、0txO临界阻尼临界阻尼过阻尼过阻尼欠阻尼欠阻尼欠阻尼欠阻尼过阻尼过阻尼临界阻尼临界阻尼 通过控制阻尼的通过控制阻尼的大小，以满足不同实大小，以满足不同实际需要。际需要。 阻尼振动阻尼振动1-3 受迫振动受迫振动 共振共振 1. 1.受迫振动受迫振动 物体在物体在周期性外力周期性外力的持续作用下发生的振动的持续作用下发生的振动称为称为受迫振动受迫振动。物体所受驱动力：物体所受驱动力：tFFcos0运动方程：运动方程：tFtxkxtxmcosdddd022设设mk20m2tmFxtxtxcosdd2dd02022受受 迫迫 振振 动动对于阻尼较小的情形，运动方程之解表为对于阻尼较小的情形，运动方
25、程之解表为: :)cos() cos(e002200tAtAxt衰减项衰减项稳态项稳态项经过一段时间后，衰减项忽略不计，仅考虑稳态项。经过一段时间后，衰减项忽略不计，仅考虑稳态项。)cos(0tAx22222004)(mFA22002tg)2cos(dd0tvtxvm稳态时振动物体速度：稳态时振动物体速度：22222004)(mFvm 在受迫振动中，周期性的驱动力对振动系统提供在受迫振动中，周期性的驱动力对振动系统提供能量，另一方面系统又因阻尼而消耗能量，若二者相能量，另一方面系统又因阻尼而消耗能量，若二者相等，则系统达到稳定振动状态。等，则系统达到稳定振动状态。受受 迫迫 振振 动动2.2.
26、共振共振 对于受迫振动，当外对于受迫振动，当外力幅值恒定时，稳定态振力幅值恒定时，稳定态振幅随驱动力的频率而变化。幅随驱动力的频率而变化。当驱动力的角频率等于某当驱动力的角频率等于某个特定值时，位移振幅达个特定值时，位移振幅达到最大值的现象称为位移到最大值的现象称为位移共振。共振。AO0阻尼阻尼=0=0阻尼较小阻尼较小阻尼较大阻尼较大0ddA根据根据2202共振共振共共 振振 受迫振动速度在一定受迫振动速度在一定条件下发生共振的的现象条件下发生共振的的现象称为称为速度共振速度共振。0ddmv根据根据0共振共振 在阻尼很小的前提下在阻尼很小的前提下，速度共振速度共振和和位移共振位移共振可以可以认
27、为等同。认为等同。mvO0阻尼阻尼=0=0阻尼较小阻尼较小阻尼较大阻尼较大 受迫振动速度在一定受迫振动速度在一定条件下发生共振的的现象条件下发生共振的的现象称为称为速度共振速度共振。0ddmv根据根据0共振共振 在阻尼很小的前提下在阻尼很小的前提下，速度共振速度共振和和位移共振位移共振可以可以认为等同。认为等同。mvO0阻尼阻尼=0=0阻尼较小阻尼较小阻尼较大阻尼较大共共 振振 简谐振动的合成简谐振动的合成15-4 同方向的简谐振动的合成同方向的简谐振动的合成 1. 1.同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成 设一质点同时参与沿同一方向设一质点同时参与沿同一方向(x
28、轴轴)的两个独的两个独立的同频率的简谐振动，两个振动位移为：立的同频率的简谐振动，两个振动位移为：)cos(1011tAx)cos(2022tAx合位移：合位移：)cos(021tAxxx)cos(21020212221AAAAA202101202101coscossinsintgAAAA合振动仍然是简谐振动，其方向和频率与原来相同。合振动仍然是简谐振动，其方向和频率与原来相同。同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成21A A1A A2A Ax2xx1x20M1M2M2 1)cos(2)(cos21221222112212221AAAAAAAAA22112211cos
29、cossinsinAAAAtg)cos(tAx两个同频率同方向谐振动的合成(1)当当 20102k (k=0及正及正负整数负整数)，cos(20-10)=1, 有有21AAA同相迭加，合振幅最大同相迭加，合振幅最大。(2)当当 2010(2k+1) (k=0及及正负整数正负整数), cos(20-10)=0, 有有21AAA反相迭加，合振幅最小反相迭加，合振幅最小。当当A1=A2 时，时，A=0。(3)通常情况下，合振幅介于通常情况下，合振幅介于 和和 之间。之间。21AA 21AA 讨论：讨论：1A2AXO1A2AXO同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成 例例15
30、-415-4 N个同方向、同频率的简谐振动，它们的振幅相等，初个同方向、同频率的简谐振动，它们的振幅相等，初相分别为相分别为0, 0, a, 2, 2a, ., , ., 依次差一个恒量依次差一个恒量a，振动表达式可写成，振动表达式可写成taxcos1)cos(2tax)2cos(3tax) 1(cosNtaxN求它们的合振动的振幅和初相。求它们的合振动的振幅和初相。 解解: :采用旋转矢量法可使问题得到简化，从而避开采用旋转矢量法可使问题得到简化，从而避开烦琐的三角函数运算。烦琐的三角函数运算。 根据矢量合成法则，根据矢量合成法则，N个简谐振动对应的旋转矢个简谐振动对应的旋转矢量的合成如下图
31、所示：量的合成如下图所示：同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成OX1a2a3a4a5aC 因各个振动的振幅相同且相差依次恒为因各个振动的振幅相同且相差依次恒为 ，上图，上图中各个矢量的起点和终点都在以中各个矢量的起点和终点都在以 C为圆心的圆周上，为圆心的圆周上，根据简单的几何关系，可得根据简单的几何关系，可得AMNOCM 同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成 在三角形在三角形OCM中中, ,OM 的长度就是和振动位移矢的长度就是和振动位移矢量的位移量的位移, ,角度角度 就是和振动的初相，据此得就是和振动的初相，据此得MOX2sin2N
32、OCA 考虑到考虑到2sin2OCa 2sin2sinNaA COMCOXMOX21)(21)(21NN当当 时时( (同相合成同相合成) )，有，有0,NaA 。0同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成 2. 2.同方向不同频率的两个简谐振动的合成同方向不同频率的两个简谐振动的合成 拍拍)cos(),cos(02220111tAxtAx两个简谐振动合成得：两个简谐振动合成得： 当两个同方向简谐振动的频率不同时，在旋转矢当两个同方向简谐振动的频率不同时，在旋转矢量图示法中两个旋转矢量的转动角速度不相同，二者量图示法中两个旋转矢量的转动角速度不相同，二者的相位差与时间有
33、关，合矢量的长度和角速度都将随的相位差与时间有关，合矢量的长度和角速度都将随时间变化。时间变化。两个简谐振动的频率两个简谐振动的频率 和和 很接近，且很接近，且1212)2cos()2cos(201212ttAxx = x1+ x2同方向不同频率的两个简谐振动的合成同方向不同频率的两个简谐振动的合成 拍拍21122因因,21112或或,2有有 在两个简谐振动的位移合成表达式中，第一项随在两个简谐振动的位移合成表达式中，第一项随时间作缓慢变化时间作缓慢变化, , 第二项是角频率近于第二项是角频率近于 的简谐的简谐函数。合振动可视为是角频率为函数。合振动可视为是角频率为 、振幅为、振幅为 的简谐振
34、动。的简谐振动。1或或22)(212)(cos212tA 合振动的振幅随时间作缓慢的周期性的变化，振合振动的振幅随时间作缓慢的周期性的变化，振动出现时强时弱的动出现时强时弱的拍现象拍现象。拍频拍频: :单位时间内强弱变化的次数。单位时间内强弱变化的次数。12122t1xt2xtx同方向不同频率的两个简谐振动的合成同方向不同频率的两个简谐振动的合成 拍拍1-5 相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成两个同频率的相互垂直的分运动位移表达式两个同频率的相互垂直的分运动位移表达式消时间参数，得消时间参数，得)cos(101tAx)(sin)cos(210202102021222212AyAx
35、AyAx)cos(202tAy 合运动一般是在合运动一般是在 ( x 向向)、 ( y 向向)范围内的一范围内的一个椭圆。个椭圆。 12A22A 椭圆的性质椭圆的性质( (方位、长短轴、左右旋方位、长短轴、左右旋 ) )在在 A1 、A2确定之后确定之后, ,主要决定于主要决定于 。1020相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成(1) 20100, , 两个分振动同相位，得两个分振动同相位，得xAAy12在任一时刻离开坐标原点位移为：在任一时刻离开坐标原点位移为：)cos(2221tAAs(2) 2010, 两个分运动反相位，得两个分运动反相位，得xAAy12几种特殊情况：几种特殊情
36、况：(3) 2010/2，得，得1222212AyAx(4) 20103/2，仍然得，仍然得1222212AyAx几种特殊情况：几种特殊情况：这是坐标轴为主轴的椭圆，质这是坐标轴为主轴的椭圆，质点的轨迹是顺时针旋转。点的轨迹是顺时针旋转。与与33相同，只是质点的轨迹相同，只是质点的轨迹沿逆时针旋转。沿逆时针旋转。相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成几种特殊情况：几种特殊情况：10200QP .4243452347相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成4相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成47相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成方向垂直的不同频率的简
37、谐振动的合成方向垂直的不同频率的简谐振动的合成 两分振动频率相差很小两分振动频率相差很小 可看作两频率相等而可看作两频率相等而 随随t 缓慢变化，合运动缓慢变化，合运动轨迹将按上页图依次缓慢变化轨迹将按上页图依次缓慢变化 轨迹称为李萨如图形轨迹称为李萨如图形-A2yxA1A2O- A1 两振动的频率成两振动的频率成整数比整数比t )(120,42:3:1020yx相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成1:21:32:302几幅典型的利萨如图形几幅典型的利萨如图形相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成21:2:yx相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成42:3:yx相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成21:3:yx相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成
