1、第八章 立体几何初步体知识点与经典例题赏析一.柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。（2）棱锥几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。（3）棱台： 几何特征：上下底面是相似的平行多边形 侧面是梯形 侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成几何特征：底面是全等的圆；母线与轴平行；轴与底面圆的半径垂直；侧面展开图是一个矩形。（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋
2、转轴,旋转一周所成几何特征：底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点；侧面展开图是一个扇形。（6）圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成几何特征：上下底面是两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点；侧面展开图是一个弓形。（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：球的截面是圆；球面上任意一点到球心的距离等于半径。例1如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）A是棱台B是圆台C是棱锥D是棱柱例2下列结论错误的是（ ）A圆柱的每个轴截面都是全等矩形B长方体是直四棱柱，直四棱柱不一定是长方体C四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体D用一个平面截圆锥，必得
3、到一个圆锥和一个圆台例3如图所示的简单组合体的组成是（ ）A棱柱、棱台B棱柱、棱锥C棱锥、棱台D棱柱、棱柱二.空间几何体的直观图斜二测画法的基本步骤：建立适当直角坐标系（尽可能使更多的点在坐标轴上）建立斜坐标系，使=450（或1350）画对应图形在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y轴，且长度变为原来的一半； 直观图与原图形的面积关系：例4如图，在中，若的水平放置直观图为，则的面积为（ ）ABCD例5如果一个水平放置的三角形的斜二测直观图是一个等腰直角三角形，斜边长为2，且斜边落在斜二测坐标系的横轴上，则原图形的
4、面积为（ ）ABCD2例6如图，矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中OA=6，OC=2，则原图形是（ ）A正方形B矩形C菱形D梯形三.空间几何体的表面积与体积圆柱侧面积； 圆锥侧面积：圆台侧面积： 球的表面积和体积 .正三棱锥是底面是等边三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥。 正四面体是每个面都是全等的等边三角形的三棱锥。例7（多选）已知某几何体的直观图如图所示，其中底面为长为8，宽为6的长方形，顶点在底面投影为底面中心，高为4.（1）求该几何体的体积； （2）求该几何体的侧面积.例8已知圆台上、下底面的底面积分别为，且母线长为13（1）求圆台的高；（2）求圆台的侧面积例9
5、已知母线长为的圆锥的侧面展开图为半圆.（1）求圆锥的底面积；（2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积.例10一个透明的球形装饰品内放置了两个具有公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，已知圆锥底面面积是这个球的表面积的，设球的半径为R，圆锥底面半径为r.（1）试确定R与r的关系，并求出大圆锥与小圆锥的侧面积的比值.（2）求出两个圆锥的总体积(即体积之和)与球的体积之比.四 平面基本性质即三条公理公理1公理2公理3图形语言文字语言如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.如果两个
6、不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.符号语言作用判断线在面内确定一个平面证明多点共线公理2的三条推论：推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.五直线与直线的位置关系共面直线： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。（既不平行，也不相交）例11如图所示，用符号语言可表述为（ ）A，B，C，D，例12如图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS
7、是异面直线的是（ ）ABCD例13（多选）下列说法正确的是（ ）A三点确定一个平面B三角形一定是平面图形C梯形一定是平面图形D四边形一定是平面图形例14如果两条直线a与b没有公共点，那么a与b的位置关系可能是（ ）A相交B平行C异面D垂直15如图，空间四边形中，、分别是、的中点，、分别是、上的点，且.求证：三条直线、交于一点.例16如图，已知D，E是ABC的边AC，BC上的点，平面经过D，E两点，若直线AB与平面的交点是P，求证：点P在直线DE上.六直线与平面的位置关系有三种情况：在平面内有无数个公共点 符号 a 相交有且只有一个公共点 符号 a= A平行没有公共点 符号 a说明：直线与平面相
8、交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a 来表示1直线和平面平行的判定(1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面；(2)判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。 符号： 例17如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC求证：A1B1平面DEC1.2直线和平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行，则线线平行. 符号: 例18如图，在三棱锥PABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点M是AB上一点，连接MC，N是PM
9、与DE的交点，连接FN，求证：FNCM3直线与平面垂直定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。简记为：线线垂直，则线面垂直. 符号：例19如图所示，A1A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A,B的任意一点，A1A=AB=2.求证:BC平面A1AC4.直线与平面垂直性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。 符号： 性质：垂直于同一直线的两平面平行 符号：推论：如果两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面符号语言：ab, a，b例20如图所
10、示，是边长为的正六边形所在平面外一点，在平面内的射影为的中点.证明.七平面与平面的位置关系：平行没有公共点： 符号 相交有一条公共直线: 符号 =a1平面与平面平行的判定(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。简记为：线面平行，则面面平行. 符号：例21如图，在四棱锥PABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，DC/AB，求证：平面PAB/平面EFG.2平面与平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。简记为：面面平行，则线线平行. 符号：补充：平行于同一平面的两
11、平面平行； 夹在两平行平面间的平行线段相等；两平面平行，一平面上的任一条直线与另一个平面平行；例22四面体如图所示，过棱的中点作平行于，的平面，分别交四面体的棱于点证明：四边形是平行四边形3平面与平面垂直的判定定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。判定定理：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。简记为：线面面垂直，则面面垂直. 符号：推论：如果一个平面平行于另一个平面的一条垂线，则这个平面与另一个平面垂直。例23已知是圆的直径，垂直圆所在的平面,是圆上任一点求证:平面平面.4.平面与平面垂直的性质定理：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线
12、的直线垂直于另一个平面。简记为：面面垂直，则线面垂直. 证明线线平行的方法三角形中位线 平行四边形 线面平行的性质 平行线的传递性 面面平行的性质 垂直于同一平面的两直线平行； 证明线线垂直的方法定义：两条直线所成的角为90；（特别是证明异面直线垂直）； 线面垂直的性质利用勾股定理证明两相交直线垂直；利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直；例24如图，在四棱锥PABCD中，PAPD，底面ABCD是矩形，侧面PAD底面ABCD，E是AD的中点（1）求证：AD平面PBC；（2）求证：AB平面PAD八：三种成角1.异面直线成角步骤：1、平移，转化为相交直线所成角；2、找锐角（或直角）作为夹角；3、
13、求解注意：取值范围：（0。,90。.例25如图，是圆的直径，点是弧的中点，分别是的中点，求异面直线与所成的角.2.线面成角：斜线与它在平面上的射影成的角，取值范围：（0。,90。.如图：PA是平面的一条斜线，A为斜足，O为垂足，OA叫斜线PA在平面上射影，为线面角。26如图，直三棱柱的底面为直角三角形，两直角边和的长分别为4和3，侧棱的长为5.（1）求三棱柱的体积；（2）设是中点，求直线与平面所成角的大小.3.二面角：从一条直线出发的两个半平面形成的图形 取值范围：（0。,180。）例27如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱，求二面角的平面角的大小.九、常见体积的求法：定义法和等体积法
14、例28如图所示，已知长方体的体积为，是的中点，是上的动点，求三棱锥的体积例29如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，为的中点，为线段上的点，且（1）求证：平面平面；（2）求点到平面的距离例30如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，侧面PAB底面，（1）求证：平面（2）过AC的平面交PD于点M，若，求三棱锥的体积参考答案1D【分析】利用空间几何体的概念特征直接判断即可.【详解】根据棱台的概念，中上下底面不相似，不是棱台；根据圆台的概念，中上下底面不平行，不是圆台；根据棱锥的概念，中下底面不是多边形，即不是棱锥；故A，B，C都是错误的，根据棱柱的概念，是上下底面为五边形的五棱柱的
15、，故D正确的.故选：D2D【分析】根据圆柱的结构特征可判断A；由直棱柱的结构特征可判断B；由多面体的结构特征可判断C；由圆锥的结构特征可判断D.【详解】A，圆柱的每个轴截面都是全等矩形，A正确；B，底面是四边形，侧棱垂直于底面的棱柱为直四棱柱，B正确；C，由六面体的定义，四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体，C正确；D，用一个平行于底面的平面截圆锥，必得到一个圆锥和一个圆台，D错误.故选：D3B【分析】直接观察,即可出答案.【详解】由图知，简单组合体是由棱锥、棱柱组合而成.故选：B.4B【分析】先在中求出，则利用原图与直观图之间的关系可求得，再求出上的高可求得其面积【详解】解：因为，所以，所以，
16、所以上的高，所以的面积为，故选：B5A【分析】根据斜二测画法可得原图，从而可计算其面积.【详解】斜二测直观图如图（1）所示，原图如图（2）所示，其中：，故其面积为，故选：A6C【分析】设y轴与BC交于点D，则OD=2，从而可得原图形中OD=4，CD=2，ODCD，进而可求出的长，由此可判断原图形的形状【详解】设y轴与BC交于点D，则OD=2.在原图形中，OD=4，CD=2，则ODCD.OC=6=OA，原图形是菱形.故选：C7（1）64；（2）.【分析】（1）利用棱锥的体积公式直接计算；（2）先利用勾股定理求得各侧面上的斜高，再求各侧面面积之和即得棱锥的侧面积.【详解】（1）几何体的体积为.（2
17、）正侧面及相对侧面底边上的高为：.左、右侧面的底边上的高为：.故几何体的侧面面积为：.【点睛】本题考查棱锥的体积和侧面积的求法，求侧面积关键在于侧面上的斜高的计算，关键要掌握顶点在底面上的投影是底面中心的意义，知道高垂直于底面内的直线，高于底面内的边心距和侧面的斜高构成直角三角形.8（1）12；（2）.【分析】（1）依题意利用勾股定理计算可得；（2）利用圆台的侧面积公式计算可得；【详解】解：（1）依题意，圆台的上底面半径，下底面半径，故圆台的高；（2）圆台的侧面积9（1）；（2）.【分析】（1）根据展开图扇形的弧长即为底面圆的周长求出底面圆的半径，即可求出圆锥的底面积；（2）设圆柱的高，根据三
18、角形相似得到，即可表示出圆柱的侧面积，根据二次函数的性质求出面积最大值，即可得解；【详解】解：（1）沿母线剪开，侧面展开图是以为半径的半圆设，在半圆中，弧长为，圆锥的底面周长，所以，所以，故圆锥的底面积为.（2）设圆柱的高，在，所以，即，所以，当，时，圆柱的侧面积最大，此时.11（1），大圆锥与小圆锥的侧面积的比值为；（2）.【分析】（1）求出球的表面积和圆锥底面积，即可得出，根据几何特征表示出圆锥的高和母线长，即可求出侧面积之比；（2）根据体积公式计算出，即可得出比值.【详解】解：（1）球的表面积为，圆锥的底面积为，解得，由几何体的特征知球心到圆锥底面的距离，球的半径以及圆锥底面的半径三者可
19、以构成一个直角三角形；由此可以求得球心到圆锥底面的距离是：，所以小圆锥的高为：，母线长为：；同理可得大圆锥的高为：，母线长为：；又由这两个圆锥的底面半径相同，较大圆锥与较小圆锥的侧面积之比等于它们母线长之比，即.（2）由（1）可得两个圆锥的体积和为：，球的体积为：，故两个圆锥的体积之和与球的体积之比为：.12A【分析】利用图形，表示为点，线，面的符号语言.【详解】由图形可知，或表示为，.即A正确.故选：A13C【分析】利用正方体的性质、异面直线的定义即可判断出结论【详解】解：A 中，B中，C中，与为异面直线，D中，与相交故选：C14BC【分析】取共线的三点可判断A选项的正误，根据平面的性质可判
20、断BC选项的正误，取空间四边形可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，过共线的三点有无数个平面，A选项错误；对于B选项，三角形一定是平面图形，B选项正确；对于C选项，梯形一定是平面图形，C选项正确；对于D选项，空间四边形不是平面图形，D选项错误.故选：BC.13BC【分析】利用空间中两条直线的位置关系及其性质直接求解【详解】空间中两条直线的位置关系有三种：相交，有且只有一个公共点；平行，没有公共点；异面，没有公共点由此可知，如果两条直线和没有公共点，那么与的位置关系是平行或异面,故选：BC【点睛】本题考查空间中两条直线的位置关系，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养15证明见解析
21、.【分析】根据题意可得梯形的两腰和相交于一点，设交点为，再证明点在上即可得证.【详解】，四边形为梯形，梯形的两腰和相交于一点，设交点为，平面，故平面，同理平面，又因为为这两个面的交线，所以，所以三条直线、交于一点.16证明见解析.【分析】易证P平面ABC，又P，可证面ABC平面的交线为DE，进而求证【详解】证明：因为PAB，AB平面ABC，所以P平面ABC.又P，平面ABC平面DE，所以P直线DE.所以点P在直线DE上.【点睛】本题考查相交平面的性质应用，证明点在直线上，属于基础题17证明见解析.【分析】通过三角形的中位线证得，结合证得，由此证得平面.【详解】因为D，E分别为BC，AC的中点，
22、所以是三角形的中位线，所以.在直三棱柱ABCA1B1C1中，所以.又因为ED平面DEC1，A1B1平面DEC1，所以A1B1平面DEC1.18见解析【分析】先通过中位线，通过线线平行，证得平面平面，在根据面面平行的性质定理证得.【详解】因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DEAB又DE平面ABC，AB平面ABC，所以DE平面ABC，同理DF平面ABC，且DEDFD，所以平面DEF平面ABC又平面PCM平面DEFFN，平面PCM平面ABCCM，所以FNCM【点睛】本小题主要考查线线平行的证明、线面平行的证明和面面平行的证明，其中涉及到了线面平行的判定定理、面面平行的判定定理，还有面面平行的性质
23、定理.在平行转化的过程中，已知和求之间，用判定定理还是性质定理，要看清楚题目所给的条件来判断.19详见解析.【分析】根据直线与平面垂直的判定定理可知,只需证明与平面内的两条相交直线垂直即可,而,满足定理条件.【详解】证明:C是底面圆周上异于A,B的任意一点，AB是圆柱底面圆的直径，,平面平面,平面平面平面.【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定,考查棱柱的性质,考查学生空间想象能力和推理论证能力,属于中档题.20证明见解析【分析】连结，则易知与的交点为，利用线面垂直的判定定理及性质定理，即可得证.【详解】证明：连结，则易知与的交点为，如图所示：由正六边形的性质可得，平面，平面，.21证明见解析【
24、分析】根据面面平行的判定定理进行证明.【详解】由于分别是的中点，所以是三角形的中位线，所以，由于，所以，由于平面，平面，所以平面.由于分别是的中点，所以是三角形的中位线，所以，由于平面，平面，所以平面.由于，所以平面PAB/平面EFG.22见解析【解析】【分析】根据线面平行的性质定理，分别证得，所以，同理证得.根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证得结论.【详解】由题设知，平面，又平面 平面，平面 平面，同理，故四边形是平行四边形【点睛】本小题主要考查线面平行的性质定理的应用，考查平行四边形的判定，属于基础题.23证明见解析【分析】先证直线平面，再证平面平面.【详解】证明: 是圆的直径，
25、是圆上任一点，平面，平面，又，平面，又平面，平面平面.【点睛】本题考查圆周角及线面垂直判定定理、面面垂直判定定理的应用，考查垂直关系的简单证明.24（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）利用底面是矩形，得到ADBC，进而证明AD平面PBC；（2）由ABAD，再由面面垂直的性质定理证明【详解】（1）证明：在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，ADBC，又AD平面PBC，BC平面PBC，AD平面PBC；（2）证明：底面ABCD是矩形，ABAD，又侧面PAD底面ABCD，侧面PAD平面ABCDAD，AB平面ABCD，AB平面PAD.25【分析】根据题意，直径所对圆周角是直角，又知点是弧
26、的中点，则等腰直角三角形，再根据中位线平行，找到异面直线所成角的平面角，即可求解.【详解】是圆的直径，.点是弧的中点，.在中，分别为的中点，与所成的角为.故答案为：【点睛】本题考查异面直线所成角问题，考查转化与化归思想，属于基础题.26【答案】（1）30；（2）.【分析】（1）根据体积公式直接计算；（2）说明就是直线与平面所成角，再计算.【详解】（1）根据题意可知，;（2）连接，平面，就是直线与平面所成角，是直角三角形，且是中点， ,直线与平面所成角的大小.【点睛】本题考查柱体的体积公式和直线与平面所成的角，意在考查基本概念和计算求解能力，属于简单题型.27二面角的平面角的大小为45.【分析】
27、根据条件可知，知平面，用，可知平面，找到二面角的平面角，简单计算可得结果.【详解】，.同理可证.，且平面平面.由平面，.又，平面平面.平面，.为二面角的平面角.在中，.二面角的平面角的大小为45.【点睛】本题考查线线、线面之间的关系，熟练使用线面垂直的判定定理，考验分析问题能力以及逻辑推理能力，属中档题.28【分析】本题可设、，则，然后根据即可得出结果.【详解】设，则，因为，所以.29（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）根据题意可证明AE平面PAB，即可证明平面平面；（2）根据三棱锥中，利用等体积即可求高.【详解】（1）证明：平面，又底面为正方形，平面平面，平面平面，为中点平面平面，平面又
28、平面，平面平面（2）解：，又，四棱锥的高，点到平面的距离为【点睛】证明面面垂直的主要方法(1)利用判定定理：(2)用定义证明只需判定两平面所成二面角为直二面角(3)如果一个平面垂直于两个平行平面中的一个，则它也垂直于另一个平面：30（1）证明见解析；（2）【分析】（1）由菱形的性质有，勾股定理知，结合面面垂直的推论可得，根据线面垂直的判定证垂直即可；（2）由面即可计算，结合已知条件可求三棱锥的体积；【详解】（1）由题意知：底面ABCD是菱形，且，又在中，即，又面PAB面，面PAB 面，面PAB，面，而面，有：，平面；（2）由（1）知：面，有，而，且，【点睛】本题考查了应用几何图形的性质，及线面垂直的判定证明垂直，根据已知体积关系结合三棱锥的体积公式求三棱锥的体积.扫码关注学科网数学服务号，获取优质数学教育资源
