1、.第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型主要内容：主要内容： 1）控制系统的时域数学模型的建立； 2）复习傅里叶变换拉普拉斯变换； 3）控制系统的传递函数，典型元部件的传递函数； 4）控制系统的结构图及等效变换； 5）信号流图（梅逊公式）及控制系统的传递函数。基本要求：基本要求： 1）掌握系统微分方程建立的方法； 2）熟练掌握传递函数的概念、定义、性质及局限性； 3）熟悉常用元部件（典型环节）的传递函数及常用的传递函数形式； 4）学会由系统微分方程建立系统结构图，熟练掌握用拉氏变换方法求解线性常微分方程的方法； 5）熟练掌握利用结构图等效变换和梅逊公式求系统传递函数的方法。 .本章
2、概述本章概述 2.1拉氏变换和反变换拉氏变换和反变换 2.3 控制系统的复数域数学模型控制系统的复数域数学模型 2.5 系统方框图系统方框图 2.4 典型环节的传递函数典型环节的传递函数 2.6系统信号流图系统信号流图 2.7闭环系统传递函数的求取闭环系统传递函数的求取 2.2 控制系统的时域数学模型控制系统的时域数学模型 .u数学模型：数学模型：描述系统内部物理量（变量）之间关系的数学表达式。u建模的基本方法建模的基本方法: : (1) 机理建模法(解析法)；(2) 实验辩识法。u工程控制中常用的数学模型形式：工程控制中常用的数学模型形式：时域描述时域描述微分方程、差分方程、状态方程复域描述
3、复域描述传递函数、方块图（结构图）、信号流程图频域描述频域描述频率特性 模型各有特点，使用时可灵活掌握。若分析研究系统的动态特性，取其数学模型比较方便；若分析研究系统的内部结构情况，取其物理模型比较直观；若两者皆有，则取其图模型比较合理。u数学基础：数学基础：傅里叶变换与拉普拉斯变换.数学模型的形式数学模型的形式时间域：时间域： 微分方程差分方程状态方程复数域：复数域： 传递函数结构图频率域：频率域： 频率特性.“三域三域”模型及其相互关系模型及其相互关系微分方程（时域）系统系统传递函数（复域）频率特性（频域）LFts1F1Lsjsj.建立数学模型的基础建立数学模型的基础差分方程差分方程 （离
4、散系统）（离散系统）( ),dyy tdt(), ()y kTy kTT.2.1 2.1 傅里叶变换与拉普拉斯变换傅里叶变换与拉普拉斯变换2.1.1 2.1.1 傅里叶级数傅里叶级数01 ( ),Dirichlet2 2 1 ( ) 2( ) 3( )( )Fourier ( )cossin2TTTTTTnnnT TftTftftftfttaftan tbn tT/2-T/2为周期函数，在上满足狄氏()条件：）连续或仅有有限个第一类间断点；）仅有有限个极值点；）积分dt存在； 则 可展开为级数，且在连续点 处成立：.22222,2( )cos0,1,2,2( )sin1,2,TnTTTnTTT
5、aftn tdt nTbftn tdt nT其中01(0)(0)cossin22TTnnntaftftan tbn t在间断点 处成立：ieetneetntintintintin2sin,2cos.0101 ( )222 222in tin tin tin tTnnnin tin tnnnnnaeeeeftabiaaibaibee级数化为：20002222222221,( )22211( ) cossin( )11( ) cossin( )1,2,()TnnnnnnTTTTin tnTTTTTTin tnTTnTTnnaaibaibccdcft dtTcftn tin t dtf tedtTT
6、dftn tin t dtf tedtcTTncc令则.221( )0, 1, 2,Tin tnTTcft edt nT 合并为：221 ( )( )Tin tinin tTnTTnnftc efedeT 级数化为(指数形式)：ncF n Tnftc的离散频谱； argTnftc的离散振幅频谱； .Tftn的离散相位频谱； TnTftcft若以描述某种信号，则 可以刻画的频率特征。.22( ),Dirichlet,2 2( )Fourier ( ),1 2, ( )nnTTitin tTnnnnTitnnTTT TftTftftc ec ennTcft edtT设为周期函数，在上满足条件则可展
7、开为级数:22jj1( )( )d.TnnTtTTnftfeeT 即lim( )( )TTftf t由2.1.22.1.2 傅里叶傅里叶积分与积分与傅里叶变换傅里叶变换.22jj1( )lim( )d,TnnTtTTnnf tfeeTn 可知当 取一切整数时所对应的点便均匀分布在整个数轴上:T2O 1 2 3 n-1nT2)(,02)(21连续变量为此时视，无关与令nnnTTnT.2222jjjj01( )lim( )d1lim( )d2TnnTTnnTntTTntTnnf tfeeTfee 22jj0()( )d1( )lim()2TnTnnTnTtTnnnFfef tFe 令22()( )
8、( )( )nTiiTnTTFfedfedFT 1( )( )2i tf tFe d由定积分定义（注：积分限对称）.1( )( )2ii tf tfeded即 f t 付氏积分公式.Fourier变换的定义，已知： dedeftftii)(21)( ( )( ) ()( )Fourier ( )i tFf t edtf tf t实自变量的复值函数称为的变换，记为。F11 ( )( )2( )Fourier ( ).i tf tFe dFF称为的逆变换，记为F( )( ) Fourier( )( )f tFf tF 称为一组变换对。称为原像函数，称为像函数。. 在频谱分析中， 傅氏变换F()又称
9、为f(t)的频谱函数，而它的模|F()|称为f (t)的振幅频谱(亦简称为频谱)。由于是连续变化的, 我们称之为连续频谱, 对一个时间函数f (t)作傅氏变换, 就是求这个时间函数f (t)的频谱。 F f tF的频谱密度函数； argf tF的振幅频谱； f t 的相位频谱。( )DirichlFourieet|( )|rdf tf tt 若在任何有限区间上满足条件变换的，且在，绝对可积即条件：存在。.例 矩形脉冲函数为1| | 1( )0| | 1tf tt11otf (t)11111()( ) 12sin i ti ti tiiFf t edteedtieei 解： .2.1.32.1.
10、3 拉普拉斯变换拉普拉斯变换拉氏变换的优点：拉氏变换的优点：1）求解简化；2）把微分、积分方程转化为代数方程；3）将复杂函数转化为简单的初等函数；4）将卷积转化为乘法运算。.从傅里叶变换到拉普拉斯变换从傅里叶变换到拉普拉斯变换000 0( )1(t)1 01 ( ) ( )( )(sin)( )j tj ttf ttFf tf t edtedttcon tf t dt，例：求单位阶跃函数的傅里叶变换。，显然无法计算出来，因 不存在。F()01(t)1(t)1(t)1(t)e 1(t)=0 1( )1( )1( )ttttttj tjteet 0(0)et 0Fetet edtedtj 因此引入
11、函数代替，因当0时，。则， 其他傅里叶变换为： F.()( )jtFjf t edt1( )()2jtf tFjed一般函数有：引入衰减因子 得te()1()( )( )tjtjtFjf t eed tf t ed tjs令( )( )( )( )s tFsL f tf t ed tf t的双边拉普拉斯变换.拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义 设函数 满足: 时 ， 时 分段连续，且 则拉普拉斯变换的定义为： ( )f t0t0)(tf0t)(tfdtetfst|)(|00( ) ( )( ) stF sL f tf t edt t0)(tf)(sF 是原函数（时间函数） 是象函数，s是复变
12、数 sj拉普拉斯反变换：11( ) ( )( )2jstjf tLF sF s e dsj .2.1.4 2.1.4 典型函数（常用信号）的拉普拉斯变换典型函数（常用信号）的拉普拉斯变换 asdtedteeeLtfLsFtasstatat1)()(0)(0atetf)(1 1）指数函数）指数函数aseat1 构成一变换对 tttttf0001lim)()(011lim)(lim)()(0000dtedtettLsFstst2 2）单位脉冲函数）单位脉冲函数 1)(t 构成一变换对 . 0001)( 1)(ttttfsdtetLtfLsFst1)( 1)()(03 3）单位阶跃函数）单位阶跃函数
13、st1)(1 构成一变换对 000)(ttttf201)()(sdte ttfLsFst4 4）单位速度函数）单位速度函数21st 构成一变换对 .00021)(2ttttf302121)()(sdtettfLsFst23112ts5 5）单位加速度函数）单位加速度函数 构成一变换对 000sin)(ttttf22F( s )L f (t )s 22sints 6 6）正弦函数）正弦函数 构成一变换对 .000)(ttttfn10!)()(nstnsndtettfLsF1!nnsnt7 7）t t的幂函数的幂函数 构成一变换对 .2.1.5 2.1.5 拉普拉斯变换定理（性质）拉普拉斯变换定理
14、（性质）1122121212( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )( )F sL f tF sL f tabL af tbf taL f tbL f taF sbF s若， 和 为常数，则有1 1）线性定理线性定理2 2）微分定理）微分定理 ( )( ) ( )( )(0)F sL ftdLf tsF sfdt若，则有)0()0()()(222fsfsFstfdtdL.(1)(1)(0)(0)(0)( )0(0)(0)(0)0 ( )( )nnnnnffff tt=fffdLf ts F sdt式中、为及其各阶导数在时的值。如，则有12(2)(1)( )( )(0)(0) (
15、0)(0)nnnnnnndLf ts F ssfsfdtsff.3 3）积分定理）积分定理 11222212(1)( )( )( )(0) ( )( )(0)(0) ( )( )(0)(0)(0) ( )nnnnnF sL f tF sfLf t dtssF sffLf t dtsssF sfffLssssf t dt个若，则有12(0)(0)(0)( )nffff tt式中、为函数的各次重积分在=0时的值。.12(0)(0)(0)0( ) ( )nnnnfffF sLf t dts个如果，则 ()() () ( )a tFs LftLe ft Fsa 若， 则 有5 5）延时定理（第二平移定
16、理）延时定理（第二平移定理）( )( ) () 1()( )asF sL f tL f tataeF s若，则有4 4）位移定理（第一平移定理）位移定理（第一平移定理）( )( ) ( )()atF sL f tL ef tF sa 若，则有.6 6）初值定理初值定理 0( )( ) lim( )lim( )tsF sL f tf tsF s若，则有0()() lim()lim()tsFsLftftsFs若，则有7 7）终值定理终值定理 8 8）相似定理（时间比例尺的改变定理）相似定理（时间比例尺的改变定理）( )( )1 ()() ()()FsL ftstL f atFLfaF asaaa若
17、，则有或0( )( ) lim( )lim( )tsF sL f tf tsF s若，则有.9 9）卷积定理）卷积定理 1122121212121212120012( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )()( )( )()( )( )ttF sL f tF sL ftL f tftF sF sL f tftF sF sf tftf tfdfftdf tft若，则有 或式中为和的卷积。1010）乘幂定理）乘幂定理 ( )( )( )( ) ( )( 1)( 1)( )nnnnnnF sL f td F sL t f tFsds 若，则有.例例 求
18、的拉普拉斯变换 cost222222( )11F sL sin tsdsin tcon tdtsL con tsss解：因为， 所以.2.1.6 2.1.6 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换11( ) ( )( )2jstjf tLF sF s e dsj 拉普拉斯变换的部分分式展开式拉普拉斯变换的部分分式展开式 在控制系统中 一般为如下有理分式的形式: 101110111010121. ()( )( )( )()()mmmmnnnnnmmmbb sb sbsbB sF sA sa sasb sbspspsasabsnspm0101( )0nmnaaabbbpppA sF12式中： ， ， ， ，
19、 ， ， ，为实常数； ， ， ， 为的根，称 (s)的极点。拉普拉斯反变换的公式：)(sF.） 中只有不同的实数极点时中只有不同的实数极点时112=111010122. ()()() ( )( )( )= mnnmiinimnb sb sbspspsbsB sF sA skkkkspspsps- pp1111( ) ( )innp tiiiiikf tLF sLk esp( )()( )iiiiispkpB skspA s式中， 为待定常数，称为F(s)在极点 处的留数，其求法： ( )F s.10(2)(5)( )( )(1)( 3) ssF sf ts ss例 求的原函数211033(1
20、)( )100( )310(3)(0)23sssksksF sksFF ss ， 310010( )(20) ( )33ttf teeu t312( )13kkkF ssss解：将F(s)展开成部分分式形式1002010( )313(3)F ssss.） 中中含有多重极点时含有多重极点时 101011111111111. () ( )( )( )()()() ) mnrrrmmrrrrnnrbsB sF sA skccckspspspspsb sbsbspspspp1111111( )()( )( )()( ) 1( )()!( )rrsprrspjrrjjspB scspA sdB scsp
21、dsA sdB scspjdsA s( )F s.1111111( )()(1)!( )( )()( )ijrjsprniispdB scsprdsA skkB skspA s， ， 的计算方法为：1111111111121211( )()() (1)!(2)!irrrrnrrnnp tp trrrrii rcccf tLspspspkkspspccttc tc ek err .32( )( )(1)sF sf ts s例 求的原函数3131121121114022( )(1)( )( )3( )21( )2( )22!sssssF ssF ssdcF scF sdsdcF sksF sds
22、，23( )(222) ( )2tttf tt eteeu t321432( )(1)(1)(1)ccckF sssss解：将F(s)展开成部分分式形式323222( )(1)(1)(1)F sssss所以有：.）中含有共轭复数极点时）中含有共轭复数极点时 1312112010123( )( )( )(. ()()() )()mnnmmnb sb sbspspsbsB sF sA skksspspsppsp111121212( )()()()( )( ) () = ,)( )ispspiispppB ssspspA sB skspi 3 4nA s2式中 ， 为共轭复数，由 求取，（( )F
23、s.21( )(1)sF sf ts ss例 ： 求的 原 函 数 ( )解：解：求方程s2+s+1=0的根241142213 22bba csaj 3121( )1313()()22221313()()2222sF ss sjsjksssjsj.1312()1322()22121()1311322()221322sjsjsssjjj12121211203322 1- （）2（）.222222211 ( )(1)1313()()22221 13()()2211122 1313()()()()2222ssF sss sssjsjsssssss所以30201( )|11sssksF sss.112
24、2121021212333( )1cos232333 1(cos)23233 1(cos30)223cos63 1(cos)226133 1(6coscos6)2262 3 13ttt0t0t000f tetesintetsintettgsint0etsintsin 0esin 0t0sintsin 01023(60 )2tesint.2.1.7 2.1.7 拉氏变换求解微分方程拉氏变换求解微分方程微分方程微分方程象函数的象函数的代数方程代数方程原函数原函数（微分方程的解）（微分方程的解）象函数象函数拉氏变换拉氏变换解代数方程解代数方程拉氏反变换拉氏反变换.()(1)10()0( )( )(
25、)( ),(0()nnnnmmna ytY saytabftbyFfsttt设 微 分 方 程 （阶 系求 解 方 法 ：统 的 输 入 输 出 ）， 且1( )( )10( )(0( )( ),0,1,( )(),0,1,iippiijpjssyytY sifmstF sj 则 .( )y t方程两边取拉氏变换整理得的象函数zzsiy(t)y (tt +)=y)再取逆变换得解 110000()0(0 )( )( )(nimipjijipjnniiiipiizzsiasb sY sa sya sF sYsYs .( )3( )2 ( )2( )6( ) ( )( ),(0 )2,(0 )1(
26、),( ),( )zizsyty ty tftf tf ttyyy tytyt 已知 求例2( )(0 )(0 )3( )3 (0 )2 ( )2( )6 ( )s Y ssyysY syY ssF sF s方程取解：拉氏变换得2222(0 )(0 )3 (0 )26( )( )3232272(3)13232syyysY sF ssssssssssss整理得 .22753( )3212zisYsssss部分分解2( )(53)( )ttziyteeu t逆 变 换 得22(3)341( )1232zssYsssss ss部分分解22( )(34)( )( )(53)( )ttzsttziyteeu tyteeu t逆 变 换 得2( )( )( )(32) ( )ttzizsy tytyteeu t
