1、第三章功和能三、计算题1、解：如图3-3所示，小车受到四个力的作用，分别为重力，拉力，斜面对它的支持力和摩擦力，由于小车在斜面上作匀速运动，在xOy坐标系下，有注意到摩擦力，则拉力所求拉力做功为另外，也符合题意，则拉力做功为2、解：考察质量为的水被抽水机抽高米（并设出口水速为）的过程，应用动能定理，有因重力是保守力，其做功为所以抽水机做功为为使抽水机做功最少，可设抽水机出水口水速很低（），此时并且抽水机的进水口置于水面（如此达致最小）。（1） 如图3-4所示，在地面上取原点并取图3-4竖直向下为轴，在处取薄层水为研究对象，这部分水的体积为，其中为池塘地面积。设水的密度为，则这薄层水的质量为将其
2、抽出池塘，抽水机至少需做功所以，把池塘的水全部抽完，抽水机至少做功（2）设所求时间为，因抽水机的电功率以效率转化为抽水功率，故所求时间3、取铁钉进入木板的方向为x轴，依题设，当铁钉进入木板的深度为时，受到木板对铁钉的阻力考察第一次击钉的过程，在此过程中，设质量为的铁钉从锤子获得的速度为，钉子从木板表面（）进入到深度为的位置，对铁钉应用动能定理，有即（3-7）再应用在第二次击打的过程，有即（3-8）联立（3-7）和（3-8），可解所求第二次击打，能将铁钉击入4、机车受到四个力的作用，分别为牵引力，重力，路轨对它的支持力和摩擦力，由动能定理，有机车的牵引力做功所以机车的平均功率5、对斜面上的物体进
3、行受力分析，如图3-5所示，有所以斜面对物体的摩擦力对于高，长的斜面，有（1）考察物体自斜面顶端滑至斜面底端的过程，对物体使用动能定理，有图3-5而和所以物体滑到斜面底端的速率为（2）考察物体自斜面底端沿水平面滑行至静止的过程，由动能定理，有而所以所求物体在水平面上滑行的最大距离为6、一般地，设炮弹以仰角和初速发射，则依据运动叠加原理，可将炮弹的运动视为水平方向作的匀速直线运动与竖直方向作初速为的上抛运动的合成。于是，水平方向分运动的重力势能恒为0，以炮弹和地球为系统，炮弹竖直方向分运动的过程机械能守恒，考察炮弹从发射至到达最高点的过程，有当炮弹处于最高点时，它的重力势能为各分运动势能之和，即
4、（1）当仰角时，炮弹到达最高点的势能为（2）当仰角时，炮弹到达最高点的势能为7、解：（1）在光滑球面的条件下，如图3-6（a）所示，物体在球面上滑行时，受到两个力的作用，分别为重力，球面对物体的支持力，且有（3-9），且，当物体恰好离开球面时，球面对物体的支持力，代入上式，得（3-10）以物体，球面和地球为系统，考察物体从球面图3-6（a）顶端滑至恰好离开球面的过程，该系统机械能守恒，即（3-11）而与的关系为（3-12）由以上三式，可解出（2）在物体与球面之间存在摩擦力的条件下，如图3-6（b）所示，物体在球面上滑行时，受到三个力的作用，分别为重力，球面对物体的支持力和摩擦力，且有（3-13
5、）其中。当物体恰好离开球面时，球面对物体的支持力，代入上式，得（3-14）考察物体从球面顶端滑至恰好离开球面的过程如图3-6（b），对物体应用动能定理，有即（3-15）而与的关系为（3-16）比较（3-10）（3-12）和（3-14）（3-16），设若，即，注意到，可知，由（3-10）和（3-13），可得，表明此时物体还压在球面上。此时继续增大，则由（3-16）可知，也增大，且也增大，由（3-15）知也增大，再由（3-13）知减小。可知当适当地将增大到某一值时，则为零，此时物体恰好离开物体。所以。8、考察弹簧从水平放置且为原长运动至弹簧通过铅垂位置的过程，则由弹簧，小球和地球组成的系统机械能守
6、恒，有则小球的速率为9、解：（1）以摆球，细绳和地球为系统，该系统的机械能为其中所以系统的机械能为（2）在单摆从位置摆到最低位置（设此时摆球的速率为）的过程中，系统机械能守恒，则有可解出（3）在单摆从位置摆到摆线刚好达到水平位置（设此时摆球的速率为）的过程中，系统机械能守恒，一般有为使摆球的初速率最小，可令单摆的摆线刚好达到水平位置时，摆球的速率为0，即所求摆球的初速率最低为，（4）设摆球在最高位置时的速率为，并设摆线对摆球的拉力为，则有为使摆球的初速率最小，可令，即在单摆从位置摆到小球到达最高位置（设此时摆球的速率为）的过程中，系统机械能守恒，有联立前两式，可得所求初始时刻摆球应具有地最小速
7、率是10、取弹簧，硬币和地球组成的系统，在弹簧从被压缩到硬币被弹簧弹到最高处的过程中，系统机械能守恒，有则所求高度为11、解：如图3-7所示，依题设，有则对小车进行受力分析，有所以路面对车的摩擦力为图3-7考察小车自静止爬坡的过程，由动能定理，有其中由以上三式，可得汽车牵引力所作的功12、解：如图3-7所示，依题设，有则对小车进行受力分析，有其中路面对车的摩擦力为由以上两式，可解出马拉雪橇的牵引力为所求马拉雪撬的功率13、解：重力是保守力，在小球从P至Q的过程中，重力做功为14、解：如图3-8所示，有和对物体进行受力分析，它受到4个力的作用，分别为重力，机械臂对它的推力，斜面对它的支持力和摩擦力，因物体在斜面上匀速运动，有其中摩擦力由以上两式，可解出机械臂的推力当机械臂把物体从斜面底推到顶部，推力做功图3-8又若推力与斜面的夹角时，则当机械臂把物体从斜面底推到顶部，推力做功15、解：如图3-9所示，物体受到4个力的作用，分别为重力，机械臂的推力，地面对它的支持力和摩擦力，设物体的加速度为，则有其中摩擦力可得和图3-9上式两边同时乘以物体的速率，得即依题设，则可知所求物体与地面的摩擦系数10
