1、高中数学教案 第五章 平面向量的数量积及运算律（2）（第10课时） 课 题：平面向量的数量积及运算律（2）教学目的：1掌握平面向量数量积运算规律；2能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题 教学重点：平面向量数量积及运算规律教学难点：平面向量数量积的应用授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪内容分析： 启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质教学过程：一、复习引入：1两个非零向量夹角的概念已知非零
2、向量与，作，则（）叫与的夹角C2平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量|a|b|cosq叫与的数量积，记作ab，即有ab = |a|b|cosq，（）并规定0与任何向量的数量积为0 3“投影”的概念：作图 定义：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影投影也是一个数量，不是向量；当q为锐角时投影为正值；当q为钝角时投影为负值；当q为直角时投影为0；当q = 0时投影为 |b|；当q = 180时投影为 -|b|4向量的数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosq的乘积5两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位
3、向量1ea = ae =|a|cosq；2ab ab = 03当a与b同向时，ab = |a|b|；当a与b反向时，ab = -|a|b| 特别的aa = |a|2或4cosq = ；5|ab| |a|b|7判断下列各题正确与否：1若a = 0，则对任一向量b，有ab = 0 ( )2若a 0，则对任一非零向量b，有ab 0 ( )3若a 0，ab = 0，则b = 0 ( )4若ab = 0，则a 、b至少有一个为零 ( )5若a 0，ab = ac，则b = c ( )6若ab = ac，则b = c当且仅当a 0时成立 ( )7对任意向量a、b、c，有(ab)c a(bc) ( )8对任
4、意向量a，有a2 = |a|2 ( )二、讲解新课：平面向量数量积的运算律1交换律：a b = b a证：设a，b夹角为q，则a b = |a|b|cosq，b a = |b|a|cosq a b = b a2数乘结合律：(a)b =(ab) = a(b)证：若 0，(a)b =|a|b|cosq， (ab) =|a|b|cosq，a(b) =|a|b|cosq，若 0，(a)b =|a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq，(ab) =|a|b|cosq，a(b) =|a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq3分配律
5、：(a + b)c = ac + bc 在平面内取一点O，作= a, = b，= c， a + b （即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和， 即 |a + b| cosq = |a| cosq1 + |b| cosq2 | c | |a + b| cosq =|c| |a| cosq1 + |c| |b| cosq2 c(a + b) = ca + cb 即：(a + b)c = ac + bc说明：（1）一般地，()（）（2），0（3）有如下常用性质：，（）（）()三、讲解范例：例1 已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a - 5b垂直，a - 4b与7a - 2b垂直，求
6、a与b的夹角解：由(a + 3b)(7a - 5b) = 0 7a2 + 16ab -15b2 = 0 (a - 4b)(7a - 2b) = 0 7a2 - 30ab + 8b2 = 0 两式相减：2ab = b2代入或得：a2 = b2设a、b的夹角为q，则cosq = q = 60例2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和解：如图：ABCD中，=|2=而= |2=|2 + |2 = 2= 例3 四边形ABCD中，且，试问四边形ABCD是什么图形?分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量解：四边形ABCD是矩形，这是因为：一方面：0，（），
7、()（）即由于，同理有由可得，且即四边形ABCD两组对边分别相等四边形ABCD是平行四边形另一方面，由，有（），而由平行四边形ABCD可得，代入上式得(2)即，也即ABBC综上所述，四边形ABCD是矩形评述：(1)在四边形中，是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即0，应注意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系四、课堂练习：1下列叙述不正确的是（ ）A向量的数量积满足交换律 B向量的数量积满足分配律C向量的数量积满足结合律 Dab是一个实数2已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为，则(a+2b)(a-3b)等于（ ）A72
8、 B-72 C36 D-363|a|=3,|b|=4,向量a+b与a-b的位置关系为（ ）A平行 B垂直 C夹角为 D不平行也不垂直4已知|a|=3,|b|=4,且a与b的夹角为150，则(a+b) 5已知|a|=2,|b|=5,ab=-3,则|a+b|=_,|a-b|= 6设|a|=3,|b|=5,且a+b与ab垂直，则 参考答案：1C 2B 3B 4 +2 5 6五、小结 通过本节学习，要求大家掌握平面向量数量积的运算规律，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，能利用数量积的5个重要性质解决相关问题六、课后作业1已知|a|=1,|b|=,且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角是（ ）A60 B3
9、0 C135 D2已知|a|=2,|b|=1,a与b之间的夹角为，那么向量m=a-4b的模为（ ）A2 B2 C6 D123已知a、b是非零向量，则|a|=|b|是(a+b)与(a-b)垂直的（ ）A充分但不必要条件 B必要但不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4已知向量a、b的夹角为，|a|=2,|b|=1,则|a+b|a-b|= 5已知a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,其中i、j是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，那么ab= 6已知ab、c与a、b的夹角均为60，且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则(a+2b-c)_7已知|a|=1,|b|=,(1)若ab,求
10、ab;(2)若a、b的夹角为，求|a+b|；(3)若a-b与a垂直，求a与b的夹角8设m、n是两个单位向量，其夹角为，求向量a=2m+n与b=2n-3m的夹角9对于两个非零向量a、b，求使|a+tb|最小时的t值，并求此时b与a+tb的夹角参考答案：1D 2B 3C 4 5 63 6 117(1)- (2) (3)45 8 120 9 90七、板书设计（略）八、课后记及备用资料：1常用数量积运算公式在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方和(差)公式在解题中的应用较为广泛即(ab)aabb，（ab）aabb上述两公式以及(ab)(ab)ab这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用2应用举例例1已知a，b，ab，求ab，ab解：ab（ab）aabb（）ab，（ab）（ab）a2abb22（3）35，ab例2已知a8，b10，ab16，求a与b的夹角(精确到)解：（ab）（ab）a2abba2abb， 第 6页（共6页）
