1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 8 3 圆的方程 知识梳理 1圆的方程 标准方程： (x a)2 (y b)2 r2(r 0) 一般方程： x2 y2 Dx Ey F 0(D2 E2 4F 0) 2点与圆的位置关系 平面上的一点 M(x0， y0)与圆 C： (x a)2 (y b)2 r2之间存在着下列关系： 设 d 为点 M(x0， y0)与圆心 (a， b)的距离 (1)dr?M 在圆外，即 (x0 a)2 (y0 b)2r2?M 在 圆外 ； (2)d r?M 在圆上，即 (x0 a)2 (y0 b)2 r2?M 在 圆上 ； (3)d0)若圆 C 上存在点 P，使得 APB 90
2、，则 m 的最大值为 ( ) A 7 B 6 C 5 D 4 APB 90 ，点 P 在以 AB 为直径的圆上，求 m的最大值转化为求半径 |OP|的最大值 答案 B =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心 C 的坐标为 (3,4)，半径 r 1，且 |AB| 2m，因为 APB 90 ，连接 OP，易知 |OP| 12|AB| m.要求 m 的最 大值，即求圆 C 上的点 P 到原点 O 的最大距离因为 |OC| 32 42 5，所以 |OP|max |OC| r 6，即 m 的最大值为6.故选 B. 方法技巧 求解与圆有关的最值问题的方法 1借助几何
3、性质求最值 处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解 (1)形如 y bx a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；见角度 1 典例 (2)形如 t ax by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题或转化为线性规划问 题；见结论探究 1. (3)形如 (x a)2 (y b)2 形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题见结论探究 2. 2建立函数关系式求最值 根据题中条件列出关于所求目标式子的函数关系式，再根据函数知识、基本不等式求最值 冲关针对训练 1 (2018 福建师大附中联考 )已知圆 O 的半径为 1
4、， PA， PB 为该圆的两条切线， A， B为切点，那么 PA PB 的最小值为 ( ) A 4 2 B 3 2 C 4 2 2 D 3 2 2 答案 D 解析 设 |PO| t，向量 PA 与 PB 的夹角为 ，则 |PA | |PB | t2 1， sin 2 1t， cos 1 2sin2 2 1 2t2， PA PB |PA |PB |cos (t2 1)? ?1 2t2 (t 1)， PA PB t2=【 ;精品教育资源文库 】 = 2t2 3(t 1)，利用基本不等式可得 PA PB 的最小值为 2 2 3，当且仅当 t 4 2时，取等号故选 D. 2已知圆 C1： (x 2)2
5、 (y 3)2 1，圆 C2： (x 3)2 (y 4)2 9， M， N 分别是圆 C1，C2上的动点， P 为 x 轴上的动点，则 |PM| |PN|的最小值为 ( ) A 5 2 4 B. 17 1 C 6 2 2 D. 17 答案 A 解析 圆 C1， C2的图象如图所示 设 P 是 x 轴上任意一点，则 |PM|的最小 值为 |PC1| 1，同理， |PN|的最小值为 |PC2| 3，则 |PM| |PN|的最小值为 |PC1| |PC2| 4.作 C1关于 x轴的对称点 C 1(2， 3)，连接 C 1C2，与 x 轴交于点 P，连接 PC1，可知 |PC1| |PC2|的最小值为
6、 |C 1C2|，则 |PM| |PN|的最小值为 5 2 4.故选 A. 题型 3 与圆有关的轨迹问题 典例 (2014 全国卷 )已知点 P(2,2)，圆 C： x2 y2 8y 0，过点 P 的动直线 l与圆 C 交于 A， B 两点，线段 AB 的中点为 M， O 为坐标原点 (1)求 M 的轨迹方程； (2)当 |OP| |OM|时，求 l 的方程及 POM 的面积 由圆的性质可知： CM MP，由直接法可解得 (1) 解 (1)圆 C 的方程可化为 x2 (y 4)2 16，所以圆心为 C(0,4)，半径为 4. 设 M(x， y)，则 CM (x， y 4)， MP (2 x,2
7、 y) 由题设知 CM MP 0，故 x(2 x) (y 4)(2 y) 0，即 (x 1)2 (y 3)2 2. 由于点 P 在圆 C 的内部， 所以 M 的轨迹方程是 (x 1)2 (y 3)2 2. (2)由 (1)可知 M 的轨迹是以点 N(1,3)为圆心， 2为半径的圆由于 |OP| |OM|，故 O=【 ;精品教育资源文库 】 = 在线段 PM 的垂直平分线上，又 P 在圆 N 上，从而 ON PM. 因为 ON 的斜率为 3，所以 l 的斜率为 13， 故 l 的方程为 x 3y 8 0. 又 |OM| |OP| 2 2， O 到 l 的距离为 4 105 ，所以 |PM| 4
8、105 ， S POM 12 4 105 4 105 165 ， 故 POM 的面积为 165. 方法技巧 与圆有关的轨迹问题的 4 种求法 求与圆有关的轨迹问题时，题目的设问有两种常见形式，作答也应不同若求轨迹方程，则把方程求出化简即可；若求轨迹，则必须根据轨迹方程，指出轨迹是什么曲线 冲关针对训练 1 (2017 南平一模 )平面内动点 P 到两点 A、 B 距离之比为常数 ( 0， 1) ，则动点 P 的轨迹叫做阿波罗尼斯圆，若已知 A( 2,0)， B(2,0)， 12，则此阿波尼斯圆的方程为 ( ) A x2 y2 12x 4 0 B x2 y2 12x 4 0 C x2 y2 20
9、3x 4 0 D x2 y2 203x 4 0 答案 D 解析 由题意，设 P(x， y)，则 ?x 2?2 y2?x 2?2 y212， 化简可得 x2 y2 203 x 4 0，故选 D. 2已知圆 x2 y2 4 上一定点 A(2,0)， B(1,1)为圆内一点， P， Q 为圆上的动点 (1)求线段 AP 中点的轨迹方程； (2)若 PBQ 90 ，求线段 PQ 中点的轨迹方程 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解 (1)设 AP 的中点为 M(x， y)，由中点坐标公式可知， P 点坐标为 (2x 2,2y) 因为 P 点在圆 x2 y2 4 上，所以 (2x 2)2 (2y)2 4
10、.故线段 AP 中点的轨迹方程为 (x 1)2 y2 1. (2)设 PQ 的中点为 N(x， y) 在 Rt PBQ 中， |PN| |BN|. 设 O 为坐标原点，连接 ON，则 ON PQ， 所以 |OP|2 |ON|2 |PN|2 |ON|2 |BN|2， 所以 x2 y2 (x 1)2 (y 1)2 4. 故线段 PQ 中点的轨迹方程为 x2 y2 x y 1 0. 题型 4 与圆有关的对称问题 典例 已知圆 C1： (x 1)2 (y 1)2 1，圆 C2与圆 C1关于直线 x y 1 0 对称，则圆 C2的方程为 ( ) A (x 2)2 (y 2)2 1 B (x 2)2 (y
11、 2)2 1 C (x 2)2 (y 2)2 1 D (x 2)2 (y 2)2 1 圆与圆关于直线对称问题转化为圆心关于直线对称问题 答案 B 解析 圆 C1的圆心坐标为 ( 1,1)，半径为 1，设圆 C2的圆心坐标为 (a， b)，由题意得? a 12 b 12 1 0，b 1a 1 1，解得? a 2，b 2， 所以圆 C2的圆心坐标为 (2， 2)，又两圆的半径相等，故圆 C2的方程为 (x 2)2 (y 2)2 1.故选 B. 方法技巧 1圆的轴对称性 圆关于直径所在的直线对称 2圆关于点对称 (1)求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置 (2)两圆关于某点对称，则此点
12、为两圆圆心连线的中点 3圆关于直线对称 (1)求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置见典例 (2)两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线 冲关针对训练 =【 ;精品教育资源文库 】 = 1 (2018 锦州期末 )若曲线 x2 y2 a2x (1 a2)y 4 0 关于直线 y x 对称的曲 线仍是其本身，则实数 a 为 ( ) A.12或 12 B. 22 或 22 C.12或 22 D 12或 22 答案 B 解析 曲线 x2 y2 a2x (1 a2)y 4 0，即曲线 ? ?x a222?y 1 a222 2a4 2a2 174 ， 曲线 x2 y2
13、a2x (1 a2)y 4 0 关于直线 y x 对称的曲线仍是其本身， 故曲线的中心 ? ? a22，1 a22 在直线 y x 上，故有a221 a22 ，求得 a22 或 a 22 ，故选 B. 2已知圆 x2 y2 4 与圆 x2 y2 6x 6y 14 0 关于直线 l 对称，则直线 l 的方程是( ) A x 2y 1 0 B 2x y 1 0 C x y 3 0 D x y 3 0 答案 D 解析 解法一：圆心分别为 (0,0)， (3， 3)，其中点为 P? ?32， 32 应在直线 l 上，经检验答案为 D. 解法二：两圆方程相减得 x y 3 0，即为 l 的方程故选 D. 1.(2016 全国卷 )圆 x2 y2 2x 8y 13 0的圆心到直线 ax y 1 0的距离为 1，则 a ( ) A 43 B 34 C. 3 D 2 答案 A 解析 圆的方程可化为 (x 1)2 (y 4)2 4，则圆心坐标为 (1,4)，圆心到直线 ax y 1 0 的距离为 |a 4 1|a2 1 1，解得 a 43.故选 A. 2 (2018 山东青岛一模 )已知两点 A(0， 3)， B(4,0)，若点 P 是圆 C： x2 y2 2y 0上的动点，则 ABP 的面积的最小值为 ( ) A 6 B.112 C 8 D.212 答案 B
