1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 8 3 圆的方程 基础送分 提速狂刷练 一、选择题 1 (2017 豫北名校联考 )圆 (x 2)2 y2 4 关于直线 y 33 x 对称的圆的方程是 ( ) A (x 3)2 (y 1)2 4 B (x 2)2 (y 2)2 4 C x2 (y 2)2 4 D (x 1)2 (y 3)2 4 答案 D 解析 设圆 (x 2)2 y2 4 的圆心 (2,0)关于直线 y 33 x 对称的点的坐 标为 (a， b)，则有? ba 2 33 1，b233 a 22 ，解得 a 1， b 3，从而所求圆的方程为 (x 1)2 (y 3)24.故选 D. 2 (20
2、17 湖南长沙二模 )圆 x2 y2 2x 2y 1 0 上的点到直线 x y 2 距离的最大值是 ( ) A 1 2 B 2 C 1 22 D 2 2 2 答案 A 解析 将圆的方程化为 (x 1)2 (y 1)2 1，圆心坐标为 (1,1)，半径为 1，则圆心到直线 x y 2的距离 d |1 1 2|2 2，故圆上的点到直线 x y 2距离的最大值为 d 1 2 1，故选 A. 3圆心在 y 轴上且通过点 (3,1)的圆与 x 轴相切，则该圆的方程是 ( ) A x2 y2 10y 0 B x2 y2 10y 0 C x2 y2 10x 0 D x2 y2 10x 0 答案 B 解析 设
3、圆心为 (0， b)，半径为 r，则 r |b|， 圆的方程为 x2 (y b)2 b2. 点 (3,1)在圆上， 9 (1 b)2 b2，解得 b 5. =【 ;精品教育资源文库 】 = 圆的方程为 x2 y2 10y 0.故选 B. 4 (2018 山西运城模拟 )已知圆 (x 2)2 (y 1)2 16 的一条直径通过直线 x 2y 3 0 被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为 ( ) A 3x y 5 0 B x 2y 0 C x 2y 4 0 D 2x y 3 0 答案 D 解析 直线 x 2y 3 0 的斜率为 12，已知圆的圆心坐标为 (2， 1)，该直径所在直线的斜率为
4、2，所以该直径所在的直线方程为 y 1 2(x 2)，即 2x y 3 0，故选 D. 5 (2018 唐山期末 )若当方程 x2 y2 kx 2y k2 0 所表示的圆取得最大面积时，则直线 y (k 1)x 2 的倾斜角 ( ) A.34 B. 4 C.32 D.54 答案 A 解析 将圆 x2 y2 kx 2y k2 0 化成标准方程，得 ?x k22 (y 1)2 1 3k24 ， 半径 r 满足 r2 1 3k24 ， 当圆取得最大面积时， k 0，半径 r 1. 因此直线 y (k 1)x 2 即 y x 2.得直线的倾斜角 满足 tan 1， 直线的倾斜角 0， ) ， 34 .
5、故选 A. 6若方程 16 x2 x m 0 有实数解，则实数 m 的取值范围 ( ) A 4 2 m4 2 B 4 m4 2 C 4 m4 D 4 m4 2 答案 B 解析 由题意知方程 16 x2 x m有实数解，分别作出 y 16 x2与 y x m的图象，如图，若两图象有交点，需 4 m4 2.故选 B. 7 (2017 广东七校联考 )圆 x2 y2 2x 6y 1 0 关于直线 ax by 3 0(a0， b0)=【 ;精品教育资源文库 】 = 对称，则 1a 3b的最小值是 ( ) A 2 3 B.203 C 4 D.163 答案 D 解析 由圆 x2 y2 2x 6y 1 0
6、知其标准方程为 (x 1)2 (y 3)2 9， 圆 x2 y22x 6y 1 0 关于直线 ax by 3 0(a0， b0)对称， 该直线经过圆心 ( 1,3)，即 a 3b 3 0， a 3b 3(a0， b0) 1a 3b 13(a 3b)? ?1a 3b 13? ?1 3ab 3ba 9 13?10 2 3ab 3ba 163 ，当且仅当3ba 3ab ，即 a b 时取等号，故选 D. 8 (2018 唐山一中调研 )点 P(4， 2)与圆 x2 y2 4 上任一点连线的中点的轨迹方程是 ( ) A (x 2)2 (y 1)2 1 B (x 2)2 (y 1)2 4 C (x 4)
7、2 (y 2)2 4 D (x 2)2 (y 1)2 1 答案 A 解析 设圆上任意一点为 (x1 ， y1)，中点为 (x， y)，则? x x1 42 ，y y1 22 ，即? x1 2x 4，y1 2y 2， 代入 x2 y2 4，得 (2x 4)2 (2y 2)2 4，化简得 (x 2)2 (y 1)2 1.故选 A. 9 (2017 山东菏泽一模 )已知在圆 M： x2 y2 4x 2y 0 内，过点 E(1,0)的最长弦和最短弦分别是 AC 和 BD，则四边形 ABCD 的面积为 ( ) A 3 5 B 6 5 C 4 15 D 2 15 答案 D 解析 圆 x2 y2 4x 2y
8、 0 可化为 (x 2)2 (y 1)2 5，圆心 M(2， 1)，半径 r 5，最长弦为圆的直 径， AC 2 5. BD 为最短弦， AC 与 BD 垂直，易求得 ME 2， BD2BE 2 5 2 2 3. S 四边形 ABCD S ABD S BDC 12BD EA 12BD EC 12BD( EA EC) 12BD AC 122 32 5 2 15.故选 D. 10已知点 P(x， y)在圆 C： x2 y2 6x 6y 14 0上，则 x y的最大值与最小值是 ( ) A 6 2 2， 6 2 2 B 6 2， 6 2 C 4 2 2， 4 2 2 D 4 2， 4 2 =【 ;精
9、品教育资源文库 】 = 答案 A 解析 设 x y b，则 b 表示动直线 y x b 在 y 轴上的截距，显然当动直线 y x b 与圆 (x 3)2 (y 3)2 4 相切时， b 取得最大值或最小值，如图所示 由圆心 C(3,3)到切线 x y b 的距离等于圆的半径 2，可得 |3 3 b|12 12 2，即 |b 6|2 2，解得 b 62 2，所以 x y 的最大值为 6 2 2，最小值为 6 2 2.故选 A. 二、填空题 11 (2016 天津高考 )已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M(0， 5)在圆 C 上，且圆心到直线 2x y 0 的距离为 4 55 ，则圆
10、C 的方程为 _ 答案 (x 2)2 y2 9 解析 因为圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，设 C(a,0)，且 a0，所以圆心到直线 2x y 0 的距离 d 2a5 4 55 ，解得 a 2，所以圆 C 的半径 r |CM| 4 5 3，所以圆 C 的方程为 (x 2)2 y2 9. 12 (2017 广东七校联考 )一个圆与 y 轴相切，圆心在直线 x 3y 0 上，且在直线 yx 上截得的弦长为 2 7，则该圆的方程为 _ 答案 (x 3)2 (y 1)2 9 或 (x 3)2 (y 1)2 9 解析 所求圆的圆心在直线 x 3y 0 上， 设所求圆的圆心为 (3a， a)， 又所求
11、圆与 y 轴相切， 半径 r 3|a| 又所求圆在直线 y x 上截得的弦长为 2 7，圆心 (3a， a)到直线 y x 的距离 d |2a|2 ， d2 ( 7)2 r2，即 2a2 7 9a2， a 1. 故所求圆的方程为 (x 3)2 (y 1)2 9 或 (x 3)2 (y 1)2 9. 13 (2017 金牛期末 )已知 a R，若方程 a2x2 (a 2)y2 4x 8y 5a 0 表示 圆，则此圆心坐标是 _ 答案 ( 2， 4) 解析 方程 a2x2 (a 2)y2 4x 8y 5a 0 表示圆， =【 ;精品教育资源文库 】 = a2 a 20 ，解得 a 1 或 a 2，
12、 当 a 1 时，方程化为 x2 y2 4x 8y 5 0， 配方得 (x 2)2 (y 4)2 25， 所得圆的圆心坐标为 ( 2， 4)，半径为 5； 当 a 2 时，方程化为 x2 y2 x 2y 2.5 0， 此时 D2 E2 4F0，得 8 5 2m8 5 2. 设 C， D 的横坐标分别为 x1， x2，则 x1 x2 m， x1x2 m2 8m 72 . 依题意，得 OC OD 0，即 x1x2 ( x1 m)( x2 m)0，即 m2 8m 70，解得 1m7. 故实数 m 的取值范围是 m|8 5 2m8 5 2 m|1m7 m|1m7 16已知圆 C 经过 P(4， 2)，
13、 Q( 1,3)两点，且 y 轴被圆截得的弦长为 4 3，半径小于 5. (1)求直线 PQ 与 圆 C 的方程； (2)若直线 l PQ，且 l 与圆 C 交于点 A， B 且以线段 AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线 l 的方程 解 (1)由题意知直线 PQ 的方程为 x y 2 0. 设圆心 C(a， b)，半径为 r， 由于线段 PQ 的垂直平分线的方程是 y 12 x 32，即 y x 1，所以 b a 1. 由圆 C 在 y 轴上截得的线段的长为 4 3， 知 r2 12 a2， 可得 (a 1)2 (b 3)2 12 a2， 由 得 a 1， b 0 或 a 5， b 4. 当
14、 a 1， b 0 时， r2 13，满足题意， 当 a 5， b 4 时， r2 37，不满足题意 故圆 C 的方程为 (x 1)2 y2 13. (2)设直线 l 的方程为 y x m(m2) ， A(x1， m x1)， B(x2， m x2) 由题意可知 OA OB，即 OA OB 0， x1x2 (m x1)(m x2) 0， 化简得 2x1x2 m(x1 x2) m2 0. 由? y x m，x 2 y2 13， 得 2x2 2(m 1)x m2 12 0， x1 x2 m 1， x1x2 m2 122 ， 代入 ，得 m2 12 m(1 m) m2 0， =【 ;精品教育资源文库 】 = m 4 或 m 3，经检验都满足题意， 直线 l 的方程为 x y 4 0 或 x y 3 0.
