1、第二章函数2.1函数及其表示专题1函数的定义域(2015甘肃省民乐一中高三第一次诊断考试,函数的定义域,选择题,理2)函数f(x)=3x21-x+lg(3x+1)的定义域是()A.-13,+B.-13,1C.-13,13D.-,-13解析:由题意1-x0且3x+10,解得x-13,1,故选B.答案:B专题4分段函数(2015甘肃省民乐一中高三第一次诊断考试,分段函数,选择题,理6)设函数f(x)=21-x,x1,1-log2x,x1,则满足f(x)2的x的取值范围是()A.-1,2B.0,2C.0,+)D.1,+)解析:当x1时,21-x2的可变形为1-x1,x0,0x1.当x1时,1-log
2、2x2的可变形为x12,x1,故答案为0,+).故选C.答案:C2.2函数的单调性与最值专题2函数的最值(2015甘肃省民乐一中高三第一次诊断考试,函数的最值,解答题,理19)已知函数y=-x2+ax-a4+12在区间0,1上的最大值是2,求实数a的值.解:f(x)=-x-a22+a24-a4+12,对称轴x=a2.(1)a20,即a0时,f(x)在0,1上单调递减,f(x)max=f(0)=-a4+12=2.此时可得a=-6.(2)0a21,即0a2时,f(x)max=fa2=a24-a4+12=2.此时可得a=-2或a=3,与0a2矛盾,舍去.(3)a21即a2时,f(x)在0,1上单调递
3、增,f(x)max=f(1)=-1+a-a4+12=2.此时可得a=103.综上所述:a=-6或a=103.(2015甘肃省民乐一中高三第一次诊断考试,函数的最值,选择题,理7)函数f(x)=|log3x|在区间a,b上的值域为0,1,则b-a的最小值为()A.2B.1C.13D.23解析:函数f(x)=|log3x|在区间a,b上的值域为0,1,x=1时,f(x)=0,x=3或13时,f(x)=1,故1a,b,3和13至少有一个在区间a,b上,b-a的最小值为1-13=23,故选D.答案:D专题3单调性的应用(2015甘肃省民乐一中高三第一次诊断考试,单调性的应用,选择题,理9)设f(x)是
4、定义在R上的偶函数,且在(-,0上是增函数,a=f(log47),b=f(log123),c=f(22),则a,b,c的大小关系是()A.cabB.cbaC.bcaD.ab1,log123=-log23-log27-1,2|log23|log47|.又f(x)在(-,0上是增函数且为偶函数,f(x)在0,+)上是减函数.根据函数图象容易判断出cba.故选B.答案:B2.3函数的奇偶性与周期性专题2奇偶性的应用(2015河南省洛阳市高考数学一模,奇偶性的应用,选择题,理6)已知f(x)是定义域在R上的偶函数,且f(x)在(-,0上单调递增,设a=fsin35,b=fcos35,c=f-35,则a
5、,b,c的大小关系是()A.abcB.bacC.cabD.acb解析:f(x)是定义域在R上的偶函数,且f(x)在(-,0上单调递增,f(x)在0,+)上单调递减,又tan35-1,12sin351,-12cos350,所以tan35-sin35cos35,则ftan35f-sin35fcos35,即ftan35fsin35fcos35,故cab,故选:C.答案:C(2015甘肃省民乐一中高三第一次诊断考试,奇偶性的应用,解答题,理20)函数f(x)=ax+b1+x2是定义在(-1,1)上的奇函数,且f12=25.(1)确定函数f(x)的解析式;(2)用定义法证明函数f(x)在(-1,1)上是
6、增函数;(3)解不等式f(x-1)+f(x)0.(1)解:由已知f(x)=ax+b1+x2是定义在f(-1,1)上的奇函数,f(0)=0,即0+b1+0=0,b=0.又f12=25,即12a1+122=25,a=1.f(x)=x1+x2.(2)证明:对于任意的x1,x2(-1,1),且x1x2,则f(x1)-f(x2)=x11+x12-x21+x22=x1(1+x22)-x2(1+x12)(1+x12)(1+x22)=(x1-x2)+x1x2(x2-x1)(1+x12)(1+x22)=(x1-x2)(1-x1x2)(1+x12)(1+x22).-1x1x21,x1-x20,x1x20.f(x1
7、)-f(x2)0,即f(x1)f(x2).函数f(x)=x1+x2在(-1,1)上是增函数.(3)解:由已知及(2)知,f(x)是奇函数且在(-1,1)上递增,f(x-1)+f(x)0f(x-1)-f(x)f(x-1)f(-x)-1x-11,-1x1,x-1-x0x2,-1x1,x120x12.不等式的解集为0,12.(2015甘肃省兰州市七里河区一中数学模拟,奇偶性的应用,填空题,理16)定义在R上的奇函数f(x)的导函数满足f(x)f(x),且f(x)f(x+3)=-1,若f(5)=-e,则不等式f(x)ex的解集为.解析:f(x)f(x+3)=-1,f(x+3)=-1f(x),f(x+6
8、)=-1f(x+3)=f(x),即f(x)的周期为6,f(5)=-e,f(5)=f(-1)=-e,定义在R上的奇函数f(x),f(1)=e,令g(x)=f(x)ex,g(x)=f(x)-f(x)ex,f(x)f(x),g(x)=f(x)-f(x)ex0.即g(x)单调递减,g(1)=f(1)e=1,g(x)1,不等式f(x)bcB.acbC.cabD.cba解析:0a=2-1320=1,b=log213log22=1,cab.故选C.答案:C专题3对数函数的性质及应用(2015甘肃省民乐一中高三第一次诊断考试,对数函数的性质及应用,填空题,理15)若函数y=log2a(x2-ax+2)在区间(
9、-,1上为减函数,则a的取值范围是.解析:若0a1,则t=x2-ax+2在区间(-,1上为减函数,且t0.a21,1-a+20.解得2a0,解得m=-1.故答案为-1.答案:-12.7函数的图象专题1函数图象的辨识(2015甘肃省民乐一中高三第一次诊断考试,函数图象的辨识,选择题,理10)函数y=2x-x2的图象大致是()解析:因为当x=2或4时,2x-x2=0,所以排除B,C;当x=-2时,2x-x2=14-40,故排除D,所以选A.答案:A(2015甘肃省河西三校普通高中高三第一次联考,函数图象的辨识,选择题,理8)函数f(x)=sinxx2+1的图象大致为()解析:此函数是一个奇函数,故
10、可排除C,D两个选项;又当自变量从原点左侧趋近于原点时,函数值为负,图象在x轴下方,当自变量从原点右侧趋近于原点时,函数值为正,图象在x轴上方,故可排除B,所以A选项符合,故选A.答案:A专题3函数图象的应用(2015甘肃省民乐一中高三第一次诊断考试,函数图象的应用,选择题,理12)函数y1=1x-1的图象与函数y2=2sin x(-2x4)的图象所有交点的横坐标之和等于()A.2B.4C.6D.8解析:函数y1=-1x-1,y2=2sin x的图象有公共的对称中心(1,0),作出两个函数的图象如图.当1x4时,y10,而函数y2在(1,4)上出现1.5个周期的图象,在1,32和52,72上是
11、减函数;在32,52和72,4上是增函数.函数y1在(1,4)上函数值为负数,且与y2的图象有四个交点E,F,G,H.相应地,y1在(-2,1)上函数值为正数,且与y2的图象有四个交点A,B,C,D且:xA+xH=xB+xG=xC+xF=xD+xE=2,故所求的横坐标之和为8.故选D.答案:D2.8函数与方程专题1函数零点所在区间的判断(2015甘肃省民乐一中高三第一次诊断考试,函数零点所在区间的判断,选择题,理5)函数f(x)=log2x-1x的一个零点落在下列哪个区间()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)解析:f(1)=-10,f(1)f(2)0.f(x)=log2x
12、-1x的一个零点落在(1,2)上.故选B.答案:B专题3函数零点的综合应用(2015甘肃省白银市会宁二中高考数学模拟,函数零点的综合应用,选择题,理12)已知定义在R上的函数y=f(x)对任意的x都满足f(x+1)=-f(x),当-1x1时,f(x)=x3,若函数g(x)=f(x)-loga|x|至少有6个零点,则a的取值范围是()A.0,15(5,+)B.0,155,+)C.17,15(5,7)D.17,155,7)解析:函数g(x)=f(x)-loga|x|的零点个数,即函数y=f(x)与y=loga|x|的交点的个数;由f(x+1)=-f(x),可得f(x+2)=f(x+1+1)=-f(
13、x+1)=f(x),故函数f(x)是周期为2的周期函数,又由当-1x0时,y=logax,则当x1),同理可知0a1时的图象,结合图象分析可得:要使函数y=f(x)与y=loga|x|至少有6个交点,则loga55,或01,4-a2x+2,x1是R上的单调递增函数,则实数a的取值范围为()A.(1,+)B.(1,8)C.(4,8)D.4,8)解析:当x1时,f(x)=4-a2x+2为增函数,4-a20a1时,f(x)=ax为增函数,a1.同时,当x=1时,函数对应于一次函数的取值要小于指数函数的取值.4-a21+2a1=aa4.综上所述,4a0的零点个数为()A.3B.2C.1D.0解析:当x0时,令x2+2x-3=0,解得x=-3;当x0时,令-2+ln x=0,解得x=100,所以已知函数有两个零点,故选B.答案:B11
