1、2022 年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国卷）卷）数学数学注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。上无效。3考试结束后，将本
2、试卷和答题卡一并交回。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。符合题目要求的。1已知集合，则（ ） 1,1,2,4,|1| 1ABx x AB A B C D 1,21,21,4 1,42（ ）(22i)(12i)A B C D24i 24i 62i62i3中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现如图是某古建筑物的剖面图，是举， 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为1111,DD CC BB AA111
3、1,OD DC CB BA，若是公差为 0.1 的等差数列，且直线的斜率为11111231111,0.5,DDCCBBAAkkkODDCCBBA123,k k kOA0.725，则（ ）3k A0.75 B0.8 C0.85 D0.94已知，若，则（ ）(3,4),(1,0),tabcab,a cb ct A B C5 D6655有甲乙丙丁戊 5 名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有多少种（ ）A12 种 B24 种 C36 种 D48 种6角满足，则（ ）, sin()cos()2 2cossin4A Btan()1tan()1 C Dtan()1tan()
4、1 7正三棱台高为 1，上下底边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是（ ）3 34 3A B C D1001281441928若函数的定义域为 R，且，则（ ）( )f x()()( ) ( ),(1)1f xyf xyf x f yf221( )kf kA B C0 D132二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。9函数的图象以中心对
5、称，则（ ）( )sin(2)(0)f xx2,03A在单调递减 y ( )f x50,12B在有 2 个极值点y ( )f x 11,12 12C直线是一条对称轴 76x D直线是一条切线32yx10已知 O 为坐标原点，过抛物线的焦点 F 的直线与 C 交于 A，B 两点，点 A 在第一象2:2(0)C ypx p限，点，若，则（ ）( ,0)M p| |AFAMA直线的斜率为 BAB2 6| |OBOFC D| 4|ABOF180OAMOBM11如图，四边形为正方形，平面，记三棱锥ABCDED ABCD,2FBED ABEDFB，的体积分别为，则（ ）EACDFABCFACE123,V
6、V VA B C D322VV312VV312VVV3123VV12对任意 x，y，则（ ）221xyxyA B C D1xy2xy 222xy221xy三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。13已知随机变量 X 服从正态分布，且，则_22,N(22.5)0.36PX(2.5)P X 14写出曲线过坐标原点的切线方程：_，_ln |yx15已知点，若直线关于的对称直线与圆存在公共点，则( 2,3), (0, )ABaABya22(3)(2)1xy实数 a 的取值范围为_16已知椭圆，直线 l 与椭圆在第一象限交于 A，B 两点，与
7、x 轴，y 轴分别交于 M，N 两点，且22163xy，则直线 l 的方程为_| |,| 2 3MANBMN四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （10 分）已知为等差数列，是公比为 2 的等比数列，且 na nb223344ababba（1）证明：；11ab（2）求集合中元素个数1,1500kmk baam18 （12 分）记的三个内角分别为 A，B，C，其对边分别为 a，b，c，分别以 a，b，c 为边长的三个ABC正三角形的面积依次为，已知123,S S S12331,sin
8、23SSSB（1）求的面积；ABC（2）若，求 b2sinsin3AC 19 （12 分）在某地区进行流行病调查，随机调查了 100 名某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据频率分布直方图（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ；（2）估计该地区一人患这种疾病年龄在区间的概率；20,70)（3）已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的，0.1%40,50)16%从该地区任选一人，若此人年龄位于区间，求此人患该种疾病的概率 （样本数据中的患者年龄位于40,50)各区间的频率作为患者年龄位于该区间的概率，精确到 0.0001）
9、20 （12 分）如图，是三棱锥的高，E 是的中点POPABCPAPBABACPB（1）求证：平面；OEPAC（2）若，求二面角的正弦值30ABOCBO 3PO 5PACAEB21 （12 分）设双曲线的右焦点为，渐近线方程为2222:1(0,0)xyCabab(2,0)F3yx （1）求 C 的方程；（2）过 F 的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A，B 两点，点在 C 上，且1122,P x yQ xy过 P 且斜率为的直线与过 Q 且斜率为的直线交于点 M，请从下面中选1210,0 xxy33取两个作为条件，证明另外一个条件成立：M 在上；ABPQAB| |MAMB注：若选择不同的组合
10、分别解答，则按第一个解答计分.22 （12 分）已知函数( )eeaxxf xx（1）当时，讨论的单调性；1a ( )f x（2）当时，求 a 的取值范围；0 x ( )1f x （3）设，证明：nN222111ln(1)1122nnn2022 年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国卷）卷）数学数学参考答案参考答案一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的符合题目要求的.1. B 2. D 3. D 4. C
11、5. B 6. D 7. A 8. A二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9. AD 10. ACD 11. CD 12. BC三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13. #0.1475014. . . 1eyx1eyx 15. 1 3,3 216. 22 20 xy四、解答题：本题共四
12、、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.（1）设数列的公差为，所以，即可解得，所以原 nad11111111224283adbadbadbbad112dba命题得证 （2）918.（1） 28（2）1219.（1）岁； 44.65（2）； 0.89（3）0.001420.（1）证明：连接并延长交于点，连接、，BOACDOAPD因为是三棱锥的高，所以平面，平面，POPABCPO ABC,AO BO ABC所以、，POAOPOBO又，所以，即，所以，PAPBPOAPOBOAOBOABOBA 又，即，所以，A
13、BAC90BAC90OABOAD90OBAODA所以ODAOAD 所以，即，所以为的中点，又为的中点，所以，AODOAODOOBOBDEPB/OE PD又平面，平面，OE PACPD PAC所以平面 /OEPAC（2）111321.（1） 2213yx （2）由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零，PQAB若选由推或选由推：由成立可知直线的斜率存在且不为零；AB若选推，则为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知在轴上，MABABMx即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称，与从而，已知不符；FPQx12xx总之，直线的斜率存在且不为零.AB设直线的斜率为,直线方程为,
14、ABkAB2yk x则条件在上，等价于；MAB2000022yk xkykx两渐近线的方程合并为,2230 xy联立消去 y 并化简整理得：22223440kxk xk设,线段中点为,则,3334,A xyB xy,NNN xy2342226,2233NNNxxkkxyk xkk设,00,M xy则条件等价于,AMBM222203030404xxyyxxyy移项并利用平方差公式整理得：，3403434034220 xxxxxyyyyy,即,3403403434220yyxxxyyyxx000NNxxk yy即；200283kxkyk由题意知直线的斜率为, 直线的斜率为,PM3QM3由,1010
15、20203,3yyxxyyxx ,1212032yyxxx 所以直线的斜率,PQ12012121232xxxyymxxxx 直线,即,00:3PMyxxy 0033yyxx代入双曲线的方程,即中，22330 xy333xyxy得：,000032 333yxxyx解得的横坐标：,P100001332 33xyxyx同理：，200001332 33xyxyx 00120120022220000331,2,333yxxxyxxxxyxyx ,003xmy条件等价于，/ /PQAB003mkkyx综上所述：条件在上，等价于；MAB2002kykx条件等价于；/ /PQAB003kyx条件等价于；AMB
16、M200283kxkyk选推:由解得：,成立；2200002228,433kkxxkyxkk选推：由解得：，20223kxk20263kkyk，成立；003kyx选推：由解得：，20223kxk20263kkyk02623xk，成立.2002kykx22.（1）的减区间为，增区间为. fx,00,（2） 12a （3）取，则，总有成立，12a 0 x 12ee10 xxx 令，则，12ext 21,e ,2lnxttxt故即对任意的恒成立.22 ln1ttt12lnttt 1t 所以对任意的，有，*nN112ln1nnnnnn整理得到：，21ln1lnnnnn故222111ln2ln1 ln3
17、ln2ln1ln1122nnnn，ln1n故不等式成立.2022 年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国卷）卷）数学数学参考答案参考答案一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的中，只有一项是符合题目要求的.1. B 2. D 3. D 4. C 5. B 6. D 7. A 8. A二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，在每小题给出的选项中，
18、有多项符合题目要求全部选对的得有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0分分.9. AD 10. ACD 11. CD 12. BC三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13. #0.1475014. . . 1eyx1eyx 15. 1 3,3 216. 22 20 xy四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤步骤17.（1）设数列的公差为，所以，即可解得， nad11
19、111111224283adbadbadbbad，所以原命题得证 112dba（2）918.（1） 28（2）1219.（1）岁； 44.65（2）； 0.89（3）0.001420.（1）证明：连接并延长交于点，连接、，BOACDOAPD因为是三棱锥的高，所以平面，平面，POPABCPO ABC,AO BO ABC所以、，POAOPOBO又，所以，即，所以，PAPBPOAPOBOAOBOABOBA 又，即，所以，ABAC90BAC90OABOAD90OBAODA所以ODAOAD 所以，即，所以为的中点，又为的中点，所以AODOAODOOBOBDEPB，/OE PD又平面，平面，OE PACP
20、D PAC所以平面 /OEPAC（2）111321.（1） 2213yx （2）由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零，PQAB若选由推或选由推：由成立可知直线的斜率存在且不为零；AB若选推，则为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称MABAB性可知在轴上，即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称，与从而，MxFPQx12xx已知不符；总之，直线的斜率存在且不为零.AB设直线的斜率为,直线方程为,ABkAB2yk x则条件在上，等价于；MAB2000022yk xkykx两渐近线的方程合并为,2230 xy联立消去 y 并化简整理得：22223440kxk xk设,线段中点
21、为,则3334,A xyB xy,NNN xy,2342226,2233NNNxxkkxyk xkk设,00,M xy则条件等价于,AMBM222203030404xxyyxxyy移项并利用平方差公式整理得：，3403434034220 xxxxxyyyyy,即,3403403434220yyxxxyyyxx000NNxxk yy即；200283kxkyk由题意知直线的斜率为, 直线的斜率为,PM3QM3由,101020203,3yyxxyyxx ,1212032yyxxx 所以直线的斜率,PQ12012121232xxxyymxxxx 直线,即,00:3PMyxxy 0033yyxx代入双曲
22、线的方程,即中，22330 xy333xyxy得：,000032 333yxxyx解得的横坐标：,P100001332 33xyxyx同理：，200001332 33xyxyx 00120120022220000331,2,333yxxxyxxxxyxyx ,003xmy条件等价于，/ /PQAB003mkkyx综上所述：条件在上，等价于；MAB2002kykx条件等价于；/ /PQAB003kyx条件等价于；AMBM200283kxkyk选推:由解得：,成立；2200002228,433kkxxkyxkk选推：由解得：，20223kxk20263kkyk，成立；003kyx选推：由解得：，20223kxk20263kkyk02623xk，成立.2002kykx22.（1）的减区间为，增区间为. fx,00,（2） 12a （3）取，则，总有成立，12a 0 x 12ee10 xxx 令，则，12ext 21,e ,2lnxttxt故即对任意的恒成立.22 ln1ttt12lnttt 1t 所以对任意的，有，*nN112ln1nnnnnn整理得到：，21ln1lnnnnn故222111ln2ln1 ln3ln2ln1ln1122nnnn，ln1n故不等式成立.
