1、第六章数列6.2等差数列及其前n项和专题2等差数列的性质(2015江西八所重点中学高三联考,等差数列的性质,选择题,理4)数列an的前n项和Sn=2n2-3n(nN*),若p-q=5,则ap-aq=()A.10B.15C.-5D.20解析:利用通项与求和的关系求解.由数列an的前n项和Sn=2n2-3n(nN*),得an=Sn-Sn-1=4n-5,n2,且a1=-1也符合,所以ap-aq=4(p-q)=20,故选D.答案:D(2015辽宁重点中学协作体高考模拟,等差数列的性质,选择题,理4)已知数列an的首项a1=1,且an-an+1=anan+1(nN*),则a2 015=()A.B.C.D
2、.解析:依题意得an+1=,所以对nN*,an0,所以=1,数列是以=1为首项、1为公差的等差数列,=1+(n-1)1=n,即an=,a2015=,故选D.答案:D专题3等差数列前n项和公式与最值(2015江西重点中学盟校高三第一次联考,等差数列前n项和公式与最值,解答题,理18)已知数列an为等差数列,首项a1=1,公差d0.若,成等比数列,且b1=1,b2=2,b3=5.(1)求数列bn的通项公式bn;(2)设cn=log3(2bn-1),求和Tn=c1c2-c2c3+c3c4-c4c5+c2n-1c2n-c2nc2n+1.解:(1)=a1a5(1+d)2=1(1+4d)d=2.=a1=1
3、,=3,q=3,=1+(bn-1)2=2bn-1=13n-1,bn=.(2)cn=log3(2bn-1)=n-1,Tn=c2(c1-c3)+c4(c3-c5)+c6(c5-c7)+c2n(c2n-1-c2n+1)=-2(c2+c4+c2n)=-21+3+5+(2n-1)=-2n2.(2015银川二中高三一模,等差数列前n项和公式与最值,选择题,理3)设an是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn是其前n项的和,若S1,S2,S4成等比数列,则a1=()A.2B.-2C.D.-解析:因为S1,S2,S4成等比数列,故=S1S4,即(2a1-1)2=a1(4a1-6),解得a1=-,故选D.答案:
4、D(2015银川一中高三二模,等差数列前n项和公式与最值,选择题,理4)等差数列an中,已知a1=-12,S13=0,使得an0的最小正整数n为()A.10B.9C.8D.7解析:依题意得S13=13a7=0,故a7=0,d=2,所以an=-12+2(n-1)=2n-14.由an=2n-140,得n7.因此,使得an0的最小正整数是8,故选C.答案:C(2015东北三省三校高三第一次联考,等差数列前n项和公式与最值,选择题,理4)设Sn是公差不为零的等差数列an的前n项和,且a10,若S5=S9,则当Sn最大时,n=()A.6B.7C.10D.9解析:因为=7,故由a10及二次函数对称性可知当
5、n=7时,Sn最大.故选B.答案:B6.3等比数列及其前n项和专题2等比数列的性质(2015银川高中教学质量检测,等比数列的性质,选择题,理4)在各项均为正数的等比数列an中,a2a10=9,则a5+a7()A.有最小值6B.有最大值6C.有最大值9D.有最小值3解析:利用等比数列的性质,结合基本不等式求解.因为an是各项均为正数的等比数列,a5a7=a2a10=9,所以a5+a72=2=6,当且仅当a5=a7=3时取等号,故选A.答案:A(2015辽宁东北育才高三第五次模拟,等比数列的性质,选择题,理10)已知数列an为等比数列,且a2 013+a2 015=dx,则a2 014(a2 01
6、2+2a2 014+a2 016)的值为()A.B.2C.2D.42解析:依题意,a2013+a2015=(22)=,又因为数列an为等比数列,故a2014(a2013+2a2014+a2016)=+2a2013a2015+=(a2013+a2015)2=2,故选C.答案:C专题3等比数列前n项和公式(2015江西八所重点中学高三联考,等比数列前n项和公式,填空题,理16)用g(n)表示自然数n的所有因数中最大的那个奇数,例如:9的因数有1,3,9,g(9)=9,10的因数有1,2,5,10,g(10)=5,那么g(1)+g(2)+g(3)+g(22 015-1)=.解析:利用归纳推理得数列的
7、通项公式,结合等比数列的求和公式求解.由题意可得g(1)=1,g(2)+g(22-1)=g(2)+g(3)=4,g(22)+g(22+1)+g(23-1)=g(4)+g(5)+g(6)+g(7)=16=42,g(23)+g(23+1)+g(24-1)=g(8)+g(9)+g(14)+g(15)=64=43,则g(22014)+g(22014+1)+g(22015-1)=42014,所以g(1)+g(2)+g(3)+g(22015-1)=1+4+42+42014=.答案:6.4数列求和专题1分组求和与并项求和(2015银川高中教学质量检测,分组求和与并项求和,填空题,理15)在数列an中,a1=
8、1,a2=2,且an+2-an=1+(-1)n(nN*),则a1+a2+a51=.解析:利用分组求和法求解.当n为正奇数时,an+2-an=0,又a1=1,则所有奇数项都是1;当n为正偶数时,an+2-an=2,又a2=2,则所有偶数项是首项和公差都是2的等差数列,所以a1+a2+a51=(a1+a3+a51)+(a2+a4+a50)=26a1+25a2+2=676.答案:676专题3裂项相消求和(2015东北三省四市教研联合体高三模拟二,裂项相消求和,解答题,理17)等差数列an的前n项和为Sn,且满足a1+a7=-9,S9=-.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=,数列bn的前n项和
9、为Tn,求证:Tn-.(1)解:设数列an的公差为d,则由已知条件可得解得所以an=-.(2)证明:由(1)可知Sn=-.故bn=-=-,Tn=-+=-.又因为,所以Tn-.(2015辽宁大连高三双基测试,裂项相消求和,解答题,理17)数列an满足an+1=,a1=1.(1)证明:数列是等差数列;(2)求数列的前n项和Sn,并证明:+.解:(1)证明:an+1=,化简得=2+,即=2,故数列是以1为首项,2为公差的等差数列.(2)由(1)知=2n-1,所以Sn=n2.证法一:+=+=1-.证法二:(用数学归纳法)当n=1时,左边=1,右边=,不等式成立.假设当n=k时,不等式成立,即+.则当n
10、=k+1时,则+.又=1-1+=0,+,原不等式成立.(2015江西八所重点中学高三联考,裂项相消求和,解答题,理17)已知f(x)=2sinx,集合M=x|f(x)|=2,x0,把M中的元素从小到大依次排成一列,得到数列an,nN*.(1)求数列an的通项公式;(2)记bn=,记数列bn的前n项和为Tn,求证:Tn0,an=2n-1(nN*).(2)证明:bn=(nN*),bn=,Tn=b1+b2+bn+,Tn,得证.(2015银川二中高三一模,裂项相消求和,填空题,理16)已知数列an的首项a1=1,前n项和为Sn,且Sn=2Sn-1+1(n2,且nN*),数列bn是等差数列,且b1=a1
11、,b4=a1+a2+a3,设cn=,数列cn的前n项和为Tn,则T10=.解析:因为Sn=2Sn-1+1,Sn+1=2Sn+1,两式相减得an+1=2an,故数列an为首项为1、公比为2的等比数列,故an=2n-1.又b1=1,b4=1+2+4=7,故d=2,故bn=1+2(n-1)=2n-1,故cn=,故T10=+.答案:(2015东北三省三校高三二模,裂项相消求和,解答题,理17)已知数列an前n项和为Sn,满足Sn=2an-2n(nN*).(1)证明:an+2是等比数列,并求an的通项公式;(2)数列bn满足bn=log2(an+2),Tn为数列的前n项和,若Tna对正整数n都成立,求a的取值范围.解:(1)证明:由题设Sn=2an-2n(nN*),Sn-1=2an-1-2(n-1)(n2).两式相减得an=2an-1+2,即an+2=2(an-1+2).又a1+2=4,所以an+2是以4为首项,2为公比的等比数列.所以an+2=42n-1,an=42n-1-2=2n+1-2(n2).又a1=2,所以an=2n+1-2(nN*).(2)因为bn=log2(an+2)=log2(2n+1)=n+1,所以Tn=+=,所以a.6
