1、2022 年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国卷）卷）数学数学本试卷共本试卷共 4 页，页，22 小题，满分小题，满分 150 分。考试用时分。考试用时 120 分钟。分钟。注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角角“条形码粘贴处条形码粘贴处
2、” 。2作答选择题时，选出每小题答案后，用作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使
3、用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。上要求作答的答案无效。4考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。符合题目要求的。1若集合，则（ ）4,31MxxNxxMN A B C D 02xx123xx 316xx1163xx2若，则（ ）i(1)1zzzA B C1 D2213在中，点 D 在边 AB 上，记，则（ ）ABC
4、2BDDACACD， mnCB A B C D32mn23mn32mn23mn4南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水1485m2140 0km157 5m2180 0km库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（1485m157 5m） （ ）72.65A B C D931.0 10 m931.2 10 m931.4 10 m931.6 10 m5从 2 至 8 的 7 个整数中随机取 2 个不同的数，则这 2 个数互质的概率为（ ）A B C
5、 D161312236记函数的最小正周期为 T若，且的图像关于点( )sin(0)4f xxb23T( )yf x中心对称，则（ ）3,222fA1 B C D332527设，则（ ）0.110.1e,ln0.99abc ，A B C Dabccbacabacb8已知正四棱锥的侧棱长为 l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四3633 3l 棱锥体积的取值范围是（ ）A B C D8118,427 81,4427 64,4318,27二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目分。在每小题给
6、出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。9已知正方体，则（ ）1111ABCDABC DA直线与所成的角为 B直线与所成的角为1BC1DA901BC1CA90C直线与平面所成的角为 D直线与平面 ABCD 所成的角为1BC11BB D D451BC4510已知函数，则（ ）3( )1f xxxA有两个极值点 B有三个零点( )f x( )f xC点是曲线的对称中心 D直线是曲线的切线(0,1)( )yf x2yx( )yf x11已知 O 为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交 C 于
7、P，Q 两点，(1,1)A2:2(0)C xpy p(0, 1)B则（ ）AC 的准线为 B直线 AB 与 C 相切1y C D2| | |OPOQOA2| | |BPBQBA12.已知函数及其导函数的定义域均为，记.若，均为偶函( )f x( )fxR( )( )g xfx322fx(2)gx数，则（ ）A B C D(0)0f102g( 1)(4)ff( 1)(2)gg三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13的展开式中的系数为_（用数字作答） 81()yxyx26x y14写出与圆和都相切的一条直线的方程_221xy22(3)(4
8、)16xy15若曲线有两条过坐标原点的切线，则 a 的取值范围是_()exyxa16已知椭圆，C 的上顶点为 A，两个焦点为，离心率为过且垂直2222:1(0)xyCabab1F2F121F于的直线与 C 交于 D，E 两点，则的周长是_2AF| 6DE ADE四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 （10 分）记为数列的前 n 项和，已知是公差为的等差数列nS na11,nnSaa13（1）求的通项公式； na（2）证明：121112naaa18 （12 分）记的内角 A，B，C
9、的对边分别为 a，b，c，已知ABCcossin21sin1cos2ABAB（1）若，求 B；23C（2）求的最小值222abc19 （12 分）如图，直三棱柱的体积为 4，的面积为111ABCABC1ABC2 2（1）求 A 到平面的距离；1ABC（2）设 D 为的中点，平面平面，求二面角的正弦值1AC1AAAB1ABC 11ABB AABDC20 （12 分）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了 100 例（称为病例组） ，同时在未患该疾病的人群中随机调查了 100人（称为对照组） ，得到如下数据：
10、不够良好良好病例组4060对照组1090（1）能否有 99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？（2）从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好” ，B 表示事件“选到的人患有该疾病” ，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为(|)(|)P B AP B A(|)(|)P B AP B AR（）证明：；(|)(|)(|)(|)P A BP A BRP A BP A B（）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（）的结果给出 R 的估计值(|), (|)P A B P A B附：，22()()()()()n adbcKab c
11、dac bd2P Kk0.0500.0100.001k3.8416.63510.82821 （12 分）已知点在双曲线上，直线 l 交 C 于 P，Q 两点，直线的斜率之和为(2,1)A2222:1(1)1xyCaaa,AP AQ0（1）求 l 的斜率；（2）若，求的面积tan2 2PAQPAQ22 （12 分）已知函数和有相同的最小值( )exf xax( )lng xaxx（1）求 a；（2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三yb( )yf x( )yg x个交点的横坐标成等差数列绝密绝密启用前启用前 试卷类型：试卷类型：A2022 年普通高等学校招生全国统
12、一考试（新高考全国年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国卷）卷）数学数学 参考答案参考答案一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的符合题目要求的.1.D 2. D 3. B 4. C 5. D 6. A 7. C 8. C二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分
13、选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分9. ABD 10. AC 11. BCD 12. BC三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13. -2814. 或或3544yx 7252424yx1x 15. , 40,16. 13四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（1） 12nn na（2） 12112,11nan nnn12111naaa111111212 1222311nnn18.（1）； 6（2）4 25
14、19.（1） 2（2）3220. （1）由已知，222()200(40 9060 10)=24()()()()50 150 100 100n adbcKab cd ac bd又，2(6.635)=0.01P K 246.635所以有 99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.（2） （i）因为，(|)(|)()( )()( )=(|)(|)( )()( )()P B AP B AP ABP AP ABP ARP B AP B AP AP ABP AP AB所以()( )()( )( )()( )()P ABP BP ABP BRP BP ABP BP AB所以；(|)(|)
15、(|)(|)P A BP A BRP A BP A B(ii)；6R 21.（1）； 1（2）16 2922.（1） 1a （2）由（1）可得和的最小值为.e( )xxf x ( )lng xxx11 ln11 ln11 当时，考虑的解的个数、的解的个数.1b exxblnxxb设， exS xxb e1xSx当时，当时，0 x 0Sx0 x 0Sx故在上为减函数，在上为增函数， S x,00,所以， min010S xSb 而，e0bSb e2bS bb设，其中，则， e2bu bb1b e20bu b故在上为增函数，故， u b1, 1e20u bu故，故有两个不同的零点，即的解的个数为
16、2. 0S b exS xxbexxb设， lnT xxxb 1xTxx当时，当时，01x( )0Tx1x 0Tx故在上为减函数，在上为增函数， T x( )0,11,所以， min110T xTb 而， ee0bbT ee20bbTb有两个不同的零点即的解的个数为 2. lnT xxxblnxxb当，由（1）讨论可得、仅有一个零点，1b lnxxbexxb当时，由（1）讨论可得、均无零点，1b lnxxbexxb故若存在直线与曲线、有三个不同的交点，yb yf x( )yg x=则.1b 设，其中，故，( )eln2xh xxx0 x 1( )e2xh xx设，则， e1xs xx0 x e
17、10 xsx 故在上为增函数，故即， s x0, 00s xse1xx所以，所以在上为增函数，1( )12 10h xxx ( )h x0,而，(1)e20h31e333122()e3e30eeeh 故在上有且只有一个零点，且： h x0,0 x0311ex当时，即即，00 xx 0h x elnxxxx f xg x当时，即即，0 xx 0h x elnxxxx f xg x因此若存在直线与曲线、有三个不同的交点，yb yf x( )yg x=故， 001bf xg x此时有两个不同的零点，exxb1010,(0)x x xx此时有两个不同的零点，lnxxb0404,(01)x xxx 故，
18、11exxb00exxb44ln0 xxb00ln0 xxb所以即即，44lnxbx44exbx44e0 xbxbb故为方程的解，同理也为方程的解4xbexxb0 xbexxb又可化为即即，11exxb11exxb11ln0 xxb11ln0 xbxbb故为方程的解，同理也为方程的解，1xblnxxb0 xblnxxb所以，而， 1004,x xxb xb1b 故即.0410 xxbxxb1402xxx扫码关注数学学科网服务号，及时获取 2022 年高考真题、答案、解析！绝密绝密启用前启用前 试卷类型：试卷类型：A2022 年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国年普通高等学校招生全国统一考
19、试（新高考全国卷）卷）数学数学 参考答案参考答案一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的中，只有一项是符合题目要求的.1.D 2. D 3. B 4. C 5. D 6. A 7. C 8. C二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0
20、分分9. ABD 10. AC 11. BCD 12. BC三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13. -2814. 或或3544yx 7252424yx1x 15. , 40,16. 13四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤步骤17.（1） 12nn na（2） 12112,11nan nnn12111naaa111111212 1222311nnn18.（1）； 6（2）4 2519.（1） 2（2）3220. （1）由已知，
21、222()200(40 9060 10)=24()()()()50 150 100 100n adbcKab cd ac bd又，2(6.635)=0.01P K 246.635所以有 99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.（2） （i）因为，(|)(|)()( )()( )=(|)(|)( )()( )()P B AP B AP ABP AP ABP ARP B AP B AP AP ABP AP AB所以()( )()( )( )()( )()P ABP BP ABP BRP BP ABP BP AB所以；(|)(|)(|)(|)P A BP A BRP A BP
22、A B(ii)；6R 21.（1）； 1（2）16 2922.（1） 1a （2）由（1）可得和的最小值为.e( )xxf x ( )lng xxx11 ln11 ln11 当时，考虑的解的个数、的解的个数.1b exxblnxxb设， exS xxb e1xSx当时，当时，0 x 0Sx0 x 0Sx故在上为减函数，在上为增函数， S x,00,所以， min010S xSb 而，e0bSb e2bS bb设，其中，则， e2bu bb1b e20bu b故在上为增函数，故， u b1, 1e20u bu故，故有两个不同的零点，即的解的个数为 2. 0S b exS xxbexxb设， ln
23、T xxxb 1xTxx当时，当时，01x( )0Tx1x 0Tx故在上为减函数，在上为增函数， T x( )0,11,所以， min110T xTb 而， ee0bbT ee20bbTb有两个不同的零点即的解的个数为 2. lnT xxxblnxxb当，由（1）讨论可得、仅有一个零点，1b lnxxbexxb当时，由（1）讨论可得、均无零点，1b lnxxbexxb故若存在直线与曲线、有三个不同的交点，yb yf x( )yg x=则.1b 设，其中，故，( )eln2xh xxx0 x 1( )e2xh xx设，则， e1xs xx0 x e10 xsx 故在上为增函数，故即， s x0,
24、 00s xse1xx所以，所以在上为增函数，1( )12 10h xxx ( )h x0,而，(1)e20h31e333122()e3e30eeeh 故在上有且只有一个零点，且： h x0,0 x0311ex当时，即即，00 xx 0h x elnxxxx f xg x当时，即即，0 xx 0h x elnxxxx f xg x因此若存在直线与曲线、有三个不同的交点，yb yf x( )yg x=故， 001bf xg x此时有两个不同的零点，exxb1010,(0)x x xx此时有两个不同的零点，lnxxb0404,(01)x xxx 故，11exxb00exxb44ln0 xxb00ln0 xxb所以即即，44lnxbx44exbx44e0 xbxbb故为方程的解，同理也为方程的解4xbexxb0 xbexxb又可化为即即，11exxb11exxb11ln0 xxb11ln0 xbxbb故为方程的解，同理也为方程的解，1xblnxxb0 xblnxxb所以，而， 1004,x xxb xb1b 故即.0410 xxbxxb1402xxx
