1、3.1直接积分法012212drdrdrdr1)()0 (ar0drdrdrdr122222)()(ra边界条件积分之，得通解43221021CrC)r(Cr1C6r)r( 例3.1 设有电荷均匀分布在半径为a的介质球型区域中，电荷体密度为 ，试用解微分方程的方法求球体内、外的电位及电场。解: 采用球坐标系,分区域建立方程ar2ar1ar20ar10rr有限值0r1参考点电位0r2图 体电荷分布的球形域电场 第四章第四章 静态场及边值问题的解法静态场及边值问题的解法解得 032023413aC2aC0C0C,电场强度（球坐标梯度公式）：ar03rrr0r111eerE)(rar3arr202r
2、22eerE)(2 对于一维场（场量仅仅是一个坐标变量的函数），只要对二阶常系数微分方程积分两次，得到通解；然后利用边界条件求得积分常数，得到电位的解；再由 得到电场强度E的分布。E电位：rar3arar0ra36r0322201)()()(3.2直角坐标系中的分离变量法直角坐标系中的分离变量法 分离变量法是一种最经典的微分方程法，它适用于求解一类具有理想边界条件的典型边值问题 。一般情况下,采用正交坐标系可用分离变量法得出拉普拉斯方程或波动方程的通解，而只有当场域边界与正交坐标面重合或平行时，才可确定积分常数，得到边值问题的解。解题的一般步骤： 根据边界的几何形状和场的分布特征选定坐标系，写
3、出对应的边值 问题（微分方程和边界条件）； 分离变量，将一个偏微分方程，分离成几个常微分方程； 解常微分方程，并叠加各特解得到通解； 利用给定的边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。直角坐标系中的拉普拉斯方程 :22222220 xyz 设( , , )( ) ( ) ( )x y zf x g y h z，则方程变为：( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )0( )( )( )0( )( )( )g y h z fxf x h z gyf x g y hzfxgyhzf xg yh z上式成立的唯一条件是三项中每一项都是常数，故可分解为下列三个方程： 22222
4、2222,xyzd fd gd hkfk gk hdxdydz 其中2220(,xyzxyzkkkk kk和 为常数,但不全为实数或虚数)以常微分方程 为例，其解的形式为： 常微分方程的解： 222xd fkdx 若 为零，则 12( )f xC xCxk若 为实数，则 12( )sin()cos()xxf xCk xCk xxk若 为虚数，设 则 1234( ),( )()(),2or,2xxxxxxxxf xC eC ef xC shC cheeeeshxchxxkxxkj如右图双曲正弦曲线，通过原点对原点对称，双曲余弦曲线，不通过原点，对Y轴对称，顶点（同极小点）：A(0,1) 例3.2
5、 图示一无限长金属槽，其三壁接地，另一壁与三壁绝缘且保持电位为 ，金属槽截面为正方形（边长为a），试求金属槽内电位的分布。 xasin100解：选定直角坐标系0 xa100000yxay0axax0ayax00yay00 x22222),(),(),(),(sin（D域内）（1）（2）（3）（4）(5）边值问题图 接地金属槽的截面2) 分离变量)()(),(yxyx21)6(00dyd10dxd122222121 22222121dyd1dxd1代入式（1）有根据 可能的取值，可有6个常微分方程：2222dyd1，2121dxd1设)7(0KKdyd1Kdxd12n2n22222n2122 )
6、8(0KKdyd1Kdxd12n2n22222n2121 称为分离常数,可以取值000和,3）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。)()()(yDCxBAyx000021)(sincos()sincos)(yshKDychKCxKBxKAyKDyKCxshKBxchKAnnnnnnn1nnnnnnnnn1nn4）利用给定边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。 0B0Bn00aKFaKDBnnnnnsinsin),( 321nanKn0A0A0A0ay00 xy)ann0轴0C0C0C0ax00yx)bnn0轴0ay0ax)c 图 双曲函数yanshxanFyx1nn)sin(),(ya
7、nshxanFyx1nn)sin(),(d） ay ax100ax0sin xanaanshFax1001nnsin)(sinxanF1nnsin 比较系数法：当 时，1n 0F0Fnn yaxsh)asin(sh100)y,x(（D域内）当 时，1n 100shFF11 sh100F1 满足拉普拉斯方程的通解有无数个，但满足给定边界条件的解是唯一的。 根据经验也可定性判断通解中能否舍去 或 项。2nK2nK 若 ， V1001nnaxnF100sin nnFF shn0n400),( 531nyanxshannshn1400yx1nsin),(),( 642n),( 531n 利用 sin
8、函数的正交性来确定 。等式两端同乘 ，然后从 0到 a对 x积分 nFxamsinxdxamxanFxdxam1001na0na0sinsin sin图 接地金属槽内的等位线分布例3.3求如图长方体积中的电位函数。边界条件为除zc面电位不为零外，其他各表面的电位都为零。Zc表面上给定的电位函数为U（x，y）。 解：解：0222222zyx分离变量，令(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z) 0 ZZYYXX00 0 0 321321ZZYYXX有二个独立的本征值。边界条件可分解为： X(0)=X(a)=0Y(0)=Y(b)=0 利用齐次边界条件求出本征值和本征函数。 0)()0(0 0)()0
9、(0 21bYYYYaXXXX是待定常数，要解出使方程有非零解的值和此非零解X(x)。 该边值问题称为常微分方程在此边值条件下的固有值（特征值）问题。称为该问题的固有值（特征值），X(x)称为该问题的固有（特征）函数。 分三种情况讨论。（1）设0，令2，常微分方程的通解为xBxAxXsincos)(代入边界条件,A0，Bsina0，B不能为零，否则只有零解。所以sina0， 222,(1,2,.),nnannaa bymByYbmkaxnAxXankmmymmnnxnnsin)(,)(sin)(,)(222221其中m1，2，。n=1,2,。 所以固有值和固有函数分别为:222,(1,2,.)
10、( ),(1,2,.)nnnnnanXxC Sinna所以两方程组的解分别为:zbmanshEzZDCDCZeDeCzZbmankkZZZmnmnmnmnmnmnmnzbmanmnzbmanmnmnymxnmnmn22,)()(,)()(,222221,33)()()(, 0)0()()()()()(0)0(0 2222满足部分齐次边界条件的偏微分方程的一组特解为)()()(),(,zZyYxXzyxmnmnmn为使解满足所有的边界条件，将所有特解叠加。 zbmanshbymaxnFzZyYxXzyxzyxmnmnmnmnmnmnmn221,)()(sinsin)()()(),(),(),()
11、()(sinsin),(221,yxUcbmanshbymaxnFcyxmnmn从已知边界条件 根据线性齐次方程的叠加原理，通过调整系数可使(x,y,z)满足所有边界条件。 将U（x，y）展开成双重傅立叶级数 a bmnmnmndxdybymaxnyxUabTbymaxnTyxU0 0,1,sinsin),(4sinsin),(比较系数可得 mnmnTcbmanshF,22,)()(原定解问题的解是 a bmnmnmndxdybymaxnyxUcbmanabshFzbmanshbymaxnFzyx0 022,221,sinsin),()()(4)()(sinsin),(3.3圆柱坐标系中的分离
12、变量法圆柱坐标系中的分离变量法圆柱坐标系中的拉普拉斯方程：2222211()0z 22222( , , )( ) ( ) ( ),:1( )1( )1( )0( )( )( )zfgh zddfd gd h zfddgdh zdz 设则拉普拉斯方程变为2222222,( )( )( )0,0( )zkd gddfkgkkdfdd要使第一个方程成立 则该式两端必等于常数 设它为则2222222( )1( )1( ),( )( )( )zzddfd gd h zkkfddgdh zdz 令12( )sincos02,(2 )( ),gBnBnkk 当时 电位变为 的单调函数则应为整数,即=n,所以
13、有:12122221( )() ( )0()()(0( )()(), ( )( )()(),.):zzzznznznznznzddfnkfddJkh zC sh k zCkNkNch k zfAJkAkkhNz贝塞尔(Bessel)第一类第二类贝塞尔函数,若的解为称为方程,其解为:和分别称为和也为纽曼函数称2222122212ln ,12l()(n ,00), ( ):,1( )0,( )( )0,:0( )( )zAAnAAnd fdh zfn fddddfnfddkh zCC zf若若若的解为称为其欧拉(Eule为r)方程解12122220( )sin()cos()1( )()( )()(
14、 )0()(, ( ),(.:)znznzzznznzzddfnkfddkh zCk zCIkKk zfAIh zAkkKk若的解为称为方程,其解为:和分别称变形贝塞尔第一类第二类变形贝塞和尔函数为001( , )ln(sincos)(s( , , )( ) ( ) ( )incos)nnnnnnnAAAnBnCzfgf znDn 以及它们的线性组合就是拉普拉斯方程的通解.如场量不随Z变化时,二维拉普通拉斯方程的通解为:1）选定圆柱坐标,列出边值问题01101122222222122112)()(（1）（2）（3）（4）(5）（6）aa0 例3.4 在均匀电场 中，放置一根半径为a，介电常数为
15、 的无限长均匀介质圆柱棒，它的轴线与 垂直。柱外是自由空间 。试求圆柱内外电位函数 和电场强度 的分布。 0EEEa2a10a2a1102EEx0cos根据场分布的对称性02),(),(),(及01),(P122图 均匀电场中的介质圆柱棒0ndd0RnddRdRd22222223）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。当 时，0n 000000DCBAR)(ln)(当 时，0n nDnCBARnnnnnnnnsincos)()()(ln(),(0000DCBA)sincos( )(nDnCBAnn1nnnnn2）分离变量, 设 代入式（1）得)()(),(R222222ndd1ddRRdRdR
16、或nBABA1nnnnn00cos)() ln(),(根据根据 ， 比较系数得cos01E当 时，1n ，EA0B0A100，nBE1nnn1coscos),(0B0B0A0n0002，1nnn2nAcos),(4）利用给定边界条件确定积分常数。根据场分布对称性02 )/,(),(),(及当 时，1n ，0ABAno0通解中不含 的奇函数项，通解为所以,0D0Cn0EaBE1A2001001)(，解之，得比较系数法：)(121011AaBEaAaBEa当 时，得1n 当 时， ， 则最终解1n 0BAnncoscos)(),(cos)()(cos),(E2E1EaE000020201aa01n
17、1nn1n1nn01nnn1nnnnanAnaBEnaAnaBEacos)coscos(coscoscosc）由分界面 的衔接条件，得a 介质柱内的电场是均匀的，且与外加电场E0平行。 因 ， ，所以 。0121002EE 介质柱外的电场非均匀变化，但远离介质柱的区域，其电场趋近于均匀电场 。0EeEeeE2cos)()(Ea1E2Ex202011x00 xx22asinE)(a)(1(2020ea0 图 均匀外电场中介质圆柱内外的电场 3.5镜像法镜像法思路思路: : 用假想的镜像电荷代替边界上的感应电荷。 保持求解区域中场方程和边界条件不变。 使用范围：界面几何形状较规范，电荷个数有限，且
18、离散分布于有限区域。步骤步骤: : 确定镜像电荷的大小和位置。确定镜像电荷的大小和位置。 去掉界面，按原电荷和镜像电荷求解所求区域场。去掉界面，按原电荷和镜像电荷求解所求区域场。 求解边界上的感应电荷。求解边界上的感应电荷。 求解电场力。求解电场力。1 1、点电荷关于无限大导体平面的镜像点电荷关于无限大导体平面的镜像当电荷附近存在着导体面或介质面时,利用分离变量法直接求解拉普拉斯或泊松方程比较困难,当导体面或介质面的形状比较特殊时,往往可以将导体面上的感应电荷或介质面上的极化电荷用假想的电荷(镜像电荷)来代替并用来计算电位分布.关键是要确定镜像电荷的位置、大小和符号，使场量原来所满足的方程及及
19、其边界条件保持不变。若能做到这一点，则根据静电场唯一性定理，用镜像法求出的解就成为所要求的场的唯一解。我们无法对任何形状的导体面或介质面,找出其镜像电荷,事实上只能一些特殊几何形状的导体面或介质面才能做到这一点。如右图,在无限大接地导体平面（YOZ平面）上方有一点电荷q，距离导体平面的高度为h。用镜像电荷-q代替导体平面上方的感应电荷 无限大接地导体平面上方有点电荷q 分析:用位于导体平面下方h处的镜像电荷-q代替导体平面上的感应电荷，边界条件维持不变，即YOZ平面为零电位面。去掉导体平面，用原电荷和镜像电荷求解导体上方区域场，注意不能用原电荷和镜像电荷求解导体下方区域场。0122220222
20、1:()41(4()1)()qqrrqxhyzxhyz 电位002223/ 20222223/ 20:2(),()2()xxxqhExhyzqhRyzhR电场强度00223/ 202223/ 20000221/ 2:2()2()|()sxxsSqhEhRqhQdSRdRdhRqhqhR 感应电荷220:16qFh电场力2. 点电荷关于导体球面镜像设在点电荷附近有一接地导体球，求导体球外空间的电位及电场分布。1) 边值问题：（除q点外的导体球外空间)000r2导球面0r4qr4q2010pcoscosRb2RbrRd2Rdr2222210bqdqR2RdqRbq22222222cos)()()(
21、0bqdq0RdqRbq22222222)()(qdRqdbqdRb2球面上任一点电位为位于球内设镜像电荷,q2)图1.7.3 点电荷对接地导体球面的镜像由叠加原理，接地导体球外任一点P的电位与电场分别为2010pr4qr4q)(210r1dRr14q21r220r210Pdr4qRr4qeeE图 点电荷位于接地导体球附近的场图 镜像电荷不能放在当前求解的场域内。镜像电荷等于负的感应电荷图1.7.4 接地导体球外的电场计算例例 设有一点电荷q置于相交成直角的两个半无限大导电平板之前，试分析如何求解这一电场。解：设想将导电板撤出，使整个空间充满介电常数为的介质。在如图所示的位置上，放入三个镜像电
22、荷。这样能保证原电场的边界条件不变。 3 3、点电荷关于无限大相交导体平面的镜像点电荷关于无限大相交导体平面的镜像原问题中的电场可看成由此四个电荷产生。注意：这种方法只能用来求第一象限的电场。 。 n0对于夹角为 的两个相连无限大导电平板间置有点电荷的问题，只要n为整数，在 区域内，可用镜像法解决。4. 点电荷关于无限大介质分平面的镜像ttEE21nnDD21边值问题：012022(下半空间)(除 q点外的上半空间) qqqqqq211图 点电荷对无限大介质分界面的镜像sin sinsincos coscos2r24q2r14q2r14q2r24q2r14q2r14qq q2121q2 q21
23、2和解： （1）线电荷l1在空间产生场强任取Q点作为参考点，则线电荷l1在空间一点电位 例:半径为a的接地导体圆柱外由一条和它平行的线电荷，密度为l1 ，与圆柱相距为d1。求空间电位函数。 ,2001rrEl01111100ln22QrllrrdlCrr5. 线电荷关于无限长圆柱导体的镜像（2）设 l1的镜像电荷l2在原点与l1的垂直连线上，与圆柱轴线距离的d2a2/d1 圆柱接地，在通过P2 的直径与圆周的两交点上的电位为零。 代入d2a2/d1 可得1220210120210101ln21ln201ln21ln2llllllCdaadCdada镜像电荷与原像电荷线密度大小相等，型号相反。
24、空间一点的电位 CrrrCrClll12012022101121ln2ln2ln2（3）如果圆柱不接地，则应在轴线上加pl1，以保持原边界条件（圆柱上净电荷为零，圆柱面为等位面）。 （4）如果圆柱不接地且线电荷密度为pl1，此时相当于在（3）的基础上，再在轴线上加线电荷密度为pl1，与（2）情况相同。当r1/r2k为常数时，为常数，等位面是偏心圆柱面族。图表示线电荷pl1和其镜像pl2形成的电力线和等位面图 如果取k1的面为零电位面，则圆柱面是等位面中的一个。在圆柱之外此图描述了带单位长度电荷pl1的导电圆柱和线电荷pl1共同形成的电场。镜像线电荷可看成是导体圆柱上电荷的对外作用中心线，称为等
25、效电轴等效电轴。同理将图中右侧的某一等位面用导体圆柱代替，不会影响柱外的电位和电场分布，只要导体圆柱带有单位长度电荷pl1。原来线电荷pl1的位置可看成是该导体圆柱的电轴。 1201ln2rrl当场域边界的几何形状比较复杂时，很难用解析法进行分析。应采用数值计算法。有限差分法将连续场域内的问题转化为离散系统的问题，通过离散化模型上各离散点的数值解来逼近连续场域内的真实解。1差分原理设有一函数f(x)，当独立变量x有一微小增量xh，相应f(x)的增量为：f(x)=f(x+h)-f(x),称为函数f(x)的差分。不同于增量为无限小的微分，差分被称为有限差分。当h很小时，f(x)df(x).3.5有
26、限差分法有限差分法dxdfxxfhxfxf)()(22222)()()()(dxfdhxfhxfxxf中心差分f(x)=f(x+h/2)-f(x-h/2)一阶差商：二阶差商 偏导数也可用差商近似表示。因而偏微分方程可表示为差分方程（代数方程）。 )(22222sfFyxL2以二维场为例，将边值问题转化为一组差分方程组（代数方程组）。设边值问题是(1)决定离散点的分布方式。按正方网格划分，网格边长（步长）h，网格线的交点称结点。设结点O上的电位为(xo,yo)= o, 结点1，2，3，4上的电位为1，2，3，4。任一点x的电位.)(! 31)(! 21)(333222oooooooxxxxxxx
27、xxx考虑1，3两点x1=xo+h, x3=xo-h 步距越小，误差越小。的偏导数。点的中心差商代替该点上式用项，将上二式相减足够小，忽略三次以上如果o2h.! 31! 21.! 31! 213133322233332221hxhxhxhxhxhxhxooooooooo044224321243212422223122的差分形式可表示成二维场的拉普拉斯方程分形式表示成二维场的泊松方程的差同理ooooooFhhyhx边界条件也可进行离散化处理，对第一类边值，可直接把点函数f(s)的值赋予各边界结点。 3差分方程的解法差分方程的解法设将场域划分如图.边界上的值分别为f1,f16。在各内点上作出差分，
28、泊松方程变成下列差分方程组解出关于1，2. 9的代数联立方程组，即可求出各点的函数值。 算法算法简单迭代法，以解拉普拉斯方程为例。（1）设定内点初值，用计算机解题时，可都取零值。40443214321即oo（2）按一固定顺序(从左到右，从下到上)依次利用 计算内点o点的新值。即o点的新值就是围绕该点的4个点的电位的平均值。如（j，k）点在第n1次迭代时按下式计算：4)(1, 11, 11,nkjnkjnkjnkjnkj当所有的内点都计算完后，用他们的新值代替旧值，完成一次迭代。再进行下一次迭代。直到每一点计算得到的新值与旧值之差小于指定的范围。这种方法的特点是用前一次迭代的得到的结点电位作为下
29、一次迭代时的初值。超松弛法简单迭代法收敛慢。超松弛法的改进： 4/ )(11,1, 11, 11,nkjnkjnkjnkjnkj（1） 即计算（j，k）点时，左边点（j-1,k）和下面点（j，k-1）用的是新值。这种迭代方法称为高斯赛德尔迭代法。 （2）将上式写成增量的形式，4/)4(,11,1, 11, 1,1,nkjnkjnkjnkjnkjnkjnkj引进加速收敛因子，在12之间。 )4(4,11,1, 11, 1,1,nkjnkjnkjnkjnkjnkjnkj加速解的收敛。2时，迭代过程将发散。 最佳收敛因子0的取值随问题而异。对第一类边值问题，正方形场域，网格按正方形划分，每边结点数p
30、1，则 )sin(120p一长直接地金属槽截面如图。其侧壁与底面的电位均为零，而顶盖电位4100。求槽内电位分布。 例例 解：解：二维场第一类边值问题。将二维场域划分成正方形网格，步距ha/4。场域内任一点电位应满足二维拉普拉斯方程的差分计算格式。采用超松弛迭代方法。迭代公式)4(4,11,1, 11, 1,1,nkjnkjnkjnkjnkjnkjnkj按 )sin(120p可算得1.17,所有内点从零值初始值开始迭代求解。本题第一类边值，结点与边界重合，所有网格点迭代前的初值如图。迭代次数N分别为1，2，3，4时各网格内点的数值解如图。 若规定各网格内点相邻两次迭代值的绝对误差应小于105，得到各内点的电位数值解如图。此时N13。从结果看电位分布关于y轴有对称性。实际计算可只一半区域，而将网格划分得更细。以得到更理想到数值解。
