1、12第三章 静态电磁场及其边值问题的解3.1 静电场分析（3.1.3，3.1.5不要求，3.1.4简介）3.2 恒定电场分析（3.2.2不要求）3.3恒定磁场分析（3.3.3，3.3.5不要求，3.3.4简介）3.4 唯一性定理3.5镜像法（3.5.3，3.5.4不要求）3.6分离变量法（3.6.3不要求）3.7不要求。 3本章内容本章内容 3.1 静电场分析静电场分析 3.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理静态场的边值问题及解的惟一性定理 3.5 镜像法镜像法 3.6 分离变量法分离变量法 静态电磁
2、场：静态电磁场：场量不随时间变化，包括：场量不随时间变化，包括： 静电场、恒定电场和恒定磁场静电场、恒定电场和恒定磁场 时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场 静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立 43.1 静电场分析静电场分析 本节内容本节内容 3.1.1 静电场的基本方程和边界条件静电场的基本方程和边界条件 3.1.2 电位函数电位函数 3.1.3 导体系统的电容与部分电容导体系统的电容与部分电容 3.1.4 静电场的能量静电场的能量 3.1.5 静电力静电力52. 边界条
3、件边界条件0ED微分形式：微分形式：ED本构关系：本构关系：1. 基本方程基本方程0)()(21n21nEEDDeeS0ddlESDCSq积分形式：积分形式：0)(0)(21n21nEEDDee02t1tn2n1EEDDS或或2t1tn2n1EEDD或或3.1.1 静电场的基本方程和边界条件静电场的基本方程和边界条件若分界面上不存在面电荷，即若分界面上不存在面电荷，即 ，则，则0S法向法向:从从2指向指向16介质介质2 2介质介质1 121212E1Ene212n21n12n2t1n1t21/tantanDDEEEE 在静电平衡的情况下，导体内部的电场为在静电平衡的情况下，导体内部的电场为0，
4、则导体表面的，则导体表面的边界条件为边界条件为 0nnEDeeS0tnEDS或或 场矢量的折射关系场矢量的折射关系 导体表面的边界条件导体表面的边界条件70E由由即即静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，标量函数标量函数 称为静称为静电场的标量电位或简称电位。电场的标量电位或简称电位。1. 电位函数的定义电位函数的定义E3.1.2 电位函数电位函数第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版82. 电位的表达式电位的表达式对于连续的体分布电荷，由
5、对于连续的体分布电荷，由同理得，面电荷的电位：同理得，面电荷的电位： 1()( )d4VrrVCR故得故得点电荷的电位：点电荷的电位：( )4qrCR()1( )d4lCrrlCR)1)(41)1()(41)(41)(3VRrVRrVRRrrEVVVddd3)1(RRR线电荷的电位：线电荷的电位：rrRCSRrrSSd)(41)(93. 电位差电位差两端点乘两端点乘 ，则有，则有ldE将将d)dzzdd(ddyyxxllE上式两边从点上式两边从点P到点到点Q沿任意路径进行积分，得沿任意路径进行积分，得关于电位差的说明关于电位差的说明 P、Q 两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从两点间的电位差
6、等于电场力将单位正电荷从P点移至点移至Q 点点 所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处。所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处。 电位差也称为电压，可用电位差也称为电压，可用U 表示。表示。 电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。)()(ddQPlEQPQPP、Q 两点间的电位差两点间的电位差电场力做电场力做的功的功10 静电位不惟一，可以相差一个常数，即静电位不惟一，可以相差一个常数，即)(CC选参考点选参考点令参考点电位为零令参考点电位为零电位确定值电位确定值( (电位差电位差) )两点间电位差有
7、定值两点间电位差有定值 选择电位参考点的原则选择电位参考点的原则 应使电位表达式有意义。应使电位表达式有意义。 应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无 限远作电位参考点。限远作电位参考点。 同一个问题只能有一个参考点。同一个问题只能有一个参考点。4. 电位参考点电位参考点 为使空间各点电位具有确定值，可以选定空间某一点作为参考为使空间各点电位具有确定值，可以选定空间某一点作为参考点，且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确点，且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确定值，所以该点的电位也就具有确定值，
8、即定值，所以该点的电位也就具有确定值，即11在均匀介质中，有在均匀介质中，有5. 电位的微分方程电位的微分方程在无源区域，在无源区域，0EED202标量泊松方程标量泊松方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程12 例例 3.1.1 求电偶极子的电位求电偶极子的电位. . 解解 在球坐标系中在球坐标系中211202104)11(4)(rrrrqrrqrcos)2/(cos)2/(222221rddrrrddrrcos22drr用二项式展开，由于，得用二项式展开，由于，得dr ,cos21drr302020444cos)(rrrrqdrrpep代入上式，得代入上式，得 表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。表
9、示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。dqp+q电偶极子电偶极子zodq1r2rr),(rP13ErErrdd21sinCr 将将 和和 代入上式，代入上式，解得解得E 线方程为线方程为ErE 由球坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度由球坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度)sincos2(430eerrq)sin11()(rerererErcos2Cr Crp204cos等位线等位线电场线电场线电偶极子的场图电偶极子的场图电场线微分方程电场线微分方程：等位线方程等位线方程：146. 静电位的边界条件静电位的边界条件 设设P1和和P2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其
10、电位分是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分别为别为1和和2。当两点间距离当两点间距离l0时时 导体表面上电位的边界条件：导体表面上电位的边界条件：0dlim21021PPlElSe)(21nDDD由由 和和12媒质媒质2媒质媒质121l2P1P 若介质分界面上无自由电荷，即若介质分界面上无自由电荷，即0Snn1122常数，常数，SnSnn11222115 如果充电过程进行得足够缓慢，就不会有能量辐射，充电过如果充电过程进行得足够缓慢，就不会有能量辐射，充电过程中外加电源所做的总功将全部转换成电场能量，或者说电场能程中外加电源所做的总功将全部转换成电场能量，或者说电场能量就等于外加电源在
11、此电场建立过程中所做的总功。量就等于外加电源在此电场建立过程中所做的总功。静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量。静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量。静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有 能量。能量。 任何形式的带电系统，都要经过从没有电荷分布到某个最终任何形式的带电系统，都要经过从没有电荷分布到某个最终电荷分布的建立电荷分布的建立(或充电或充电)过程。在此过程中，外加电源必须克服过程。在此过程中，外加电源必须克服电荷之间的相互作用力而做功。电荷之间的相互作用力而做功。3.1.4 静电场的能量静电场
12、的能量 161. 电场能量密度电场能量密度 从场的观点来看，静电场的能量分布于电场所在的整个空间。从场的观点来看，静电场的能量分布于电场所在的整个空间。EDw21e电场能量密度：电场能量密度：e1d2VWD E V电场的总能量：电场的总能量：积分区域为电场积分区域为电场所在的整个空间所在的整个空间2e111ddd222VVVWD E VE E VEV 对于线性、各向同性介质，则有对于线性、各向同性介质，则有2e111222wD EE EE 173.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析 本节内容本节内容 3.2.1 恒定电场的基本方程和边界条件恒定电场的基本方程和边界条件 3.2
13、.2 恒定电场与静电场的比拟恒定电场与静电场的比拟 3.2.3 漏电导漏电导18 由由J J E E 可知，导体中若存在恒定电流，则必有维持该电流可知，导体中若存在恒定电流，则必有维持该电流的电场，虽然导体中产生电场的电荷作定向运动，但导体中的电的电场，虽然导体中产生电场的电荷作定向运动，但导体中的电荷分布是一种不随时间变化的恒定分布，这种恒定分布电荷产生荷分布是一种不随时间变化的恒定分布，这种恒定分布电荷产生的电场称为恒定电场。的电场称为恒定电场。 恒定电场与静电场的重要区别：恒定电场与静电场的重要区别： （1 1）恒定电场可以存在于导体内部。）恒定电场可以存在于导体内部。 （2 2）恒定电
14、场中有电场能量的损耗）恒定电场中有电场能量的损耗, ,要维持导体中的恒定电要维持导体中的恒定电流，就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。流，就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。 恒定电场和静电场都是有源无旋场，具有相同的性质。恒定电场和静电场都是有源无旋场，具有相同的性质。 3.2.1 恒定电场的基本方程和边界条件恒定电场的基本方程和边界条件19EJ0d0dlESJCS00EJ1. 基本方程基本方程 恒定电场的基本方程为恒定电场的基本方程为微分形式：微分形式：积分形式：积分形式：)(rJ 恒定电场的基本场矢量是电流密度恒定电场的基本场矢量是电流密度 和电场强度和电场强度)(rE
15、线性各向同性导电媒质的本构关系线性各向同性导电媒质的本构关系0)(EEJ 恒定电场的电位函数恒定电场的电位函数0E0 EE0 J由由0)(02若媒质是均匀的，则若媒质是均匀的，则 均匀导电媒质中均匀导电媒质中没有体分布电荷没有体分布电荷0tJ202. 恒定电场的边界条件恒定电场的边界条件0dlEC0dSJS媒质媒质2 2媒质媒质1 121212E1Ene0)(21nJJe0)(21nEEe 场矢量的边界条件场矢量的边界条件2nn1JJ即即2t1tEE即即 导电媒质分界面上的电荷面密度导电媒质分界面上的电荷面密度n2211222111n21n)()()(JeeSJJDD场矢量的折射关系场矢量的折
16、射关系212n21n12n2t1n1t21/tantanJJEEEE21 电位的边界条件电位的边界条件nn221121,2nn1JJ223.2.2 恒定电场与静电场的比拟恒定电场与静电场的比拟 如果两种场，在一定条件下，场方程有相同的形式，边界如果两种场，在一定条件下，场方程有相同的形式，边界形状相同，边界条件等效，则其解也必有相同的形式，求解这形状相同，边界条件等效，则其解也必有相同的形式，求解这两种场分布必然是同一个数学问题。只需求出一种场的解，就两种场分布必然是同一个数学问题。只需求出一种场的解，就可以用对应的物理量作替换而得到另一种场的解。这种求解场可以用对应的物理量作替换而得到另一种
17、场的解。这种求解场的方法称为比拟法。的方法称为比拟法。D0U静电场静电场J0U恒定电场恒定电场23恒定电场与静电场的比拟恒定电场与静电场的比拟基本方程基本方程ED,EEJ0202n2n1t2t1 DDEEn2n1t2t1 JJEE静电场（静电场（ 区域）区域） 00d, 0dlESJCS0, 0EJ,E0,0DEnn221121 ,nn221121 ,本构关系本构关系位函数位函数边界条件边界条件恒定电场（电源外）恒定电场（电源外）对应物理量对应物理量静电场静电场EEDJqI恒定电场恒定电场GC0d, 0dlESDCS24 例例3.2.1一个有两层介质的平行板电容器，其参数分别为一个有两层介质的
18、平行板电容器，其参数分别为 1、 1 和和 2、 2 ，外加电压，外加电压U。求介质面上的自由电荷密度。求介质面上的自由电荷密度。 解解：极板是理想导体，：极板是理想导体，为等位面，电流沿为等位面，电流沿z 方向。方向。1n2nJJ 由由1n2nSDD由由U1d2d11, 22, zo12121 12212()ddUUUEdE dJ12121122,JJJJEE12JJJ1212()ddJU121212,SSDJDJ上下21122121212112()SDDJUdd 介25 工程上，常在电容器两极板之间、同轴电缆的芯线与外壳之工程上，常在电容器两极板之间、同轴电缆的芯线与外壳之间，填充不导电的
19、材料作电绝缘。这些绝缘材料的电导率远远小间，填充不导电的材料作电绝缘。这些绝缘材料的电导率远远小于金属材料的电导率，但毕竟不为零，因而当在电极间加上电压于金属材料的电导率，但毕竟不为零，因而当在电极间加上电压U 时，必定会有微小的漏电流时，必定会有微小的漏电流 J 存在。存在。 漏电流与电压之比为漏电导，即漏电流与电压之比为漏电导，即UIG 其倒数称为绝缘电阻，即其倒数称为绝缘电阻，即IUGR13.2.3 漏电导漏电导26(1) 假定两电极间的电流为假定两电极间的电流为I ；(2) 计算两电极间的电流密度计算两电极间的电流密度 矢量矢量J ；(3) 由由J = E 得到得到 E ;(4) 由由
20、 ，求出两导，求出两导 体间的电位差；体间的电位差；(5) 求比值求比值 ，即得出，即得出 所求电导。所求电导。21dlEUUIG/ 计算电导的方法一计算电导的方法一： 计算电导的方法二计算电导的方法二： (1) 假定两电极间的电位差为假定两电极间的电位差为U； (2) 计算两电极间的电位分布计算两电极间的电位分布 ； (3) 由由 得到得到E ; (4) 由由 J = E 得到得到J ; (5) 由由 ，求出两导体间，求出两导体间 电流；电流； (6) 求比值求比值 ，即得出所，即得出所 求电导。求电导。ESISJdUIG/ 计算电导的方法三计算电导的方法三：静电比拟法：静电比拟法：CGCG
21、27 例例3.2.3 求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为a 、b，长度为长度为l ，其间媒质的电导率为，其间媒质的电导率为、介电常数为、介电常数为。解解：直接用恒定电场的计算方法直接用恒定电场的计算方法电导电导)/ln(2ablUIG绝缘电阻绝缘电阻ablGRln211baablIlIUln2d2dlElba则则IlIJ2lIJE2设由内导体流向外导体的电流为设由内导体流向外导体的电流为I 。28本节内容本节内容 3.3.1 恒定磁场的基本方程和边界条件恒定磁场的基本方程和边界条件 3.3.2 恒定磁场的矢量磁位和标量磁位恒定磁场的矢量磁位和标量磁
22、位 3.3.3 电感电感 3.3.4 恒定磁场的能量恒定磁场的能量 3.3.5 磁场力磁场力 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析290HJB微分形式微分形式: :0dddSSCSBSJlH1. 基本方程基本方程BH2. 边界条件边界条件本构关系：本构关系：SJHHeBBe)(0)(21n21nSJHHBBt2t12n1n0或或若分界面上不存在面电流，即若分界面上不存在面电流，即JS0，则，则积分形式积分形式: :0)(0)(21n21nHHeBBe或或002tt1n2n1HHBB3.3.1 恒定磁场的基本方程和边界条件恒定磁场的基本方程和边界条件30 矢量磁位的定义矢量磁位的定义 磁矢位的任意性
23、磁矢位的任意性 与电位一样，磁矢位也不是惟一确定的，它加上任意一个标与电位一样，磁矢位也不是惟一确定的，它加上任意一个标量量 的梯度以后，仍然表示同一个磁场，即的梯度以后，仍然表示同一个磁场，即由由AA 0BBA 即恒定磁场可以用一个矢量函数的旋度来表示。即恒定磁场可以用一个矢量函数的旋度来表示。 磁矢位的任意性是因为只规定了它的旋度，没有规定其散度磁矢位的任意性是因为只规定了它的旋度，没有规定其散度造成的。为了得到确定的造成的。为了得到确定的A，可以对，可以对A的散度加以限制，在恒定磁的散度加以限制，在恒定磁场中通常规定，并称为库仑规范。场中通常规定，并称为库仑规范。0A()AAA 1. 恒
24、定磁场的矢量磁位恒定磁场的矢量磁位矢量磁位或称磁矢位矢量磁位或称磁矢位 3.3.2 恒定磁场的矢量磁位和标量磁位恒定磁场的矢量磁位和标量磁位31 磁矢位的微分方程磁矢位的微分方程在无源区：在无源区：AB0A 0J JA202 A矢量泊松方程矢量泊松方程矢量拉普拉斯方程矢量拉普拉斯方程AJ2()AAJ 磁矢位的表达式磁矢位的表达式3( )1( )d( )()d44VVJ rRB rVJ rVRR 1( )()d4VJ rVR ()111()()()()()()J rJ rJ rJ rRRRR 31()RRR JB32 磁矢位的边界条件磁矢位的边界条件（可以证明满足（可以证明满足 ） 0A对于面电
25、流和细导线电流回路，磁矢位分别为对于面电流和细导线电流回路，磁矢位分别为 利用磁矢位计算磁通量：利用磁矢位计算磁通量：0A 12AAn12()SeHHJ/HAn121211()SeAAJ细线电流细线电流：CRlIrAd4)(面电流面电流：SSSRrJrAd)(4)(由此可得出由此可得出VVRrJrAd)(4)(SCSBlAddCSSlASASBddd0dSSA2t1tAA 2n1nAA33 例例 3.3.1 求小圆环电流回路的远区矢量磁位与磁场。小圆形回求小圆环电流回路的远区矢量磁位与磁场。小圆形回路的半径为路的半径为a ，回路中的电流为，回路中的电流为I 。 解解 如图所示，由于具有轴对称性
26、，如图所示，由于具有轴对称性，矢量磁位和磁场均矢量磁位和磁场均与与 无关，计算无关，计算 xO z 平平面上的矢量磁位与磁场面上的矢量磁位与磁场将不失一般性。将不失一般性。(sincos )rxzre rr ee(cossin)rxzre aa eedd(sincos) dxyle aeea 222221 2( sincos)sincos)rrraar221 22sincosraar小圆环电流小圆环电流aIxzyrRdlrIPO34对于远区，有对于远区，有r a ，所以，所以21 21 2112121 ( )sincos1sincosaaarrrrrrr1(1sincos)arr2001( )
27、(1sincos)(sincos)d4xyIaaA reerr202sin4yI aer由于在由于在 = 0 面上面上 ，所以上式可写成，所以上式可写成yee于是得到于是得到20022( )sinsin44I aISA reerr3511(sin)()sinrBAeAerArrr 03(2cossin )4rISeer式中式中S =a 2是小圆环的面积。是小圆环的面积。 载流小圆环可看作磁偶极子，载流小圆环可看作磁偶极子， 为磁偶极子的磁矩为磁偶极子的磁矩（或磁偶极矩），则（或磁偶极矩），则mpIS0m2( )sin4pA rer或或 0m3( )4A rprr0m3( )(2cossin )
28、4rpB reer362. 恒定磁场的标量磁位恒定磁场的标量磁位 一般情况下，恒定磁场只能引入磁矢位来描述，但在无传导一般情况下，恒定磁场只能引入磁矢位来描述，但在无传导电流（电流（J0）的空间）的空间 中，则有中，则有即在无传导电流即在无传导电流（J0）的空间中，可以引入一个的空间中，可以引入一个标量位函数来标量位函数来描述磁场。描述磁场。 标量磁位的引入标量磁位的引入0HmH 标量磁位或磁标位标量磁位或磁标位 磁标位的微分方程磁标位的微分方程37 标量磁位的边界条件标量磁位的边界条件0m0BHHB 、2m0在线性、各向同性的均匀媒质中在线性、各向同性的均匀媒质中m1m212nn和和m1m2
29、38静电位静电位 磁标位磁标位 磁标位与静电位的比较磁标位与静电位的比较0,ED0,0HBE mH m1m2m1m212,nn121212,nn静电位静电位 0ED磁标位磁标位 m 0HB393.3.4 恒定磁场的能量恒定磁场的能量1. 磁场能量磁场能量 在恒定磁场建立过程中，电源克服感应电动势做功所供给的在恒定磁场建立过程中，电源克服感应电动势做功所供给的能量，就全部转化成磁场能量。能量，就全部转化成磁场能量。 电流回路在恒定磁场中受到磁场力的作用而运动，表明恒定电流回路在恒定磁场中受到磁场力的作用而运动，表明恒定 磁场具有能量。磁场具有能量。 磁场能量是在建立电流的过程中，由电源供给的。当
30、电流从磁场能量是在建立电流的过程中，由电源供给的。当电流从 零开始增加时，回路中的感应电动势要阻止电流的增加，因零开始增加时，回路中的感应电动势要阻止电流的增加，因 而必须有外加电压克服回路中的感应电动势。而必须有外加电压克服回路中的感应电动势。 假定建立并维持恒定电流时，没有热损耗。假定建立并维持恒定电流时，没有热损耗。 假定在恒定电流建立过程中，电流的变化足够缓慢，没有辐假定在恒定电流建立过程中，电流的变化足够缓慢，没有辐 射损耗。射损耗。402. 磁场能量密度磁场能量密度 从场的观点来看，磁场能量分布于磁场所在的整个空间。从场的观点来看，磁场能量分布于磁场所在的整个空间。磁场能量密度：磁
31、场能量密度：磁场的总能量：磁场的总能量：积分区域为电场积分区域为电场所在的整个空间所在的整个空间对于线性、各向同性介质，则有对于线性、各向同性介质，则有m12wB Hm1d2VWB H V2m111222wB HH HH2m111ddd222VVVWB H VH H VHV413.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理静态场的边值问题及解的惟一性定理 本节内容本节内容 3.4.1 边值问题的类型边值问题的类型 3.4.2 惟一性定理惟一性定理边值问题边值问题：在给定的边界条件下，求解位函数的泊松方程或：在给定的边界条件下，求解位函数的泊松方程或 拉普拉斯方程拉普拉斯方程423.4.1 边值问题的
32、类型边值问题的类型1|( )Sf S已知场域边界面已知场域边界面S 上的位函数值，即上的位函数值，即222|()SfSn111|()Sf S、2|( )SfSn第一类边值问题（或狄里赫利问题）第一类边值问题（或狄里赫利问题）已知场域边界面已知场域边界面S 上的位函数的法向导数值，即上的位函数的法向导数值，即 已知场域一部分边界面已知场域一部分边界面S1 上的上的位函数值，而另一部分边界位函数值，而另一部分边界面面S2 上则已知上则已知位函数的法向导数值，即位函数的法向导数值，即第三类边值问题（或混合边值问题）第三类边值问题（或混合边值问题）第二类边值问题（或纽曼问题）第二类边值问题（或纽曼问题
33、）SV43有限值rrlim 自然边界条件自然边界条件 （无界空间）（无界空间） 周期边界条件周期边界条件(2) 衔接条件衔接条件不同媒质分界面上的边界条件，如不同媒质分界面上的边界条件，如121212,nn1212rS24422220 xy例：例：(0, )0, ( , )0ya y0( ,0)0, ( , )xx bU（第一类边值问题）（第一类边值问题）0UbaOxy0UbaOxy0 x0 x22220 xy00,0 xx axx0( ,0)0, ( , )xx bU（第三类边值问题）（第三类边值问题）例：例：45 在场域在场域V 的边界面的边界面S上给定上给定 或或 的的值，则泊松方程或拉
34、普拉斯方程在场域值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V 具具有惟一值。有惟一值。 n3.4.2 惟一性定理惟一性定理SV惟一性定理的重要意义惟一性定理的重要意义给出了静态场边值问题具有惟一解的条件给出了静态场边值问题具有惟一解的条件为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据为求解结果的正确性提供了判据为求解结果的正确性提供了判据惟一性定理的表述惟一性定理的表述46 本节内容本节内容 3.5.1 镜像法的基本原理镜像法的基本原理 3.5.2 接地导体平面的镜像接地导体平面的镜像 3.5.3 导体球面的镜像导体球面的镜像 3.5.4 导体圆柱面的镜像导体
35、圆柱面的镜像 3.5.5 点电荷与无限大电介质平面的镜像点电荷与无限大电介质平面的镜像 3.5.6 线电流与无限大磁介质平面的镜像线电流与无限大磁介质平面的镜像 3.5 镜像法镜像法47 当有电荷存在于导体或介质表面附近时，导体和介质表面当有电荷存在于导体或介质表面附近时，导体和介质表面会出现感应电荷或极化电荷，而感应电荷或极化电荷将影响场会出现感应电荷或极化电荷，而感应电荷或极化电荷将影响场的分布。的分布。非均匀感应电荷产生的电位很难求非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代解，可以用等效电荷的电位替代1. 问题的提出问题的提出几个实例几个实例q q3.5.1 镜像法的基本
36、原理镜像法的基本原理接地导体板附近有接地导体板附近有一个点电荷，如图所一个点电荷，如图所示。示。qq非均匀感应电荷非均匀感应电荷等效电荷等效电荷48 接地导体球附近有一个点电荷，如图。接地导体球附近有一个点电荷，如图。非均匀感应电荷产生的非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代等效电荷的电位替代 接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似，但等效电接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似，但等效电 荷为线电荷。荷为线电荷。q q非均匀感应电荷非均匀感应电荷qq等效电荷等效电荷结论结论：所谓镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷：所谓镜像法是将不均匀电
37、荷分布的作用等效为点电荷 或线电荷的作用。或线电荷的作用。问题问题：这种等效电荷是否存在？：这种等效电荷是否存在？ 这种等效是否合理？这种等效是否合理？492. 镜像法的原理镜像法的原理 用位于场域边界外虚设的较简单的镜像电荷分布来等效替代用位于场域边界外虚设的较简单的镜像电荷分布来等效替代该边界上未知的较为复杂的电荷分布，从而将原含该边界的非均该边界上未知的较为复杂的电荷分布，从而将原含该边界的非均匀媒质空间变换成无限大单一均匀媒质的空间，使分析计算过程匀媒质空间变换成无限大单一均匀媒质的空间，使分析计算过程得以明显简化的一种间接求解法。得以明显简化的一种间接求解法。 在导体形状、几何尺寸、
38、带电状况和媒质几何结构、特性不在导体形状、几何尺寸、带电状况和媒质几何结构、特性不变的前提条件下，根据惟一性定理，只要找出的解答满足在同一变的前提条件下，根据惟一性定理，只要找出的解答满足在同一泛定方程下问题所给定的边界条件，那就是该问题的解答，并且泛定方程下问题所给定的边界条件，那就是该问题的解答，并且是惟一的解答。镜像法正是巧妙地应用了这一基本原理、面向多是惟一的解答。镜像法正是巧妙地应用了这一基本原理、面向多种典型结构的工程电磁场问题所构成的一种有效的解析求解法。种典型结构的工程电磁场问题所构成的一种有效的解析求解法。3. 镜像法的理论基础镜像法的理论基础 解的解的惟一性定理惟一性定理5
39、0 像电荷的个数、位置及其电量大小像电荷的个数、位置及其电量大小“三要素三要素” 。4. 镜像法应用的关键点镜像法应用的关键点5. 确定镜像电荷的两条原则确定镜像电荷的两条原则等效求解的等效求解的“有效场域有效场域”。镜像电荷的确定镜像电荷的确定像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中。像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中。像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场 区域区域 的边界条件来确定。的边界条件来确定。511. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像点电荷对无限大接地导体平面的镜像,qq hh 11()04qzRR（）00zRR满足
40、原问题的边界条件，所得的结果是正确的。满足原问题的边界条件，所得的结果是正确的。3.5.2 接地导体平面的镜像接地导体平面的镜像镜像电荷镜像电荷电位函数电位函数因因 z = 0 时，时，有效区域有效区域RR q qhhq q qh52上半空间上半空间( ( z0 ）的电位函数）的电位函数q qh22222211( , , )4()()qx y zxyz hxyz h(0)z 2223 202()Szqhzxyh in2223 2d dd2()SSqhx yqSxyh 222 3 200d d2()qhqh 导体平面上的感应电荷密度为导体平面上的感应电荷密度为导体平面上的总感应电荷为导体平面上的
41、总感应电荷为532. 线电荷对无限大接地导体平面的镜像线电荷对无限大接地导体平面的镜像2,0;0,0lx zhzz 镜像线电荷：镜像线电荷：ln(0)2lRzR满足原问题的边界条件，满足原问题的边界条件，所得的解是正确的。所得的解是正确的。电位函数电位函数原问题原问题当当z = 0 时，时，rr 0,llhh hhl 有效区域有效区域RR l543. 点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像 如图所示，两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板，点如图所示，两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板，点电荷电荷q 位于位于(d1, d2 )处。处。 显然，显然，q1
42、 对平面对平面 2 以及以及 q2 对平对平面面 1 均不能满足边界条件。均不能满足边界条件。1231111()4qRRRR对于平面对于平面1，有镜像电荷，有镜像电荷q1=q，位于，位于(d1, d2 )对于平面对于平面2，有镜像电荷，有镜像电荷q2=q，位于，位于( d1, d2 ) 只有在只有在(d1, d2 )处处再设置一再设置一镜像电荷镜像电荷q3 = q，所有边界条件才能，所有边界条件才能得到满足。得到满足。电位函数电位函数 d11qd22RR1R2R3q1d1d2d2q2d1q3d2d155 例例3.5.1 一个点电荷一个点电荷q与无限大导体平面距离为与无限大导体平面距离为d，如果
43、把它，如果把它移至无穷远处，需要做多少功？移至无穷远处，需要做多少功？ 解解：移动电荷：移动电荷q时，外力需要克服电时，外力需要克服电场力做功，而电荷场力做功，而电荷q受的电场力来源于导受的电场力来源于导体板上的感应电荷。可以先求电荷体板上的感应电荷。可以先求电荷q 移至移至无穷远时电场力所做的功。无穷远时电场力所做的功。20( )4(2 )xqE xexe22200( ) d1d4(2 )16ddWqE xxqqxxd 2oe016qWWd qqx = 0d-d 由镜像法，感应电荷可以用像电荷由镜像法，感应电荷可以用像电荷 替代。当电荷替代。当电荷q 移移至至x时，像电荷时，像电荷 应位于应
44、位于x，则，则像电荷产生的电场强度像电荷产生的电场强度qq q563.5.3 导体球面的镜像导体球面的镜像 1.点电荷对接地导体球面的镜像点电荷对接地导体球面的镜像 球面上的感应电荷可用镜像电荷球面上的感应电荷可用镜像电荷q来等效。来等效。 q 应位于导体球内（显然应位于导体球内（显然不影响原方程），且在点电荷不影响原方程），且在点电荷q与球与球心的连线上，距球心为心的连线上，距球心为d。则有。则有 01()4qqRR 如图所示，点电荷如图所示，点电荷q 位于半径位于半径为为a 的接地导体球外，距球心为的接地导体球外，距球心为d 。方法方法：利用导体球面上电位为零确定：利用导体球面上电位为零确
45、定 和和 q。d dq?问题问题： PqarRdqPaqrRRdd57 令令ra，由球面上电位为零，由球面上电位为零，即即 0，得，得=0qqRRRqRq 常数此式应在整个球面上都成立。此式应在整个球面上都成立。OqPOq P 2add 0RaqqqRdqqRR 条件条件：若：若像电荷的位置像电荷的位置像电荷的电量像电荷的电量1adqq RdaRad常数常数qPqaRRddO由于由于58 2.点电荷对不接地导体球面的镜像（点电荷对不接地导体球面的镜像（P139）593.6 分离变量法分离变量法 本节内容本节内容 3.6.1 分离变量法解题的基本原理分离变量法解题的基本原理 3.6.2 直角坐标
46、系中的分离变量法直角坐标系中的分离变量法 3.6.3 圆柱坐标系中的分离变量法圆柱坐标系中的分离变量法 3.6.4 球坐标系中的分离变量法球坐标系中的分离变量法60 将偏微分方程中含有将偏微分方程中含有n个自变量的待求函数表示成个自变量的待求函数表示成n个各自只个各自只含一个变量的函数的乘积，把偏微分方程分解成含一个变量的函数的乘积，把偏微分方程分解成n个常微分方程，个常微分方程，求出各常微分方程的通解后，把它们线性叠加起来，得到级数形求出各常微分方程的通解后，把它们线性叠加起来，得到级数形式解，并利用给定的边界条件确定待定常数。式解，并利用给定的边界条件确定待定常数。分离变量法是求解边值问题
47、的一种经典方法分离变量法是求解边值问题的一种经典方法分离变量法的理论依据是惟一性定理分离变量法的理论依据是惟一性定理分离变量法解题的基本思路：分离变量法解题的基本思路：3.6.1 分离变量法解题的基本原理分离变量法解题的基本原理61在直角坐标系中，若位函数与在直角坐标系中，若位函数与z 无关，则拉普拉斯方程为无关，则拉普拉斯方程为02222 yx3.6.2 直角坐标系中的分离变量法直角坐标系中的分离变量法22221d( )1d( )( )d( )dX xY yX xxY yy 将将 (x, y) 表示为两个一维函数表示为两个一维函数 X( x )和和Y( y )的乘积，即的乘积，即( , )(
48、 ) ( )x yX x Y y2222d( )d( )( )( )0ddX xY yY yX xxy将其代入拉普拉斯方程，得将其代入拉普拉斯方程，得再除以再除以 X( x ) Y( y ) ，有，有分离常数分离常数62222d( )( )0dX xk X xx222d( )( )0dY yk Y yy 若取若取k2 ，则有，则有000( )( )Y yY yC yD( )( )sinh()cosh()nnnnnY yYyCk yDk ysin()cos()sinh()cosh()nnnnnnnnAk xBk xCk yDk y( )sin()cos()nnnnX xAk xBk x当当0nk
49、k( , )( , )( )( )nnnx yx yXx Y x0000000( , )( , )( )( )()()x yx yXx Y yA xBC yD当当0k 000( )( )X xXxA xB6300001( , )()()sin()cos()sinh()cosh()nnnnnnnnnx yA xBC yDAk xBk xCk yDk y将所有可能的将所有可能的 (x, y)线性线性叠加起来，则得到位函数的通解，即叠加起来，则得到位函数的通解，即 若取若取k2 ，同理可得到，同理可得到00001( , )()()sinh(_cosh()sin()cos()nnnnnnnnnx yA xBC yDAk xBk xCk yDk y通解中的分离常数和待定系数由给定的边界条件确定。通解中的分离常数和待定系数由给定的边界条件确定。
