1、第九章解析几何9.4直线与圆、圆与圆的位置关系专题1直线与圆的位置关系(2015银川高中教学质量检测,直线与圆的位置关系,填空题,理16)直线y=x+m与圆x2+y2=16交于不同的两点M,N,|,其中O是坐标原点,则实数m的取值范围是.解析:利用等价转化、数形结合等数学思想求解.由|,得|,两边平方化简得-8,即|cosMON=16cosMON-8,cosMON-,0b0)的左、右焦点分别为F,F,双曲线C2:=1与椭圆C1在第一象限的一个交点为P,有以下四个结论:0,且三角形PFF的面积小于b2;当a=b时,PFF-PFF=;分别以PF,FF为直径作圆,这两个圆相内切;曲线C1与C2的离心
2、率互为倒数.其中正确的有()A.4个B.3个C.2个D.1个解析:对于,依题意,cosFPF0,故|PF|2+|PF|2-|FF|20,故(|PF|+|PF|)2-|FF|2-2|PF|PF|0,即|PF|PF|2b2,故SPFF=|PF|PF|sinFPFb2.故正确;对于,当a=b时,c=b,c1:=1,c2:=1,联立两式,解得x=,y=,要证PFF-PFF=,即证PFF=+PFF,即证cosPFF=cos,即证-cosPFx=sinPFF,过点P作PP垂直x轴于点P,故-cosPFx=-.sinPFF=.可以证明,故-cosPFx-sinPFF,故正确;对于,取PF的中点C2,连接C2
3、O,故以PF为直径的圆的圆心为C2,半径为C2F,而以FF为直径的圆的圆心为O,半径为FO,由三角形性质易知|C2F|-|FO|C2O|,故这两个圆不内切,故错误;对于,曲线C1的离心率e1=,曲线C2的离心率e2=.故e1e2=1,故正确.综上所述,正确的命题有3个,故选B.答案:B(2015江西八所重点中学高三联考,椭圆的几何性质,选择题,理9)已知圆C1:x2+2cx+y2=0,圆C2:x2-2cx+y2=0,椭圆C:=1,若圆C1,C2都在椭圆内,则椭圆离心率的范围是()A.B.C.D.解析:利用椭圆的几何性质求解,由椭圆上点到焦点的距离的最小值是a-c得a-cc,a2c,所以离心率0
4、b0)的离心率e=,且过点M.(1)求椭圆C的方程;(2)椭圆C长轴两端点分别为A,B,点P为椭圆上异于A,B的动点,定直线x=4与直线PA,PB分别交于M,N两点,又E(7,0),过E,M,N三点的圆是否过x轴上不同于点E的定点?若经过,求出定点坐标;若不经过,请说明理由.解:(1)=1.(2)设PA,PB的斜率分别为k1,k2,P(x0,y0),则k1k2=-,则PA:y=k1(x+2),则M(4,6k1),PB:y=k2(x-2),则N(4,2k2).又kEM=-=-2k1,kEN=-,kEMkEN=-1.设圆过定点F(m,0),则=-1,则m=1或m=7(舍),故过点E,M,N三点的圆
5、是以MN为直径的圆,过定点F(1,0).(2015辽宁东北育才高三第五次模拟,椭圆的几何性质,填空题,理15)已知A,B是椭圆=1(ab0)长轴的两个端点,M,N是椭圆上关于x轴对称的两点,直线AM,BN的斜率分别为k1,k2,且k1k20.若|k1|+|k2|的最小值为1,则椭圆的离心率为.解析:令A(-a,0),B(a,0),设M(acos,bsin),N(acos,-bsin),故k1=,k2=,故|k1|+|k2|=;又|k1|+|k2|的最小值为1,故=1,故e=.答案:专题3直线与椭圆的位置关系(2015东北三省三校高三第一次联考,直线与椭圆的位置关系,解答题,理20)已知椭圆=1
6、(ab0)的左、右焦点为F1,F2,点A(2,)在椭圆上,且AF1与x轴垂直.(1)求椭圆方程;(2)过A作直线与椭圆交于另外一点B,求AOB面积的最大值.解:(1)由已知得c=2,a=2,b2=4,故椭圆方程为=1.(2)当AB斜率不存在时,SAOB=22=2;当AB斜率存在时,设其方程为y-=k(x-2),联立消去y得(2k2+1)x2+4(-2k)kx+2(-2k)2-8=0,由已知得=16(-2k)2k2-8(2k2+1)(-2k)2-4=8(2k+)20,即k-.则|AB|=.又点O到直线AB的距离d=,SABC=|AB|d=.k,2k2+12,2k2+11,2)(2,+),2-2,
7、0)(0,2),此时SAOB(0,2.综上所述,当AB斜率不存在或斜率为零时,AOB面积取最大值为2.(2015银川一中高三二模,直线与椭圆的位置关系,解答题,理20)设直线l:y=k(x+1)与椭圆x2+3y2=a2(a0)相交于A,B两个不同的点,与x轴相交于点C,记O为坐标原点.(1)证明:a2;(2)若=2,求OAB的面积取得最大值时的椭圆方程.解:(1)证明:依题意,直线l显然不平行于坐标轴,故y=k(x+1)可化为x=y-1.将x=y-1代入x2+3y2=a2,消去x得y2-y+1-a2=0.由直线l与椭圆相交于两个不同的点,得=-4(1-a2)0,整理得a23,即a2.(2)设A
8、(x1,y1),B(x2,y2),由得y1+y2=.因为=2,得y1=-2y2,代入上式得y2=.于是,OAB的面积S=|OC|y1-y2|=|y2|=.其中,上式取等号的条件是3k2=1,即k=.由y2=,可得y2=.将k=,y2=-及k=-,y2=这两组值分别代入,均可解出a2=5.所以OAB的面积取得最大值的椭圆方程是x2+3y2=5.(2015银川二中高三一模,直线与椭圆的位置关系,解答题,理20)如图,点P(0,-1)是椭圆C1:=1(ab0)的一个顶点,C1的长轴是圆C2:x2+y2=4的直径,l1,l2是过点P且互相垂直的两条直线,其中l1交圆C2于A,B两点,l1交椭圆C1于另
9、一点D.(1)求椭圆C1的方程;(2)求ABD面积的最大值及取得最大值时直线l1的方程.解:(1)由题意得椭圆C1的方程为+y2=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0).由题意知直线l1的斜率存在,不妨设其为k,则直线l1的方程为y=kx-1.则点O到直线l1的距离为d=,又圆C2:x2+y2=4,|AB|=2=2.又l1l2,直线l2的方程为x+ky+k=0.联立消去y整理得(4+k2)x2+8kx=0,故x0=-,代入l2的方程得y0=.|PD|=.设ABD的面积为S,则S=|AB|PD|=.S=.当且仅当,即k=时,等号成立.当k=时,ABD的面积取得最大值.此
10、时直线l1的方程为y=x-1.9.6双曲线专题2双曲线的几何性质(2015江西重点中学盟校高三第一次联考,双曲线的几何性质,选择题,理7)已知F1,F2分别是双曲线=1(a0,b0)的左、右焦点,过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M,若点M在以线段F1F2为直径的圆外,则双曲线离心率的取值范围是()A.(1,)B.(,+)C.(,2)D.(2,+)解析:如图所示,过点F2(c,0)且与y=x平行的直线方程为y=(x-c),与另一条渐近线y=-x联立得x=,y=-,即点M,所以|OM|=,因为点M在以线段F1F2为直径的圆外,所以c,得2,所以双曲线离心率e=2,故选
11、D.答案:D(2015辽宁大连高三双基测试,双曲线的几何性质,选择题,理11)已知离心率e=的双曲线C:=1(ab,b0)右焦点为F,O为坐标原点,以OF为直径的圆与双曲线C的一条渐近线相交于O,A两点,若AOF的面积为4,则a的值为()A.2B.3C.4D.5解析:依题意得OAAF,焦点F到渐近线的距离AF=b,SOAF=ab=4,又e=,因此a=2b,2b2=8,b=2,a=4,故选C.答案:C(2015东北三省四市教研联合体高三模拟二,双曲线的几何性质,选择题,理11)已知双曲线=1(a0,b0)与函数y=(x0)的图象交于点P.若函数y=在点P处的切线过双曲线左焦点F(-1,0),则双
12、曲线的离心率是()A.B.C.D.解析:利用导数求出点P的坐标,利用双曲线的基本量建立方程组求解.设P(x0,),则函数y=在点P处的切线方程为y-(x-x0),代入点F(-1,0),解得x0=1,所以P(1,1)在双曲线上,则=1,又c2=a2+b2=1,解得a=(舍去),所以离心率e=,故选A.答案:A(2015银川高中教学质量检测,双曲线的几何性质,填空题,理13)已知双曲线=1(a,b0)的一条渐近线方程为2x+3y=0,则双曲线的离心率是.解析:由题意可得,则离心率e=.答案:(2015辽宁东北育才高三第五次模拟,双曲线的几何性质,选择题,理8)已知双曲线C:-y2=1的左、右焦点分
13、别为F1,F2,过点F2的直线与双曲线C的右支相交于P,Q两点,则点P的横坐标为2,则PF1Q的周长为()A.4B.C.5D.解析:依题意,a=,b=1,故c=2,故F1(-2,0),F2(2,0),由于点P的横坐标为2,可知PQx轴,将x=2代入-y2=1中,解得y=,故|PF2|=|QF2|=,故|PF1|=|QF1|=,故PF1Q的周长为,故选D.答案:D(2015东北三省三校高三二模,双曲线的几何性质,选择题,理11)已知双曲线=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F1F2为直径的圆被直线=1截得的弦长为a,则双曲线的离心率为()A.3B.2C.D.解析:依题意,原点到直线
14、=1的距离等于,于是有=c2,即=c2,2c4-5a2c2+2a4=0,2e4-5e2+2=0,(e2-2)(2e2-1)=0(e1),解得e=.所以双曲线的离心率是,故选D.答案:D(2015东北三省三校高三第一次联考,双曲线的几何性质,选择题,理8)设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,焦点F到一条渐近线的距离为d,若|FB|d,则双曲线离心率的取值范围是()A.(1,B.,+)C.(1,3D.,+)解析:不妨设F(c,0),B(0,b),则|FB|=.设双曲线的渐近线方程为bxay=0,则点F(c,0)到渐近线的距离d=b,依题意得b,故2b2+a23b2,则1,故e=,又e1,所
15、以e(1,故选A.答案:A(2015银川一中高三二模,双曲线的几何性质,选择题,理12)设双曲线=1(a0,b0)的右焦点为F,过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A,B两点,且与双曲线在第一象限的交点为P,设O为坐标原点,若=+(,R),=,则该双曲线的离心率为()A.B.C.D.解析:依题意得P,A,B;由=+所以(+)2-(-)2=1-,4=1-,c=2b,a=b,所以双曲线的离心率是e=,故选A.答案:A9.7抛物线专题1抛物线的定义与标准方程(2015东北三省三校高三第一次联考,抛物线的定义与标准方程,选择题,理3)点M(1,1)到抛物线y=ax2准线的距离为2,则a的值为()A.
16、B.-C.或-D.-解析:抛物线y=ax2的准线为y=-,依题意得=2,解得a=或a=-,故选C.答案:C(2015江西八所重点中学高三联考,抛物线的定义与标准方程,选择题,理12)在平面直角坐标系中,点P是直线l:x=-上一动点,定点F,点Q为PF的中点,动点M满足=0,=(R),过点M作圆(x-3)2+y2=2的切线,切点分别为S,T,则的最小值是()A.B.C.D.-解析:结合图形求解,由题意可得点M到直线l:x=-的距离等于到点F的距离,则点M的轨迹是以点F为焦点,直线l:x=-为准线的抛物线,方程为y2=2x.设M(x,y),则点M到圆(x-3)2+y2=2的圆心C(3,0)的距离M
17、C2=(x-3)2+y2=x2-4x+95,当x=2时取等号,=|cosSMT=|2cos2CMS=|2(1-2sin2CMS)=(|2-2)=(|2-2)=|2+-65+-6=,当且仅当|MC|2=5时取等号,故选A.答案:A(2015银川二中高三一模,抛物线的定义与标准方程,选择题,理10)设F是抛物线C:y2=12x的焦点,A,B,C为抛物线上不同的三点,若=0,则|FA|+|FB|+|FC|=()A.3B.9C.12D.18解析:依题意,F(3,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则=(x1-3,y1),=(x2-3,y2),=(x3-3,y3),依题意得x1
18、+x2+x3=9,则由抛物线定义可知|FA|+|FB|+|FC|=x1+3+x2+3+x3+3=18,故选D.答案:D(2015东北三省四市教研联合体高三模拟一,抛物线的定义与标准方程,选择题,理8)已知抛物线y2=2px(p0)与椭圆=1(ab0)有相同的焦点F,点A是两曲线的一个公共点,且AFx轴,则椭圆的离心率为()A.-1B.-1C.D.解析:依题意,设椭圆的左焦点为F,因为右焦点F,故F.因为A是两曲线的公共点,且AFx轴,不妨设点A在第一象限,故A,由椭圆定义可知2a=|AF|+|AF|=(+1)p.又2c=|FF|=p,故椭圆的离心率e=-1,故选B.答案:B专题2抛物线的几何性
19、质(2015银川高中教学质量检测,抛物线的几何性质,选择题,理10)点M(1,1)到抛物线y=ax2的准线的距离为2,则a=()A.或-B.-C.D.4或-12解析:将抛物线方程化为标准方程为x2=y,准线方程为y=-,则=2,解得a=或-,故选A.答案:A(2015银川一中高三二模,抛物线的几何性质,填空题,理15)在平面直角坐标系xOy中,点A,B在抛物线y2=4x上,满足=-4,F是抛物线的焦点,则SOFASOFB=.解析:依题意,设点A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1x2+y1y2=+y1y2=-4,解得y1y2=-8.SOFASOFB=|y1y2|=2.答案:2专题3直线与
20、抛物线的位置关系(2015辽宁大连高三双基测试,直线与抛物线的位置关系,解答题,理20)已知过点(2,0)的直线l1交抛物线C:y2=2px于A,B两点,直线l2:x=-2交x轴于点Q.(1)设直线QA,QB的斜率分别为k1,k2,求k1+k2的值;(2)点P为抛物线C上异于A,B的任意一点,直线PA,PB交直线l2于M,N两点,=2,求抛物线C的方程.解:(1)设直线l1的方程为x=my+2,点A(x1,y1),B(x2,y2).联立方程组得y2-2pmy-4p=0,y1+y2=2pm,y1y2=-4p.k1+k2=0.(2)设点P(x0,y0),直线PA:y-y1=(x-x1),当x=-2
21、时,yM=,同理,yN=.因为=2,4+yNyM=2,=-2,=-2,=-2,解得p=,抛物线C的方程为y2=x.(2015江西重点中学盟校高三第一次联考,直线与抛物线的位置关系,解答题,理20)已知抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F,过F的直线l交抛物线C于点A,B,当直线l的倾斜角是45时,AB的中垂线交y轴于点Q(0,5).(1)求p的值;(2)以AB为直径的圆交x轴于点M,N,记劣弧的长度为S,当直线l绕F旋转时,求的最大值.解:(1)F,当l的倾斜角为45时,l的方程为y=x+,设A(x1,y1),B(x2,y2),得x2-2px-p2=0.x1+x2=2p,y1+y2=x1+
22、x2+p=3p,得AB的中点为D.AB的中垂线为y-p=-(x-p).令x=0,得y=p=5,p=2.(2)设l的方程为y=kx+1,代入x2=4y得x2-4kx-4=0.|AB|=y1+y2+2=k(x1+x2)+4=4k2+4,AB的中点为D(2k,2k2+1).令MDN=2a,S=2a|AB|=a|AB|,=a.D到x轴的距离|DE|=2k2+1,cos=1-.当k2=0时,cos取最小值,的最大值为,故的最大值为.(2015东北三省四市教研联合体高三模拟二,直线与抛物线的位置关系,选择题,理8)已知直线y=2(x-1)与抛物线C:y2=4x交于A,B两点,点M(-1,m),若=0,则m
23、=()A.B.C.D.0解析:求出点A,B的坐标,利用数量积的坐标运算建立方程求解,联立直线y=2(x-1)和抛物线C:y2=4x,解得A(2,2),B.所以=(3,2-m)+(2-m)(-m)=0,化简得m2-m+=0.=0,m=,故选B.答案:B(2015辽宁重点中学协作体高考模拟,直线与抛物线的位置关系,选择题,理11)抛物线y2=4x,直线l经过该抛物线的焦点F与抛物线交于A,B两点(A点在第一象限),且=4,则三角形AOB(O为坐标原点)的面积为()A.B.C.D.解析:依题意,设直线AB:x=my+1,点A(x1,y1),B(x2,y2),y10,则由消去x得y2-4my-4=0,
24、y1+y2=4m,y1y2=-4.由=4得y1-y2=-4y2,y1=-3y20,联立解得y2=-,所以y1-y2=-4y2=,因此AOB的面积等于|OF|y1-y2|=,故选C.答案:C(2015东北三省三校高三二模,直线与抛物线的位置关系,解答题,理20)设F是抛物线C:y2=4x的焦点,P是C上一点,斜率为-1的直线l交C于不同两点A,B(l不过P点),且PAB重心的纵坐标为-.(1)记直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,求k1+k2的值;(2)求的最大值.解:(1)设直线l的方程为y=-x+b,将其代入C:y2=4x得x2-2(b+2)x+b2=0,由题可知=16(b+1)0,令A(
25、x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2(b+2),x1x2=b2.y1+y2=-(x1+x2)+2b=-2(b+2)+2b=-4.因为PAB重心的纵坐标为-,所以y1+y2+yP=-2,所以yP=2,xP=1.k1+k2=,(y1-2)(x2-1)+(y2-2)(x1-1)=-x1+(b-2)(x2-1)+-x2+(b-2)(x1-1)=-2x1x2+(b-1)(x1+x2)-2(b-2)=-2b2+2(b-1)(b+2)-2(b-2)=0,所以k1+k2=0.(2),由=16(b+1)0得b-1,又l不过P点,则b3.令t=b+3,则t2且t6,则=.当且仅当t=,即t=2,b=2
26、-3时,取得最大值.(2015辽宁东北育才高三第五次模拟,直线与抛物线的位置关系,解答题,理21)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有|FA|=|FD|,当点A的横坐标为3时,ADF为正三角形.(1)求C的方程.(2)若直线l1l,且l1和C有且只有一个公共点E,证明直线AE过定点,并求出定点坐标;ABE的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.解:(1)由题意知F,设D(t,0)(t0),则FD的中点为,因为|FA|=|FD|,由抛物线的定义知3+,解得t=3+p或t=-3(
27、舍去).由=3,解得p=2.所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)证明:由(1)知F(1,0),设A(x0,y0)(x0y00),D(xD,0)(xD0),因为|FA|=|FD|,则|xD-1|=x0+1,由xD0得xD=x0+2,故D(x0+2,0),故直线AB的斜率为kAB=-,因为直线l1和直线AB平行,设直线l1的方程为y=-x+b,代入抛物线方程得y2+y-=0,由题意可知=0,得b=-.设E(xE,yE),则yE=-,xE=.当4时,kAE=-.所以直线AE的方程为y-y0=(x-x0),由=4x0,整理可得y=(x-1),所以直线AE恒过点F(1,0).当=4时,直线AE的方程为x=1,过点F(1,0),所以直线AE过定点F(1,0).(2)由(1)知,直线AE过焦点F(1,0),所以|AE|=|AF|+|FE|=(x0+1)+=x0+2,设直线AE的方程为x=my+1,因为点A(x0,y0)在直线AE上,故m=,设B(x1,y1),直线AB的方程为y-y0=-(x-x0),由于y00,可得x=-y+2+x0,代入抛物线方程得y2+y-8-4x0=0,所以y0+y1=-,y1=-y0-,x1=+x0+4,所以点B到直线AE的距离为d=4,则ABE的面积S=416,当且仅当x0=即x0=1时等号成立.所以ABE的面积的最小值为16.14
