1、=【 ;精品 教育资源文库 】 = 8 5 椭圆 重点保分 两级优选练 A 级 一、选择题 1 (2018 江西五市八校模拟 )已知正数 m 是 2 和 8 的等比中项，则圆锥曲线 x2 y2m 1的焦点坐标为 ( ) A ( 3， 0) B (0， 3) C ( 3， 0)或 ( 5， 0) D (0， 3)或 ( 5， 0) 答案 B 解析 因为正数 m 是 2 和 8 的等比中项，所以 m2 16，则 m 4，所以圆锥曲线 x2 y2m1 即为椭圆 x2 y24 1，易知其焦点坐标为 (0， 3)，故选 B. 2 (2017 湖北荆门一模 )已知 是 ABC 的一个内角，且 sin co
2、s 34，则方程x2sin y2cos 1 表示 ( ) A焦点在 x 轴上的双曲线 B焦点在 y 轴上的双曲线 C焦点在 x 轴上的椭圆 D焦点在 y 轴上的椭圆 答案 D 解析 因为 (sin cos )2 1 2sin cos 916，所以 sin cos 732 0，结合 (0， ) ，知 sin 0， cos b0)的左、右顶点分别为 A1， A2，且以线段 A1A2为直径的圆与直线 bx ay 2ab 0 相切，则 C 的离心率为 ( ) A. 63 B. 33 C. 23 D.13 答案 A 解析 由题意知以 A1A2为直径的圆的圆心为 (0,0)，半径为 a. 又直线 bx a
3、y 2ab 0 与圆相切， 圆心到直线的距离 d 2aba2 b2 a，解得 a 3b， ba 13， e ca a2 b2a 1 ?ba2 1?132 63 .故选 A. 5已知椭圆 x2a2y2b2 1(ab0)与双曲线x2m2y2n2 1(m0， n0)有相同的焦点 ( c,0)和(c,0)，若 c 是 a， m 的等比中项， n2是 2m2与 c2的等差中项，则椭圆的离心率为 ( ) A. 32 B. 22 C.12 D.14 答案 C 解析 因为椭圆 x2a2y2b2 1(ab0)与双曲线x2m2y2n2 1(m0， n0)有相同的焦点 ( c,0)和(c,0)，所以 c2 a2 b
4、2 m2 n2. 因为 c 是 a， m 的等比中项， n2是 2m2与 c2的等差中项，所以 c2 am,2n2 2m2 c2，所以m2 c4a2， n2 c4a2c22，所以2c4a2 c22 c2，化为 c2a214，所以 eca12.故选 C. 6 (2017 荔湾区期末 )某宇宙飞船运行的轨道是以地球中心为一焦点的椭圆，测得近地点距地面 m 千米，远地点距地面 n 千米，地球半径为 r 千米，则该飞船运行轨道的短轴长为( ) =【 ;精品 教育资源文库 】 = A 2 m r n r 千米 B. m r n r 千米 C 2mn 千米 D mn 千米 答案 A 解析 某宇宙飞船的运行
5、轨道是以地球的中心 F2为一个焦点的椭圆， 设长半轴长为 a，短半轴长为 b，半焦距为 c， 则近地点 A 距地心为 a c，远地点 B 距地心为 a c. a c m r， a c n r， a m n2 r， c n m2 . 又 b2 a2 c2 ? ?m n2 r 2 ? ?n m2 2 mn (m n)r r2 (m r)(n r) b m r n r ， 短轴长为 2b 2 m r n r 千米，故选 A. 7 (2017 九江期末 )如图， F1， F2分别是椭圆 x2a2y2b2 1(ab0)的两个焦点， A 和 B 是以O 为圆心，以 |OF1|为半径的圆与该椭圆左半部分的两
6、个交点，且 F2AB 是等边三角形，则该椭圆的离心率为 ( ) A. 32 B.12 C. 3 1 D. 22 答案 C 解析 连接 AF1， F1F2是圆 O 的直径， F1AF2 90 ， 即 F1A AF2， 又 F2AB 是等边三角形， F1F2 AB， AF2F1 12 AF2B 30 ， 因此，在 Rt F1AF2中， |F1F2| 2c， =【 ;精品 教育资源文库 】 = |F1A| 12|F1F2| c， |F2A| 32 |F1F2| 3c. 根据椭圆的定义，得 2a |F1A| |F2A| (1 3)c，解得 a 1 32 c， 椭圆的离心率为 e ca 3 1.故选 C
7、. 8 (2018 郑州质检 )椭圆 x25y24 1 的左焦点为 F，直线 x a 与椭圆相交于点 M， N，当 FMN 的周长最大时， FMN 的面积是 ( ) A. 55 B.6 55 C.8 55 D.4 55 答案 C 解析 设椭圆的右焦点为 E，由椭圆的定义知 FMN 的周长为 L |MN| |MF| |NF|MN| (2 5 |ME|) (2 5 |NE|)因为 |ME| |NE| MN|，所以 |MN| |ME| |NE|0 ，当直线 MN 过点 E 时取等号，所以 L 4 5 |MN| |ME| |NE|4 5，即直线 x a 过椭圆的右焦点 E 时， FMN 的周长最大，此
8、时 S FMN 12| MN| EF| 12 245 2 8 55 ，故选 C. 9如图所示，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线 AC， BD，设内层椭圆方程为 x2a2y2b2 1(ab0)，若直线 AC 与 BD 的斜率之积为14，则椭圆的离心率为( ) A.12 B. 22 C. 32 D.34 答案 C 解析 设外层椭圆方程为 x2ma 2y2mb 2 1(ab0， m1)，则切线 AC 的方程为 y k1(x ma)，切线 BD的方程为 y k2x mb，则由? y k1 x ma ，bx 2 ay 2 a2b2， 消去 y，得 (b2 a2k21)x2 2ma
9、3k21x m2a4k21 a2b2 0. =【 ;精品 教育资源文库 】 = 因为 (2ma3k21)2 4(b2 a2k21)(m2a4k21 a2b2) 0，整理，得 k21 b2a21m2 1. 由? y k2x mb，bx 2 ay 2 a2b2， 消去 y，得 (b2 a2k22)x2 2a2mbk2x a2m2b2 a2b2 0，因为 2 (2a2mbk2)2 4( b2 a2k22)(a2m2b2 a2b2) 0，整理，得 k22 b2a2( m2 1) 所以 k21 k22 b4a4.因为 k1k214，所以b2a214， e2 c2a2a2 b2a2 34，所以 e32 ，
10、故选 C. 10 (2018 永康市模拟 )设椭圆 C： x2a2y2b2 1(ab0)和圆 x2 y2 b2，若椭圆 C 上存在点 P，使得过点 P 引圆 O 的两条切线，切点分别为 A， B，满足 APB 60 ，则椭圆的离心率e 的取值范围是 ( ) A 0b0)焦点在 x 轴上， 连接 OA， OB， OP，依题意， O， P， A， B 四点共圆， APB 60 ， APO BPO 30 ， 在直角三角形 OAP 中， AOP 60 ， cos AOP b|OP| 12， |OP| b12 2b， bb0)， A， B 为椭 圆上的两点，线段 AB的垂直平分线交 x 轴于点 M? ?
11、a5， 0 ，则椭圆的离心率 e 的取值范围是 _ 答案 ? ?55 ， 1 =【 ;精品 教育资源文库 】 = 解析 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， x1 x2， 则? ? ?x1 a5 2 y21 ? ?x2 a5 2 y22，x21a2y21b2 1，x22a2y22b2 1，即? 2a5 x1 x2 x21 x22 y21 y22，y21 b2 b2a2x21，y22 b2 b2a2x22，所以 2a5(x1 x2) a2 b2a2 (x21 x22)，所以2a3a2 b2 x1 x2. 又 a x1 a， a x2 a， x1 x2，所以 2a15.又 0b0)的右焦
12、点，直线 y b2与椭圆交于 B， C 两点，且 BFC 90 ，则该椭圆的离心率是 _ 答案 63 解析 由已知条件易得 B? ? 32 a， b2 ， C? ?32 a， b2 ， F(c,0)， BF ? ?c 32 a， b2 ， CF ? ?c 32 a， b2 ， 由 BFC 90 ，可得 BF CF 0， 所以 ? ?c 32 a ? ?c 32 a ? ? b2 2 0， =【 ;精品 教育资源文库 】 = c2 34a2 14b2 0， 即 4c2 3a2 (a2 c2) 0，亦即 3c2 2a2， 所以 c2a223，则 eca63 . B 级 三、解答题 15 (2018
13、 安徽合肥三校联考 )已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为 22 ，且椭圆经过圆 C： x2 y2 4x 2 2y 0 的圆心 C. (1)求椭圆的方程； (2)设直线 l 过椭圆的焦点且与圆 C 相切，求直线 l 的方程 解 (1)圆 C 方程化为 (x 2)2 (y 2)2 6， 圆心 C(2， 2)，半径 r 6. 设椭圆的方程为 x2a2y2b2 1(ab0)，则 ? 4a2 2b2 1，1 ? ?ba 2 ? ?22 2，所以? a2 8，b2 4. 所以所求的椭圆方程是 x28y24 1. (2)由 (1)得椭圆的左、右焦点分别是 F1( 2,0)， F2 (2,0)，
14、 |F2C| 2 2 2 2b0)过点 P(2,1)，且离心率 e 32 . (1)求椭圆 C 的方程； =【 ;精品 教育资源文库 】 = (2)直线 l 的斜率为 12，直线 l 与椭圆 C 交于 A， B 两点求 PAB 面积的最大值 解 (1) e2 c2a2a2 b2a2 34， a2 4b2. 又椭圆 C： x2a2y2b2 1(ab0)过点 P(2,1)， 4a2 1b2 1. a2 8， b2 2. 故所求椭圆方程为 x28y22 1. (2)设 l 的方程为 y 12x m，点 A(x1， y1)， B(x2， y2)，联立? y 12x m，x28y22 1，整理得x2 2
15、mx 2m2 4 0. 4m2 8m2 160，解得 |m|b0)， 椭圆的左焦点为 F1( 2,0)， a2 b2 4. 点 B(2， 2)在椭圆 C 上， 4a2 2b2 1， 解得 a2 8， b2 4， 椭圆 C 的方程为 x28y24 1. (2)依题意点 A 的坐标为 ( 2 2， 0)，设 P(x0， y0)(不妨设 x00)，则 Q( x0， y0)， =【 ;精品 教育资源文库 】 = 由? y kx，x28y24 1，得 x0 2 21 2k2， y0 2 2k1 2k2， 直线 AP 的方程为 y k1 1 2k2(x 2 2)， 直线 AQ 的方程为 y k1 1 2k2(x 2 2)， M? ?0， 2 2k1 1 2k2 ， N? ?0， 2 2k1 1 2k2 ， |MN| ? ?2 2k1 1 2k2 2 2k1 1 2k2 2 2k2|k| . 设 MN 的中点为 E，则点 E 的坐标为 ? ?0， 2k ， 则以 MN 为直径的圆的方程为 x2 ? ?y 2k 2 2 2k2k2 ，即 x2 y2 2 2k y 4， 令 y 0 得 x 2 或 x 2， 即以 MN 为直径的
