1、2022 年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）文科数学文科数学注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框。回答非选择题时，将答案写在答题卡如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。上。写在本试卷上无效
2、。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。项是符合题目要求的。1集合，则（ ）2,4,6,8,10,16MNxx MN A B C D2,42,4,62,4,6,82,4,6,8,102设，其中为实数，则（ ）(12i)2iab, a bA B C D1,1ab 1,1ab1,1ab 1,1ab 3已知向量，则（ ）(2,1)( 2,4) ，ab|abA2 B3 C4 D5
3、4分别统计了甲、乙两位同学 16 周的各周课外体育运动时长（单位：h） ，得如下茎叶图：则下列结论中错误的是（ ）A甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为 7.4B乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于 8C甲同学周课外体育运动时长大于 8 的概率的估计值大于 0.4D乙同学周课外体育运动时长大于 8 的概率的估计值大于 0.65若 x，y 满足约束条件则的最大值是（ ）2,24,0,xyxyy2zxyA B4 C8 D1226设 F 为抛物线的焦点，点 A 在 C 上，点，若，则（ ）2:4C yx(3,0)B| |AFBF|AB A2 B C3 D2 23 27执行右边的程序框图，输出的
4、（ ）n A3 B4 C5 D68右图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（ ） 3,3A B C D3231xxyx321xxyx22 cos1xxyx22sin1xyx9在正方体中，分别为的中点，则（ ）1111ABCDABC D,E F,AB BCA平面平面 B平面平面1B EF 1BDD1B EF 1ABDC平面平面 D平面平面1B EF1A AC1B EF11AC D10已知等比数列的前 3 项和为 168，则（ ） na5242aa6a A14 B12 C6 D311函数在区间的最小值、最大值分别为（ ） cos1 sin1f xxxx0,2A B C D 2 2
5、，3 22， 22 2，3 222，12已知球 O 的半径为 1，四棱锥的顶点为 O，底面的四个顶点均在球 O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）A B C D13123322二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分。13记为等差数列的前 n 项和若，则公差_nS na32236SSd 14从甲、乙等 5 名同学中随机选 3 名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为_15过四点中的三点的一个圆的方程为_ 0,0 , 4,0 ,1,1 , 4,216若是奇函数，则_，_ 1ln1f xabxa b 三、解答题：共三、解答题：
6、共 70 分分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第第 1721 题为必考题，题为必考题，每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答。第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答。（一一）必考题：共）必考题：共 60 分分。17 （12 分）记的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知ABCsinsinsinsinCABBCA（1）若，求 C；2AB（2）证明：.2222abc18 （12 分）如图，四面体中，E 为 AC 的中点ABCD,ADCD ADCDADBBDC （1）证明：平面平面 ACD；BED （2
7、）设，点 F 在 BD 上，当的面积最小时，求三棱锥的体2,60ABBDACBAFCFABC积19 （12 分）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了 10 棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：） ，得到如下2m3m数据：样本号 i12345678910总和根部横截面积ix0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量iy0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得，10210.038iix10211.6158iiy101
8、0.2474iiix y（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到 0.01） ；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比利用以上数据给出该林区这种树木的总材积2186m量的估计值附：相关系数，12211niiinniiiixxyyrxxyy1.8961.37720 （12 分）已知函数1( )(1)lnf xaxaxx（1）当时，求的最大值；0a ( )f x（2）若恰有一个零点，求 a 的取值范围( )f x21
9、（12 分）已知椭圆 E 的中心为坐标原点，对称轴为 x 轴、y 轴，且过两点3(0, 2), 12AB（1）求 E 的方程；（2）设过点的直线交 E 于 M，N 两点，过 M 且平行于 x 轴的直线与线段交于点 T，点 H 满(1, 2)PAB足，证明：直线过定点MTTH HN（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中选定一题作答，并用题中选定一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑。按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；将所选题目对应的题号方框涂黑。按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分
10、；多答按所答第一题评分。多答按所答第一题评分。22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系中，曲线 C 的参数方程为（t 为参数） 以坐标原点为极点，x 轴正半轴xOy3cos2 ,2sinxtyt为极轴建立极坐标系，已知直线 l 的极坐标方程为sin03m（1）写出 l 的直角坐标方程；（2）若 l 与 C 有公共点，求 m 的取值范围23选修 45：不等式选讲（10 分）已知 a，b，c 都是正数，且，证明：3332221abc（1）；19abc （2）12abcbcacababc2022 年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）文科
11、数学参考答案文科数学参考答案一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.1. A 2. A 3. D 4. C 5. C 6. B 7. B 8. A 9. A 10. D 11. D 12. C二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13. 214.#0.331015.或或或222313xy22215xy224765339xy；2281691525xy16. . ； . 12ln2三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证
12、明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，每题为必考题，每个试题考生都必须作答个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.17. （1）； 58（2）由可得，sinsinsinsinCABBCA，再由正弦定理可得，sinsincoscossinsinsincoscossinCABABBCACA，然后根据余弦定理可知，coscoscoscosacBbcAbcAabC，化简得：22222222222211112222acbbcabcaabc，故原等式成立2222abc18. 【小问 1 详解】由于，是的中点，所以.ADCDEACACDE由于
13、，所以，ADCDBDBDADBCDB ADBCDB所以，故，ABCBACBD由于，平面，DEBDD,DE BD BED所以平面，AC BED由于平面，所以平面平面.AC ACDBED ACD【小问 2 详解】依题意，三角形是等边三角形，2ABBDBC60ACBABC所以，2,1,3ACAECEBE由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以.,ADCD ADCDACD1DE ，所以，222DEBEBDDEBE由于，平面，所以平面.ACBEE,AC BE ABCDE ABC由于，所以，ADBCDBFBAFBC 由于，所以，BFBFFBAFBCABCB FBAFBC所以，所以，AFCFEFAC由于，所以
14、当最短时，三角形的面积最小值.12AFCSAC EFEFAFC过作，垂足为，EEFBDF在中，解得，RtBED1122BE DEBD EF32EF 所以，223131,2222DFBFDF所以.34BFBD过作，垂足为，则，所以平面，且，FFHBEH/FH DEFH ABC34FHBFDEBD所以,34FH 所以.111332333244FABCABCVSFH 19. （1）； 20.06m30.39m（2） 0.97（3）31209m20. （1） 1（2）0,21. （1） 22143yx（2）(0, 2)【小问 1 详解】解：设椭圆 E 的方程为，过，221mxny30, 2 , 12A
15、B则，解得，41914nmn13m 14n 所以椭圆 E 的方程为：.22143yx【小问 2 详解】，所以，3(0, 2), ( , 1)2AB2:23AB yx若过点的直线斜率不存在，直线.代入，(1, 2)P1x 22134xy可得，代入 AB 方程，可得2 6(1,)3M2 6(1,)3N223yx，由得到.求得 HN 方程：2 6( 63,)3TMTTH 2 6(2 65,)3H，过点.2 6(2)23yx(0, 2)若过点的直线斜率存在，设.(1, 2)P1122(2)0,( ,),(,)kxykM x yN xy联立得，22(2)0,134kxykxy22(34)6 (2)3 (
16、4)0kxkk xk k可得，1221226 (2)343 (4)34kkxxkkkx xk12222228(2)344(442)34kyykkky yk且1221224(*)34kx yx yk联立可得1,223yyyx111113(3,),(36,).2yTyHyx y可求得此时，1222112:()36yyHN yyxxyxx将，代入整理得，(0, 2)12121221122()6()3120 xxyyx yx yy y将代入，得(*)222241296482448482436480,kkkkkkk显然成立，综上，可得直线 HN 过定点(0, 2).【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两
17、种：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中选定一题作答，并用题中选定一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；将所选题目对应的题号方框涂黑按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分多答按所答第一题评分.选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程22. （1） 320 xym（2）195122m选修选修 45：不等式选讲：不等式
18、选讲23. 【小问 1 详解】证明：因为，则，0a 0b 0c 320a 320b 320c 所以，33333322232223abcabc即，所以，当且仅当，即时取等号1213abc19abc 333222abc319abc【小问 2 详解】证明：因为，0a 0b 0c 所以，2bcbc2acac2abab所以，3222aaabcbcabc3222bbbacacabc3222cccabababc333333222222122222abcabcabcbcacababcabcabcabcabc当且仅当时取等号abc扫码关注数学学科网服务号，及时获取扫码关注数学学科网服务号，及时获取 2022 年
19、高考真题、答案、解析！年高考真题、答案、解析！2022 年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）文科数学文科数学参考答案参考答案一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.1. A 2. A 3. D 4. C 5. C 6. B 7. B 8. A 9. A 10. D 11. D 12. C二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13. 214.#0.331015.或或或222313xy22215xy224765339xy；228169
20、1525xy16. . ； . 12ln2三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，每题为必考题，每个试题考生都必须作答个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.17. （1）； 58（2）由可得，sinsinsinsinCABBCA，再由正弦定理可得，sinsincoscossinsinsincoscossinCABABBCACA，然后根据余弦定理可知，coscoscoscosacBbcAbcAabC，化简得：22222222222
21、211112222acbbcabcaabc，故原等式成立2222abc18. 【小问 1 详解】由于，是的中点，所以.ADCDEACACDE由于，所以，ADCDBDBDADBCDB ADBCDB所以，故，ABCBACBD由于，平面，DEBDD,DE BD BED所以平面，AC BED由于平面，所以平面平面.AC ACDBED ACD【小问 2 详解】依题意，三角形是等边三角形，2ABBDBC60ACBABC所以，2,1,3ACAECEBE由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以.,ADCD ADCDACD1DE ，所以，222DEBEBDDEBE由于，平面，所以平面.ACBEE,AC BE AB
22、CDE ABC由于，所以，ADBCDBFBAFBC 由于，所以，BFBFFBAFBCABCB FBAFBC所以，所以，AFCFEFAC由于，所以当最短时，三角形的面积最小值.12AFCSAC EFEFAFC过作，垂足为，EEFBDF在中，解得，RtBED1122BE DEBD EF32EF 所以，223131,2222DFBFDF所以.34BFBD过作，垂足为，则，所以平面，且，FFHBEH/FH DEFH ABC34FHBFDEBD所以,34FH 所以.111332333244FABCABCVSFH 19. （1）； 20.06m30.39m（2） 0.97（3）31209m20. （1）
23、1（2）0,21. （1） 22143yx（2）(0, 2)【小问 1 详解】解：设椭圆 E 的方程为，过，221mxny30, 2 , 12AB则，解得，41914nmn13m 14n 所以椭圆 E 的方程为：.22143yx【小问 2 详解】，所以，3(0, 2), ( , 1)2AB2:23AB yx若过点的直线斜率不存在，直线.代入，(1, 2)P1x 22134xy可得，代入 AB 方程，可得2 6(1,)3M2 6(1,)3N223yx，由得到.求得 HN 方程：2 6( 63,)3TMTTH 2 6(2 65,)3H，过点.2 6(2)23yx(0, 2)若过点的直线斜率存在，设
24、.(1, 2)P1122(2)0,( ,),(,)kxykM x yN xy联立得，22(2)0,134kxykxy22(34)6 (2)3 (4)0kxkk xk k可得，1221226 (2)343 (4)34kkxxkkkx xk12222228(2)344(442)34kyykkky yk且1221224(*)34kx yx yk联立可得1,223yyyx111113(3,),(36,).2yTyHyx y可求得此时，1222112:()36yyHN yyxxyxx将，代入整理得，(0, 2)12121221122()6()3120 xxyyx yx yy y将代入，得(*)22224
25、1296482448482436480,kkkkkkk显然成立，综上，可得直线 HN 过定点(0, 2).【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中选定一题作答，并用题中选定一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；将所选题目对应的题号方框涂黑按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分多答按所答第
26、一题评分.选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程22. （1） 320 xym（2）195122m选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲23. 【小问 1 详解】证明：因为，则，0a 0b 0c 320a 320b 320c 所以，33333322232223abcabc即，所以，当且仅当，即时取等号1213abc19abc 333222abc319abc【小问 2 详解】证明：因为，0a 0b 0c 所以，2bcbc2acac2abab所以，3222aaabcbcabc3222bbbacacabc3222cccabababc333333222222122222abcabcabcbcacababcabcabcabcabc当且仅当时取等号abc扫码关注数学学科网服务号，及时获取 2022 年高考真题、答案、解析！
