1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 1 2 命题及其关系、充分条件与必要条件 知识梳理 1命题 2四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系 (2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于 逆否命题 ，原命题的否命题等价于 逆命题 ，在四种形式的命题中真命题的个数只能是 0,2,4. (3)写一个命题的其他三种命题时，需注意： 对于不是 “ 若 p，则 q” 形式的命题，需先改写； 当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前提； 对于有多个并列条件的命题，应把其中一个作为大前提 =【 ;精品教育资源文库 】 = 3充要条件 (1)集合与充要条件 (2)充分条件与必要条件的两个特征 对称性
2、：若 p 是 q 的充分条件，则 q 是 p 的必要条件，即 “ p?q” ?“ q?p” 传递性：若 p 是 q 的充分 (必要 )条件， q 是 r 的充分 (必要 )条件，则 p 是 r 的充分 (必要 )条件，即 “ p?q 且 q?r” ?“ p?r”(“ p?q 且 q?r” ?“ p?r”) 诊断自测 1概念思辨 (1)“ x2 2x 3 1” 是 “ x0” 的充分不必要条件 . ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2教材衍化 (1)(选修 A1 1P6练习 )命题 “ 若 x， y都是偶数，则 x y也是偶数 ” 的逆否命题是 ( ) A若 x y 是偶数，则 x
3、与 y 不都是偶数 =【 ;精品教育资源文库 】 = B若 x y 是偶数，则 x 与 y 都不是偶数 C若 x y 不是偶数，则 x 与 y 不都是偶数 D若 x y 不是偶数，则 x 与 y 都不是偶数 答案 C 解析 若命题为 “ 若 p，则 q” ，命题的逆否命题为 “ 若非 q，则非 p” ，所以原命题的逆否命题是 “ 若 x y 不是偶数，则 x 与 y 不 都是偶数 ” 故选 C. (2)(选修 A1 1P12A 组 T3)x2 3x 20 是 x1 的 _条件 答案 充分不必要 解析 若 x2 3x 20 则 x1 且 x2 ，此时充分性成立， 当 x 2 时，满足 x1 ，但
4、此时 x2 3x 2 0 成立，即必要性不成立， 即 x2 3x 20 是 x1 的充分不必要条件 3小题热身 (1)(2017 浙江高考 )已知等差数列 an的公差为 d，前 n 项和为 Sn，则 “ d 0” 是 “ S4 S6 2S5” 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案 C 解析 解法一： 数列 an是公差为 d 的等差数列， S4 4a1 6d， S5 5a1 10d， S6 6a1 15d， S4 S6 10a1 21d,2S5 10a1 20d. 若 d0， 则 21d20d,10a1 21d10a1 20d， 即 S4
5、S62S5. 若 S4 S62S5， 则 10a1 21d10a1 20d， 即 21d20d， d0. “ d0” 是 “ S4 S62S5” 的充分必要条件 故选 C. 解法二 ： S4 S62S5?S4 S4 a5 a62(S4 a5)?a6a5?a5 da5?d0， “ d0” 是“ S4 S62S5” 的充分必要条件 故选 C. (2)(2017 山东潍坊高三期末 )命题 “ 若 x 5，则 x2 8x 15 0” ，那么它的逆命题、否命题与逆否命题这三个命题中，真命题有 ( ) A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 答案 B 解析 原命题 “ 若 x 5，则 x2 8x
6、15 0” 为真命题，又当 x2 8x 15 0 时， x 3或 5. 故其逆命题： “ 若 x2 8x 15 0，则 x 5” 为假命题又由四种命题之间的关系知该命题的逆 否命题为真命题，否命题为假命题故选 B. 题型 1 四种命题的关系及真假判断 典例 1 已知：命题 “ 若函数 f(x) ex mx 在 (0， ) 上是增函数，则 m1” ，则下列结论正确的是 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A否命题是 “ 若函数 f(x) ex mx 在 (0， ) 上是减函数，则 m1” ，是真命题 B逆命题是 “ 若 m1 ，则函数 f(x) ex mx 在 (0， ) 上是增函数 ”
7、，是假命题 C逆否命题是 “ 若 m1，则函数 f(x) ex mx 在 (0， ) 上是减函数 ” ， 是真命题 D逆否命题是 “ 若 m1, 则函数 f(x) ex mx 在 (0， ) 上不是增函数 ” ，是真命题 本题用四种命题中真假性的等价关系进行判断 答案 D 解析 由 f(x) ex mx 在 (0， ) 上是增函数，则 f( x) ex m0 恒成立， m1. 因此原命题是真命题，所以其逆否命题 “ 若 m1，则函数 f(x) ex mx 在 (0， ) 上不是增函数 ” 是真命题故选 D. 典例 2 (2018 黄梅期末 )给出下列命题： 命题 “ 若 b2 4acb0，则
8、3 a3 b0” 的逆否命题； “ 若 m1，则 mx2 2(m 1)x (m 3)0 的解集为 R” 的逆命题 其中真命题的序号为 _ 分清原命题的条件与结论写出所要命题，进行判断 答案 解析 命题 “ 若 b2 4acb0，则 3 a3 b0” 是真命题， 它的逆否命题也是真命题； 命题 “ 若 m1，则 mx2 2(m 1)x (m 3)0 的解集为 R” 的逆命题是 “ 若 mx2 2(m 1)x (m 3)0 的解集为 R，则 m1” 是假命题， 不等式的解集为 R 时，? m0，4?m 1?2 4m?m 3? 是sin sin 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要
9、条件 D既不充分也不必要条件 利用定义结合代特殊值法进行判断 答案 D 解析 由 ， 均为第一象限角，可取 2 3 ， 3 ，有 ，但 sin sin ，即 不是 sin sin 的充分条件；又由 ， 均为第一象限角，可取 3 ， 2 6 ，有 sin sin 成立，但 不是 sin sin 的必要条件，综上所述， 是 sin sin 的既不充分也不必要条件故选 D. 角度 2 等价转化法判断充分、必要条件 典例 (2018 阳山模拟 )“ a1 或 b2” 是 “ a b3” 的 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A必要不充分条件 B既不充分也不必要条件 C充要条件 D充分不必要条件
10、 用等价转化法 答案 A 解析 由题意得： 命题 “ 若 a1 或 b2 ，则 a b3” 与命题 “ 若 a b 3，则 a 1 且 b 2” 互为逆否命题 判断命题 “ 若 a1 或 b2 ，则 a b3” 的真假只要判断命题 “ 若 a b 3，则 a 1 且 b 2” 的真假即可 因为命题 “ 若 a b 3，则 a 1 且 b 2” 显然是假命题 所以命题 “ 若 a1 或 b2 ，则 a b3” 是假命题， a1 或 b2 推不出 a b3. 同理 “ 若 a 1 且 b 2，则 a b 3” 是真命题， 命题 “ 若 a b3 ，则 a1 或 b2” 是真命题 a b3 ?a1
11、或 b2. “ a1 或 b2” 是 “ a b3” 的必要不充分条件故选 A. 角度 3 集合法判断充分、必要条件 典例 (2017 天津高考 )设 R，则 “ ? ? 12 12” 是 “sin 12” 的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而 不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 集合法 答案 A 解析 ? ? 12 12? 12 12 12?0 6 ， sin 12? ?2k 76 ， 2k 6 ， k Z， ?0， 6 ?2k 76 ， 2k 6 ， k Z， “ ? ? 12 0， 2x a， x0 有且只有一个零点的充分不必要条件是 ( ) A a1 用数形结合法，集合
12、法 =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 A 解析 因为函数 f(x)过点 (1,0)，所以函数 f(x)有且只有一个零点 ?函数 y 2xa(x0) 没有零点 ?函数 y 2x(x0) 与直线 y a 无公共点由数形结合，可得 a0 或 a1. 观察选项，根据集合间关 系 a|a1故选 A. 方法技巧 充分条件和必要条件的三种判断方法 1定义法：可按照以下三个步骤进行 (1)确定条件 p 是什么，结论 q 是什么； (2)尝试由条件 p 推结论 q，由结论 q 推条件 p； (3)确定条件 p 和结论 q 的关系见角度 1 典例 2等价转化法：对于含否定形式的命题，如綈 p 是綈 q 的什
13、么条件，利用原命题与逆否命题的等价性，可转化为求 q 是 p 的什么条件见角度 2 典例 3集合法：根据 p， q 成立时对应的集合之间的包含关系进行判断设 A x|p(x)，B x|q(x)，若 A?B，则 p 是 q 的充分条件或 q 是 p 的必要条件；若 A B，则 p 是 q 的充分不必要条件，若 A B，则 p 是 q 的充要条件见角度 3 典例 冲关针对训练 1 (2018 石家庄模拟 )命题 p： |x|1，綈 q 所对应的集合为 ?RB x|xa 1 由綈 p 是綈 q 的必要不充分条件，知 ?RB ?RA，所以? a 12，a 11 ，解得 0 a 12. 故所求实数 a
14、的取值范围是 ? ?0， 12 . 条件探究 将条件中的 “ 若綈 p是綈 q的必要不充分条件 ” 改为 “ p是 q的充分不必要条件 ” ，则 a 的取值范围是什么？ 解 设 A x|4x 3|1 ， B x|x2 (2a 1)x a(a 1)0 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 解 |4x 3|1 ，得 12 x1 ，故 A x? ?12 x1 ； 解 x2 (2a 1)x a(a 1)0 ，得 a x a 1，故 B x|a x a 1 由 p 是 q 的充分不必要条件，知 A B， 所以? a 12，a 11 ，解得 0 a 12. 故所求实数 a 的取值范围是 ? ?0， 12 . 方法技巧 根据充要条件求解参数范围的常用方法 充分、必要条件的应用，一般体现在参数范围的求解上，其常用方法和注 意事项为： 1解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不
