1、10.1.2事件的关系和运算事件的关系和运算 在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多随在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多随机事件，如：机事件，如：Ci=“点数为点数为i ”，i=1，2，3，4，5，6； D1=“点数不大于点数不大于3”； D2=“点数大于点数大于3”；E1=“点数为点数为1或或2”; E2=”点数为点数为2或或3“; F=“点数为偶数点数为偶数”； G=“点数为奇数点数为奇数”；.你能用集合的形式表示这些事件，借助集合与集合的关系你能用集合的形式表示这些事件，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的和运算，你能发现这些事件之间的联系联系吗
2、？吗？新知讲授新知讲授(四四)：事件的关系和运算：事件的关系和运算 思考一：思考一：用集合的形式表示用集合的形式表示事件事件C1=“点数为点数为1 ”和事件和事件G=“点数为奇数点数为奇数”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的些事件之间的联系联系吗？吗？新知讲授新知讲授(四四)：事件的关系和运算：事件的关系和运算 思考一：思考一：用集合的形式表示用集合的形式表示事件事件C1=“点数为点数为1 ”和事件和事件G=“点数为奇数点数为奇数”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的些事件之间的联
3、系联系吗？吗？由已知得：由已知得：C1=1和和G=1，3，5显然，显然，如果事件如果事件C1发生，那么事件发生，那么事件G一定发生。一定发生。 用集合表示就是用集合表示就是也就是说，也就是说，事件事件G包含事件包含事件C1. GC 1,5 ,3, 11即即新知讲授新知讲授(四四)：事件的关系和运算：事件的关系和运算 一般地，一般地，若事件若事件A发生，则事件发生，则事件B一定发生，一定发生，我们就称事件我们就称事件B包含事件包含事件A(或事件或事件A包含于事件包含于事件B)，记作记作(如下图如下图10.1-4所示所示) BAAB 或或新知讲授新知讲授(四四)：事件的关系和运算：事件的关系和运算
4、 一般地，一般地，若事件若事件A发生，则事件发生，则事件B一定发生，一定发生，我们就称事件我们就称事件B包含事件包含事件A(或事件或事件A包含于事件包含于事件B)，记作记作(如下图如下图10.1-4所示所示)特别地，如果特别地，如果事件事件B包含事件包含事件A，事件，事件A也包含也包含B，即，即 则称则称事件事件A与事件与事件B相等，记作相等，记作A=B. BAAB 或或 BAAB 或或新知讲授新知讲授(四四)：事件的关系和运算：事件的关系和运算 思考二：用集合的形式表示事件思考二：用集合的形式表示事件D1=“点数不大于点数不大于3 ”、事件、事件E1=“点数为点数为1或或2”和事件和事件E2
5、=“点数为点数为2或或3”，借助集合与集合的关系和，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？运算，你能发现这些事件之间的联系吗？新知讲授新知讲授(四四)：事件的关系和运算：事件的关系和运算 思考二：用集合的形式表示事件思考二：用集合的形式表示事件D1=“点数不大于点数不大于3 ”、事件、事件E1=“点数为点数为1或或2”和事件和事件E2=“点数为点数为2或或3”，借助集合与集合的关系和，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？运算，你能发现这些事件之间的联系吗？由已知得：由已知得：D1=1, 2, 3,E1=1, 2和和E2=2, 3显然，显然，事件事件E1
6、和事件和事件E2至少有一个发生，相当于事件至少有一个发生，相当于事件D1发生发生。用集合表示就是用集合表示就是这时我们称这时我们称事件事件D1为事件为事件E1和事件和事件E2的并事件的并事件。 121,3 , 2 , 13 , 22 , 1DEE 即即新知讲授新知讲授(四四)：事件的关系和运算：事件的关系和运算 一般地，一般地，若事件若事件A和事件和事件B至少有一个发生，这样的一个事至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件件中的样本点或者在事件A中，或者在事件中，或者在事件B中，中，我们就称这个事件为事件我们就称这个事件为事件A与事件与事件B的并事件的并事件(或和事件或和事件)，记作
7、记作 BABA 或或新知讲授新知讲授(四四)：事件的关系和运算：事件的关系和运算 一般地，一般地，若事件若事件A和事件和事件B至少有一个发生，这样的一个事至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件件中的样本点或者在事件A中，或者在事件中，或者在事件B中，中，我们就称这个事件为事件我们就称这个事件为事件A与事件与事件B的并事件的并事件(或和事件或和事件)，记作记作 (如下图如下图10.1-5所示：绿色区域和黄色区域表示这个并事件所示：绿色区域和黄色区域表示这个并事件) BABA 或或新知讲授新知讲授(四四)：事件的关系和运算：事件的关系和运算 思考三：用集合的形式表示事件思考三：用集合的
8、形式表示事件C2=“点数为点数为2 ”，借助集，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？新知讲授新知讲授(四四)：事件的关系和运算：事件的关系和运算 思考三：用集合的形式表示事件思考三：用集合的形式表示事件C2=“点数为点数为2 ”，借助集，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？由已知得：事件由已知得：事件E1=“点数为点数为1或或2”和事件和事件E2=“点数为点数为2或或3”同时发生，相当于事件同时发生，相当于事件C2发生。发生。用集合表示就是用集合表
9、示就是这时我们称这时我们称事件事件C2为事件为事件E1和事件和事件E2的交事件的交事件。 221,23 ,22 , 1CEE 即即新知讲授新知讲授(四四)：事件的关系和运算：事件的关系和运算 一般地，一般地，若事件若事件A与事件与事件B同时发生，这样的一个事件中同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件的样本点既在事件A中，也在事件中，也在事件B中，中，我们就称这样的一个事件为事件我们就称这样的一个事件为事件A与事件与事件B的交事件的交事件(或或积事件积事件)，记作记作 ABBA或或 新知讲授新知讲授(四四)：事件的关系和运算：事件的关系和运算 一般地，一般地，若事件若事件A与事件与事件B同时
10、发生，这样的一个事件中同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件的样本点既在事件A中，也在事件中，也在事件B中，中，我们就称这样的一个事件为事件我们就称这样的一个事件为事件A与事件与事件B的交事件的交事件(或或积事件积事件)，记作记作 (如下图如下图10.1-6所示的蓝色区域所示的蓝色区域) ABBA或或 新知讲授新知讲授(四四)：事件的关系和运算：事件的关系和运算 思考四：用集合的形式表示事件思考四：用集合的形式表示事件C3=“点数为点数为3 ”和事件和事件C4=“点数为点数为4”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？些事件之间的
11、联系吗？新知讲授新知讲授(四四)：事件的关系和运算：事件的关系和运算 思考四：用集合的形式表示事件思考四：用集合的形式表示事件C3=“点数为点数为3 ”和事件和事件C4=“点数为点数为4”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？些事件之间的联系吗？由已知得：事件由已知得：事件C3=3，事件，事件C4=4显然，事件显然，事件C3与事件与事件C4不可能同时发生。不可能同时发生。即即这时我们称这时我们称事件事件C3与事件与事件C4互斥。互斥。 43,43CC即即新知讲授新知讲授(四四)：事件的关系和运算：事件的关系和运算 一般地，一般地，若
12、事件若事件A与事件与事件B不能同时发生，也就是说不能同时发生，也就是说AB是一个不可能事件，即是一个不可能事件，即AB=我们就称事件我们就称事件A与事件与事件B互斥互斥(或互不相容或互不相容)(如下图如下图10.1-7所示所示)新知讲授新知讲授(四四)：事件的关系和运算：事件的关系和运算 思考五：用集合的形式表示事件思考五：用集合的形式表示事件F=“点数为偶数点数为偶数 ”和事件和事件G=“点数为奇数点数为奇数”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？些事件之间的联系吗？新知讲授新知讲授(四四)：事件的关系和运算：事件的关系和运算 思
13、考五：用集合的形式表示事件思考五：用集合的形式表示事件F=“点数为偶数点数为偶数 ”和事件和事件G=“点数为奇数点数为奇数”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？些事件之间的联系吗？在任何一次试验中，事件在任何一次试验中，事件F与事件与事件G两者只能发生其中之一，两者只能发生其中之一，而且也必然发生其中之一。而且也必然发生其中之一。用集合可以表示为用集合可以表示为2, 4, 61, 3, 5=1, 2, 3, 4, 5, 6，即，即FG=，且，且2, 4, 61, 3, 5=，即，即FG=我们称我们称事件事件F与事件与事件G互为对立
14、事件。事件互为对立事件。事件D1与与D2也有这种也有这种关系。关系。新知讲授新知讲授(四四)：事件的关系和运算：事件的关系和运算 一般地，若事件一般地，若事件A和事件和事件B在任何一次试验中有且仅有一个在任何一次试验中有且仅有一个发生，即发生，即AB=，且，且AB=,我们就称事件我们就称事件A与事件与事件B互为对立。互为对立。事件事件A的对立事件记作的对立事件记作(如下图如下图10.1-8所示所示)A新知讲授新知讲授(四四)：事件的关系和运算：事件的关系和运算 思考六：你能根据思考一至思考五，你能总结这些事思考六：你能根据思考一至思考五，你能总结这些事件之间的关系吗？件之间的关系吗？新知讲授新
15、知讲授(四四)：事件的关系和运算：事件的关系和运算 思考六：你能根据思考一至思考五，你能总结这些事思考六：你能根据思考一至思考五，你能总结这些事件之间的关系吗？件之间的关系吗？事件的关系或运算事件的关系或运算含义含义符号表示符号表示新知讲授新知讲授(四四)：事件的关系和运算：事件的关系和运算 思考六：你能根据思考一至思考五，你能总结这些事思考六：你能根据思考一至思考五，你能总结这些事件之间的关系吗？件之间的关系吗？事件的关系或运算事件的关系或运算含义含义符号表示符号表示包含包含A发生导致发生导致B发生发生BA 新知讲授新知讲授(四四)：事件的关系和运算：事件的关系和运算 思考六：你能根据思考一
16、至思考五，你能总结这些事思考六：你能根据思考一至思考五，你能总结这些事件之间的关系吗？件之间的关系吗？事件的关系或运算事件的关系或运算含义含义符号表示符号表示包含包含A发生导致发生导致B发生发生并事件并事件(和事件和事件)A与与B至少一个发生至少一个发生BA BABA 或或新知讲授新知讲授(四四)：事件的关系和运算：事件的关系和运算 思考六：你能根据思考一至思考五，你能总结这些事思考六：你能根据思考一至思考五，你能总结这些事件之间的关系吗？件之间的关系吗？事件的关系或运算事件的关系或运算含义含义符号表示符号表示包含包含A发生导致发生导致B发生发生并事件并事件(和事件和事件)交事件交事件(积事件
17、积事件)A与与B同时发生同时发生A与与B至少一个发生至少一个发生BA BABA 或或 ABBA或或 新知讲授新知讲授(四四)：事件的关系和运算：事件的关系和运算 思考六：你能根据思考一至思考五，你能总结这些事思考六：你能根据思考一至思考五，你能总结这些事件之间的关系吗？件之间的关系吗？事件的关系或运算事件的关系或运算含义含义符号表示符号表示包含包含A发生导致发生导致B发生发生并事件并事件(和事件和事件)交事件交事件(积事件积事件)互斥互斥(互不相容互不相容)A与与B不能同时发生不能同时发生A与与B同时发生同时发生A与与B至少一个发生至少一个发生BA BABA 或或 ABBA或或 AB=新知讲授
18、新知讲授(四四)：事件的关系和运算：事件的关系和运算 思考六：你能根据思考一至思考五，你能总结这些事思考六：你能根据思考一至思考五，你能总结这些事件之间的关系吗？件之间的关系吗？事件的关系或运算事件的关系或运算含义含义符号表示符号表示包含包含A发生导致发生导致B发生发生并事件并事件(和事件和事件)交事件交事件(积事件积事件)互斥互斥(互不相容互不相容)互为对立互为对立A与与B有且仅有一有且仅有一个发生个发生A与与B不能同时发生不能同时发生A与与B同时发生同时发生A与与B至少一个发生至少一个发生BA BABA 或或 ABBA或或 AB=AB=，且，且AB=新知讲授新知讲授(四四)：事件的关系和运
19、算：事件的关系和运算 类似地，类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件我们可以定义多个事件的和事件以及积事件。新知讲授新知讲授(四四)：事件的关系和运算：事件的关系和运算 类似地，类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件我们可以定义多个事件的和事件以及积事件。例如，对于三个事件例如，对于三个事件A, B, C, ABC(或或A+B+C)发生当发生当且仅当且仅当A, B, C中至少一个发生，中至少一个发生，ABC(或或ABC)发生当且仅发生当且仅当当A, B, C同时发生，等等。同时发生，等等。新知讲授新知讲授(四四)：事件的关系和运算：事件的关系和运算 例例1、设设A，B为两个事件
20、，试用为两个事件，试用A，B表示下列各事件表示下列各事件（1） A，B两个事件至少一个发生两个事件至少一个发生（2） A发生发生B不发生不发生（3） A，B两个事件都不发生两个事件都不发生例例2、从从40张扑克牌（红桃，黑桃，方块，梅花，点张扑克牌（红桃，黑桃，方块，梅花，点数从数从1-10各各1张）任取一张，判断下列事件是否为对立事张）任取一张，判断下列事件是否为对立事件，是否为互斥事件？件，是否为互斥事件？（1）“抽出红桃抽出红桃”与与“抽出黑桃抽出黑桃”（2）“抽出红色牌抽出红色牌” 与与“抽出黑色牌抽出黑色牌” （3）“抽出的点数为抽出的点数为5的倍数的倍数” 与与“抽出的点数大于抽出
21、的点数大于9”。例例3、如图如图10.1-9，由甲、乙两个元件组成一个并联电路，由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效。设事件每个元件可能正常或失效。设事件A=“甲元件正常甲元件正常”，B=“乙元乙元件正常件正常”。(1) 写出表示两个元件工作状态的样本空间；写出表示两个元件工作状态的样本空间；(2) 用集合的形式表示事件用集合的形式表示事件A，B以及它们的对立事件；以及它们的对立事件；(3) 用集合的形式表示事件用集合的形式表示事件AB和事件和事件AB，并说明它们，并说明它们的含义及关系。的含义及关系。例题讲解例题讲解 解：解：(1)用用x1, x2分别表示甲、乙两个元件的
22、状态，分别表示甲、乙两个元件的状态，则可以用则可以用(x1, x2)表示这个并联电路的状态。表示这个并联电路的状态。以以1表示元件正常，表示元件正常，0表示元件失效，表示元件失效，则样本空间则样本空间=(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)(2) 根据题意，可得根据题意，可得 1 , 1,1 ,0,1 , 1,0 , 1 BA 0 , 1,0 ,0,1 ,0,0 ,0 BA例题讲解例题讲解 ;0 , 0,1 , 1,0 , 1,1 , 0 )3( BABA互为对立事件。互为对立事件。和和表示电路工作不正常；表示电路工作不正常；表示电路工作正常；表示电路工作正常；BABAB
23、ABA 例题讲解例题讲解 例例4、一个袋子中有大小和质地相同的一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有个球，其中有2个红色球个红色球(标号为标号为1和和2)，2个绿色球个绿色球(标号为标号为3和和4)，从袋中不放回地依次随机，从袋中不放回地依次随机摸出摸出2个球。设事件个球。设事件R1=“第一次摸到红球第一次摸到红球”，R2=“第二次摸到红球第二次摸到红球”，R=“两次都摸到红球两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球两次都摸到绿球”，M=“两个球颜色相两个球颜色相同同”，N“两个球颜色不同两个球颜色不同”。(1) 用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；用集合的形式分别写出试验的样
24、本空间以及上述各事件；(2) 事件事件R与与R1，R与与G，M与与N之间各有什么关系？之间各有什么关系？(3) 事件事件R与与G的并事件与事件的并事件与事件M有什么关系？事件有什么关系？事件R1与与R2的交的交事件与事件事件与事件R有什么关系？有什么关系？例题讲解例题讲解 解：解：(1) 所有的试验结果如图所有的试验结果如图10.1.-10所示。所示。用数组用数组(x1, x2)表示可能的结果，表示可能的结果，x1是第一次摸到的球的标是第一次摸到的球的标号，号，x2是第二次摸到的球的标号，是第二次摸到的球的标号，则试验的样本空间则试验的样本空间=(1, 2)，(1, 3)，(1, 4)， (2
25、, 1)，(2, 3)，(2, 4)， (3, 1)，(3, 2)，(3, 4)， (4, 1)，(4, 2)，(4, 3)例题讲解例题讲解 事件事件R1=“第一次摸到红球第一次摸到红球”，即，即x1=1或或2于是于是R1=(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3)事件事件R2=“第二次摸到红球第二次摸到红球”，即，即x2=1或或2于是于是R2=(2, 1), (3, 1), (4, 1), (1, 2), (3, 2), (4, 2)同理，有同理，有于是于是R=(1, 2), (2, 1), G=(3, 4), (4, 3), M=(1, 2
26、), (2, 1), (3, 4), (4, 3)N=(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2)例题讲解例题讲解 RRRR包含事件包含事件所以所以因为因为11, )2( 互斥；互斥；与事件与事件所以事件所以事件因为因为GRGR, 互为对立事件。互为对立事件。与事件与事件所以事件所以事件因为因为NMNMNM, 的并事件；的并事件；与事件与事件是事件是事件所以事件所以事件因为因为GRMMGR, )3( 的交事件。的交事件。与事件与事件是事件是事件所以事件所以事件因为因为2121,RRRRRR 例题讲解例题讲解 1.
27、在某次考试成绩中（满分为在某次考试成绩中（满分为100分），下列事件的关分），下列事件的关系是什么？系是什么？ A1=70分分80分分，A2=70分以上分以上 ； B1=不及格不及格，B2=60分以下分以下 ； C1=95分以上分以上，C2=90分分95分分； D1=80分分100分分，D2=0分分80分分。小试牛刀小试牛刀 1. 在某次考试成绩中（满分为在某次考试成绩中（满分为100分），下列事件的关分），下列事件的关系是什么？系是什么？ A1=70分分80分分，A2=70分以上分以上 ； B1=不及格不及格，B2=60分以下分以下 ； C1=95分以上分以上，C2=90分分95分分； D1
28、=80分分100分分，D2=0分分80分分。小试牛刀小试牛刀 A2包含包含A1 相等相等互斥互斥 对立对立2判断下面给出的每对事件是否是互斥事件或互为对立判断下面给出的每对事件是否是互斥事件或互为对立事件。事件。从从40张扑克牌（四种花色从张扑克牌（四种花色从110 各各10 张）中任取一张张）中任取一张“抽出红桃抽出红桃”和和“抽出黑桃抽出黑桃”“抽出红色牌抽出红色牌”和和“抽出黑色牌抽出黑色牌”“抽出的牌点数为抽出的牌点数为5的倍数的倍数”和和“抽出的牌点数大于抽出的牌点数大于9”小试牛刀小试牛刀 2判断下面给出的每对事件是否是互斥事件或互为对立判断下面给出的每对事件是否是互斥事件或互为对
29、立事件。事件。从从40张扑克牌（四种花色从张扑克牌（四种花色从110 各各10 张）中任取一张张）中任取一张“抽出红桃抽出红桃”和和“抽出黑桃抽出黑桃”“抽出红色牌抽出红色牌”和和“抽出黑色牌抽出黑色牌”“抽出的牌点数为抽出的牌点数为5的倍数的倍数”和和“抽出的牌点数大于抽出的牌点数大于9”小试牛刀小试牛刀 互斥但不对立互斥但不对立 对立对立既不互斥也不对立既不互斥也不对立3从从40张扑克牌张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从红桃、黑桃、方块、梅花，点数从110各各10张张)中，任取一张中，任取一张(1)“抽出红桃抽出红桃”与与“抽出黑桃抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌抽出红色牌”与与“抽出
30、黑色牌抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为抽出的牌点数为5的倍数的倍数”与与“抽出的牌点数大于抽出的牌点数大于9”判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由并说明理由小试牛刀小试牛刀 解：解：(1)是互斥事件，不是对立事件是互斥事件，不是对立事件理由是：从理由是：从40张扑克牌中任意抽取张扑克牌中任意抽取1张，张，“抽出红桃抽出红桃”和和“抽出黑桃抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件同时，是不可能同时发生的，所以是互斥事件同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能
31、抽出“方块方块”或或者者“梅花梅花”，因此，二者不是对立事件，因此，二者不是对立事件解：解：(1)是互斥事件，不是对立事件是互斥事件，不是对立事件理由是：从理由是：从40张扑克牌中任意抽取张扑克牌中任意抽取1张，张，“抽出红桃抽出红桃”和和“抽出黑桃抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件同时，是不可能同时发生的，所以是互斥事件同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块方块”或或者者“梅花梅花”，因此，二者不是对立事件，因此，二者不是对立事件(2)既是互斥事件，又是对立事件既是互斥事件，又是对立事件理由是：从理由是：从40张扑克牌中，任意抽取张扑克牌中，任意抽取1张，张，“抽出红色牌抽出红色牌”与与“抽出黑色牌抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件
