1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件 最新考纲 考情考向分析 1.理解命题的概念 2.了解 “ 若 p，则 q” 形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系 3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义 . 命题的真假判断和充分必要条件的判定是考查的主要形式，多与集合、函数、不等式、立体几何中的线面关系相交汇，考查学生的推理能力，题型为选择、填空题，低档难度 . 1命题 用语言、符号或式子表达的，可以 判断真假 的陈述句叫作命题，其中 判断为真 的语句叫作真命题， 判断为假 的语句叫作 假命题 2四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的
2、相互关系 (2)四种命题的真假关系 两个命题互为逆否命题，它们具有 相同 的真假性； 两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性 没有关系 3充分条件、必要条件与充要条件的概念 若 p?q，则 p 是 q 的 充分 条件， q 是 p 的 必要 条件 p 是 q 的 充分不必要 条件 p?q 且 q?p p 是 q 的 必要不充分 条件 p?q 且 q?p p 是 q 的 充要 条件 p?q p 是 q 的 既不充分又不必要 条件 p?q 且 q?p =【 ;精品教育资源文库 】 = 知识拓展 从集合的角度理解充分条件与必要条件 若 p 以集合 A 的形式出现， q 以集合 B 的形式出现，即
3、 A x|p(x)， B x|q(x)，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为： (1)若 A?B，则 p 是 q 的充分条件； (2)若 A?B，则 p 是 q 的必要条件； (3)若 A B，则 p 是 q 的充要条件； (4)若 A B，则 p 是 q 的充分不必要条件； (5)若 A B，则 p 是 q 的必要不充分条件； (6)若 A?B 且 A?B，则 p 是 q 的既不充分又不必要条件 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “” 或 “”) (1)“ 对顶角相等 ” 是命题 ( ) (2)命题 “ 若 p，则 q” 的否命题是 “ 若 p，则綈 q” ( ) (
4、3)当 q 是 p 的必要条件时， p 是 q 的充分条件 ( ) (4)当 p 是 q 的充要条件时，也可说成 q 成立当且仅当 p 成立 ( ) (5)若 p 是 q 的充分不必要条件，则綈 p 是綈 q 的必要不充分条件 ( ) 题组二 教材改编 2下列命题是真命题的是 ( ) A矩形的对角线相等 B若 a b， c d，则 ac bd C若整数 a 是素数，则 a 是奇数 D命题 “ 若 x2 0，则 x 1” 的逆否命题 答案 A 3 “ x 3 0” 是 “( x 3)(x 4) 0” 的 _条件 (填 “ 充分不必要 ”“ 必要不充分 ”“ 充要 ”“ 既不充分又不必要 ”) 答
5、案 充分不必要 题组三 易错自纠 4命题 “ 若 x2y2，则 xy” 的逆否命题是 ( ) A若 xy，则 x2y2 D若 x y，则 x2 y2 =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 B 解析 根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题 “ 若 x2y2，则 xy” 的逆否命题是 “ 若 x y，则 x2 y2” 5 “sin 0” 是 “ 是第一象限角 ” 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 答案 B 解析 由 sin 0，可得 是第一或第二象限角及终边在 y 轴正半轴上；若 是第一象限角，则 sin 0，所以 “sin 0” 是
6、“ 是第一象限角 ” 的必要不充分条件故选 B. 6已知集合 A?x? 123，即 m2. 题型一 命题及其关系 1下列命题是真命题的是 ( ) A若 1x 1y，则 x y B若 x2 1，则 x 1 C若 x y，则 x y D若 x y，则 x2 y2 答案 A 2某食品的广告词为 “ 幸福的人们都拥有 ” ，这句话的等价命题是 ( ) A不拥有的人们会幸福 B幸福的人们不都拥有 C拥有的人们不幸福 D不拥有的人们不幸福 答案 D 3 (2018 青岛调研 )下列命题： “ 若 a21，则 ax2 2ax a 30 的解集为 R” 的逆否命题； “ 若 3x(x0) 为有理数，则 x 为
7、无理数 ” 的逆否命题 其中正 确的命题是 ( ) A B C D 答案 A 解析 对于 ，否命题为 “ 若 a2 b2，则 a b” ，为假命题；对于 ，逆命题为 “ 面积相等的三角形是全等三角形 ” ，为假命题；对于 ，当 a1 时， 12a1 或 xx2， 则綈 p 是綈 q 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 答案 A 解析 由 5x 6x2，得 2sin 不成立 充分性不成立； 取 3 ， 136 ， sin sin ，但 ，必要性不成立 故 “ ” 是 “sin sin ” 的既不充分又不必要条件 (2)设向量 a (sin 2 ，
8、cos )， b (cos ， 1)，则 “ a b” 是 “tan 12成立 ” 的_条件 (选填 “ 充分不必要 ”“ 必要不充分 ”“ 充要 ”“ 既不充分又不必要 ”) 答案 必要不充分 解析 a b?sin 2 cos2 ?cos 0 或 2sin cos ?cos 0 或 tan 12，=【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 “ a b” 是 “tan 12成立 ” 的必要不充分条件 题型三 充分必要条件的应用 典例 已知 P x|x2 8x 200 ，非空集合 S x|1 m x1 m若 x P 是 x S 的必要条件，求 m 的取值范围 解 由 x2 8x 200 ，得 2 x
9、 10， P x| 2 x10 由 x P 是 x S 的必要条件，知 S?P. 则? 1 m1 m，1 m 2， 0 m3.1 m10 ， 当 0 m3 时， x P 是 x S 的必要条件，即所求 m 的取值范围是 0,3 引申探究 若本例条件不变，问是否存在实数 m，使 x P 是 x S 的充要条件 解 若 x P 是 x S 的充要条件，则 P S， ? 1 m 2，1 m 10， 方程组无解， 即不存在实数 m，使 x P 是 x S 的充要条件 思维升华 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，
10、然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式 (或不等式组 )求解 (2)要注意区间端点值的检验 跟踪训练 (1)设 p： |2x 1|0)； q： x 12x 10.若 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 m的取值范围为 _ 答案 (0,2 解析 由 |2x 1|0)， 得 m0，得 x1. p 是 q 的充分不必要条件，又 m0， m 12 12， 01” 的否命题是 ( ) A若函数 f(x) ex mx 在 0， ) 上不是减函数，则 m1 B若函数 f(x) ex mx 在 0， ) 上是减函数，则 m1 C若 m1，则函数 f(x) ex mx 在 0， ) 上是减函数 D若 m1
11、 ，则函数 f(x) ex mx 在 0， ) 上不是减函数 答案 A 解析 “ 若 p，则 q” 形式的命题的否命题是对条件和结论同时否定，故选 A. 2命题 “ 若 a 3，则 a 6” 以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为( ) A 1 B 2 C 3 D 4 答案 B 解析 原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为 “ 若 a 6，则 a 3” 是假命题，从而其否命题也是假命题因此 4 个命题中有 2 个假命题 3 “(2 x 1)x 0” 是 “ x 0” 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 答案 B 4已知命题 p：若
12、 a1， 命题 p 为假命题， A 不正确； 命题 p 的逆命题是 “ 若 a20， b0，则 “ ab” 是 “ a ln ab ln b”的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 答案 C 解析 设 f(x) x ln x，显然 f(x)在 (0， ) 上单调递增， ab， f(a)f(b)， a ln ab ln b，故充分性成立； a ln ab ln b， f(a)f(b)， ab，故必要性成立， 故 “ ab” 是 “ a ln ab ln b” 的充要条件，故选 C. 7已知直线 a， b 分别在两个不同的平面 ， 内，则 “ 直线 a
13、和直线 b 相交 ” 是 “ 平面 和平面 相交 ” 的 ( ) A充分不必要条件 B 必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 答案 A 解析 若直线 a 和直线 b 相交，则平面 和平面 相交；若平面 和平面 相交，那么直线 a 和直线 b 可能平行或异面或相交，故选 A. 8 (2017 江西红色七校二模 )在 ABC 中，角 A， B 均为锐角，则 “cos Asin B” 是 “ ABC为钝角三角形 ” 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 答案 C 解析 因为 cos Asin B，所以 cos Acos? ? 2 B ， =
14、【 ;精品教育资源文库 】 = 因为角 A， B 均为锐角，所以 2 B 为锐角， 又因为余弦函数 y cos x 在 (0， ) 上单调递减， 所以 A 2 ， 所以 ABC 为钝角三角形； 若 ABC 为钝角三角形，角 A， B 均为锐角， 则 C 2 ，所以 A Bcos? ? 2 B ， 即 cos Asin B. 故 “cos Asin B” 是 “ ABC 为钝角三角形 ” 的充要条件 9 “ 若 a b，则 ac2 bc2” ，则原命题及命题的逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是 _ 答案 2 解析 其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题 10设 p：实数 x， y 满足 x1 且 y1， q：实数 x， y 满足 x y2，则 p 是 q 的 _条件 (选填 “ 充分不必要 ”“ 必要不 充分 ”“ 充要 ”“ 既不充分又不必要 ”) 答案 充分不必要 解析 当 x1， y1 时
