1、 在第一章与第二章中, 我们已经证明了实数集中的确界定理、单调有界定理、柯西收敛准则、致密性定理. 这几个定理反映了实数的一种特性,这种特性称之为完备性. 而有理数集是不具备这种性质的. 在本章中, 将着重介绍与上述四个定理的等价性定理及其应用.这些定理是数学分析理论的基石.1 关于实数集完备性的基本定理一、区间套定理二、聚点定理与有限覆盖定理三、实数完备性基本定理的等价性定义定义1nnab,:设闭区间列满足如下条件设闭区间列满足如下条件111. , ,1, 2,nnnnababn2. lim()0 ,nnnba,.nnab则则称称为为闭闭区区间间套套 简简称称区区间间套套定义定义1 中的条件
2、中的条件1 实际上等价于条件实际上等价于条件1221.nnaaabbb一、区间套定理nna aa a121nnbbb b12 1定理定理7.1(区间套定理区间套定理),nnab若若是是一一个个区区间间套套, 则则存存在在唯唯一一的的实实数数使使,1, 2,nnabn 或者或者. ,1nnnba x limlim.nnnnab 注注：,( ; ).nna bU 则任给则任给 0, 存在存在 N,1, 2,.n 当当 n N 时时,推论推论 设设 an ,bn 是一个区间套是一个区间套,nnab 注注1 该推论有着很强的应用价值该推论有着很强的应用价值,请大家务请大家务必必牢记牢记. .注注2 区
3、间套定理中的闭区间若改为开区间区间套定理中的闭区间若改为开区间, 那么结那么结论不一定成立论不一定成立. 例如对于开区间列例如对于开区间列 , 显然显然10n，但是定理但是定理1中的中的 是不存在的是不存在的, 这是因为这是因为110,.nn 111.0,0,1, 2,1nnn 12.lim00.nn例例1.1.用区间套定理证明用区间套定理证明连续函数根的存在性定理连续函数根的存在性定理定义定义2 设设 S 为数轴上的非空点集为数轴上的非空点集, 为直线上的为直线上的一个定点一个定点(当然可以属于当然可以属于 S, 也可以不属于也可以不属于S). 若对若对于任意正数于任意正数 , ,在在 (
4、, + ) 中含有中含有S 的无限个点的无限个点, 10Sn 比比如如: : 是是的的一一个个聚聚点点; ;二、聚点定理与有限覆盖定理则称则称 是是 S 的一个的一个聚点聚点.US( ; ), 无限集无限集即即11, 1( 1).nSn是是的的两两个个聚聚点点为了便于应用为了便于应用,下面介绍两个与定义下面介绍两个与定义 2 等价的定义等价的定义.SRR,.0, 设若对于任意设若对于任意定义定义2定义定义2若存在各项互异的收敛数列若存在各项互异的收敛数列,Sxn .lim的的一一个个聚聚点点称称为为那那么么极极限限Sxnn 下面简单叙述一下这三个定义的等价性下面简单叙述一下这三个定义的等价性.
5、 若设若设 S 是是 0, 1中的无理数全体中的无理数全体, 则则 S 的聚点的聚点集合集合 ( ; ),.USS 那么称是的一个聚点那么称是的一个聚点为闭区间为闭区间 0, 1. 定义定义2 定义定义2 由定义直接得到由定义直接得到.定义定义2 定义定义2 因为因为 0,( ; )0,US 那么那么111,( ;1);xUS 取取2122min 1/2,( ;);xxUS 取取;.1min 1/ ,( ;);nnnnn xxUS 取取.,nnnxSx 这样就得到一列由的取法两两这样就得到一列由的取法两两,10nxnn lim.nnx 由此由此互异互异, ,并且并且定义定义2定义定义2 由极限
6、的定义可知这是显然的由极限的定义可知这是显然的.定理定理7.2 (魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯Weierstrass 聚点定理聚点定理) 实数轴上的任意有界无限点集实数轴上的任意有界无限点集 S S 必有聚点必有聚点. .我们再次使用区间套定理来证明聚点定理我们再次使用区间套定理来证明聚点定理, 请务必请务必证证 因为因为S为有界点集为有界点集, 所以存在正数所以存在正数 M, 使使11,.SM MabM M 且记且记现将现将 a1, b1 等分为两个子区间等分为两个子区间 a1, c1, c1,b1,1111111.,2abcaccb 其中那么其中那么中至少有一中至少有一个区间个区间含有含有 S
7、 的无限多个点的无限多个点. 记该区间为记该区间为a2, b2.要注意在区间套的构成中所建立的性质要注意在区间套的构成中所建立的性质 (iii). .,2211baba 显然有显然有22111().2babaM再将再将a2, b2等分为两个子区间等分为两个子区间. 同样至少有一个子同样至少有一个子区区间含有间含有 S 的无限多个点的无限多个点, 将这个区间记为将这个区间记为a3, b3.112233,a ba bab显然又有显然又有.2)(212233Mabab nnnMba1(ii)0;2 (iii) 每个闭区间每个闭区间an, bn 均含均含S 的无限多个点的无限多个点.无限重复这个过程无
8、限重复这个过程, 就可得到一列闭区间就可得到一列闭区间,nnabnnnnababn11(i) ,1, 2,;,nnab 由区间套定理 存在惟一的由区间套定理 存在惟一的., 2, 1 n满足满足1:,N 由定理 的推论 对于任意的正数存在使由定理 的推论 对于任意的正数存在使,( ; ),NNabU 所以由所建立的性质所以由所建立的性质(iii)( ; ),NNUSabS 无限集.无限集.这就证明了这就证明了 是是 S 的一个聚点的一个聚点.定理定理7.2 有一个非常重要的推论有一个非常重要的推论( (致密性定理致密性定理).).该该定理在整个数学分析中定理在整个数学分析中, ,显得十分活跃显
9、得十分活跃. .证证 设设xn为有界数列为有界数列, 若若xn 中有无限项相等中有无限项相等, 取取这些相等的项可成一个子列这些相等的项可成一个子列. 该子列显然是收敛该子列显然是收敛若数列若数列xn 不含有无限多个相等的项不含有无限多个相等的项, 则则xn作为作为点集是点集是有界无限点集有界无限点集. 由聚点原理由聚点原理, 可设可设 是是xn 的一个的一个推论推论(致密性定理致密性定理) 有界数列必有收敛子列有界数列必有收敛子列.的的. .一个各项互异的子列一个各项互异的子列 收敛于收敛于 . .聚点聚点, , 那么再由定义那么再由定义 2 , ,可知可知 xn 中有中有knx定义定义3
10、设设 S 为数轴上的一个点集为数轴上的一个点集, ,H为一些开区间为一些开区间H( ,). 的集合 即中的元素均为形如的开区间的集合 即中的元素均为形如的开区间xSHx,( ,),( ,), 若对于任意都存在使若对于任意都存在使则称则称 H 是是 S 的一个的一个开覆盖开覆盖.若若 H是是 S 的一个开覆盖的一个开覆盖, 并且并且H 中的元素中的元素(开区开区间间) ) 仅有有限个仅有有限个, 则称则称 H 是是 S 的一个的一个有限开覆盖有限开覆盖.11,1, 2, .(0,1)2Hnnn例例如如: (1) : (1) 是是区区间间的的一个开覆盖一个开覆盖.定理定理7.3 (海涅博雷尔有限覆
11、盖定理海涅博雷尔有限覆盖定理)设设 H是闭区间是闭区间 a, b 的一个开覆盖的一个开覆盖, 则从则从 H 中可选中可选海涅海涅( Heine,H.E. 1821-1881,德国德国 )博雷尔博雷尔( Borel,E.1871-1956, 法国法国 ) 出出有限个开区间有限个开区间, ,构成闭区间构成闭区间 a, b 的一个子覆盖的一个子覆盖. .证明：证明：本定理证明方本定理证明方法法 多种，这里采用多种，这里采用 区间套定理。区间套定理。 若定理不成立若定理不成立, 也就是说也就是说 a, b不能不能被被 H 中任何中任何再将再将 a1, b1 等分成两个子区间等分成两个子区间, 其中至少
12、有一个其中至少有一个 有限个开区间所覆盖有限个开区间所覆盖. 将区间将区间a, b等分成两个子等分成两个子区间区间, 那么这两个子区间中至少有一个不能被那么这两个子区间中至少有一个不能被 H中任意有限个开区间所覆盖中任意有限个开区间所覆盖, 设该区间为设该区间为a1 , b1. 不能被不能被 H 中有限个开区间所覆盖中有限个开区间所覆盖. 设该区间为设该区间为aba bbaba11111, , ,().2并且并且显然有显然有11(i) ,1, 2,;nnnnababn(iii) 对每一个闭区间对每一个闭区间 an, bn, 都不能被都不能被 H 中有限个中有限个满足下列三个性质满足下列三个性质
13、:221122111,().2ababbaba并且并且a2 ,b2. 同样有同样有将上述过程无限进行下去将上述过程无限进行下去, 可得一列闭区间可得一列闭区间,nnab1(ii)()0,2nnnbaba;n 11, , ,( ,),abHa bH 因覆盖了故存在因覆盖了故存在0,.min,7.1 使（）取由定理使（）取由定理这就是说这就是说, aN , bN 被被 H 中的一个开区间所覆盖中的一个开区间所覆盖,1, 2,.nnabn , 由由区区间间套套定定理理, ,存存在在惟惟一一的的使使开开区间所覆盖区间所覆盖.0,( ;)( ,).NNNabU 论 存在使论 存在使的推的推矛矛盾盾. .
14、1(1 )1 2 .1Hnn 比如开区间集，覆盖了比如开区间集，覆盖了区间区间 (0, 1). 很明显很明显, H 中的任何有限个开区间均不中的任何有限个开区间均不 注注 定理定理7.3中的闭区间不可以改为开区中的闭区间不可以改为开区间间. .能覆盖能覆盖 (0, 1).例例2 2：用有限覆盖定理证明：闭区间上连续函数的用有限覆盖定理证明：闭区间上连续函数的有界性定理。有界性定理。我们已经学习了关于实数完备性的六个定理我们已经学习了关于实数完备性的六个定理, 它它三、实数完备性定理的等价性确界定理确界定理 单调有界定理单调有界定理 区间套定理区间套定理下面证明这六个定理是等价的下面证明这六个定
15、理是等价的. .们是们是:聚点定理聚点定理（致密性定理）（致密性定理）有限覆盖定理有限覆盖定理 柯西收敛准则柯西收敛准则 柯西收敛准则柯西收敛准则 区间套定理区间套定理 聚点定理聚点定理 确界定理确界定理 有限覆盖定理有限覆盖定理 单调有界定理单调有界定理 654321例例3 用有限覆盖定理证明聚点定理用有限覆盖定理证明聚点定理.证证 设设 S 是无限有界点集是无限有界点集, 则存在则存在 M 0, 使得使得,.SM M ,SSxM Mx 若的聚点集合那么 任给若的聚点集合那么 任给xxx.0 ( 都不是聚点 这就是说存在表示与有都不是聚点 这就是说存在表示与有xxxxS),(,). 关使得有
16、限集关使得有限集在上图的等价性关系中在上图的等价性关系中, 仅仅 和和 尚未证尚未证明明. .这里这里46给出给出 的证明的证明, , 请大家自己阅读教材请大家自己阅读教材. .46很明显很明显, H 覆盖了闭区间覆盖了闭区间 M, M. 根据有限覆盖根据有限覆盖(,)|,0,xxxHxxxM M (,).xxxxS 有限集有限集设开区间集设开区间集0(,)|1, 2,iiiiHxxin由由H 的构造的构造,有限集，有限集， Sxxiiii),( 所以所以有限集，有限集， SxxSMMSiiiini),(,1 矛盾矛盾.定理定理, , 存在存在 H 中的有限子覆盖中的有限子覆盖覆盖覆盖-M, M-M, M ，进而覆盖，进而覆盖 S. S.
