1、第一讲 不定积分的概念与性质一、不定积分的概念一、不定积分的概念（一）原函数概念（二）不定积分概念（三）不定积分几何意义定义定义u例例(sin )cosxx sin x是是cosx的一个原函数的一个原函数()xx 323x3是是x23的一个原函数的一个原函数问题问题1. 1. 在什么条件下在什么条件下, , 一个函数的原函数存在一个函数的原函数存在 ? ?2. 2. 若原函数存在若原函数存在, , 是否唯一是否唯一 ? ?3. 3. 若原函数不唯一若原函数不唯一, ,其结构如何其结构如何? ?如果在区间如果在区间I上，可导函数上，可导函数( (x) )的导函数为的导函数为f( (x),),xI
2、 那么函数那么函数F( (x) )就称为就称为f ( (x)()(或或f( (x)d)dx) )在区间在区间I上的上的( )( )F xf x 都有都有d ( )( )d ,F xf xx 或或一个原函数一个原函数即对任一即对任一（一）原函数概念（一）原函数概念存在性存在性唯一性唯一性结构结构 f f ( (x x) )的原函数的原函数 若函数若函数f f( (x x) )在区间在区间I I上存在原函数，则原函数上存在原函数，则原函数不唯一不唯一( ( )( )F xf x ( ( )( )F xCf x F F( (x x)+)+C C F F( (x x) )的一个原函数的一个原函数任意常
3、数任意常数设设)(x 是是f (x)的另一个原函数的另一个原函数,则则CxFx )()(定理定理 如果函数如果函数f( (x) )在区间在区间I上连续，那么在区间上连续，那么在区间I上存在上存在可导函数可导函数F(x),使对任一使对任一xI ( )( )F xf x 都有都有（一）原函数概念（一）原函数概念存在性存在性唯一性唯一性结构结构 f f ( (x x) )的原函数的原函数 若函数若函数f f( (x x) )在区间在区间I I上存在原函数，则原函数上存在原函数，则原函数不唯一不唯一( ( )( )F xf x ( ( )( )F xCf x F F( (x x)+)+C C 定理定理
4、 如果函数如果函数f( (x) )在区间在区间I上连续，那么在区间上连续，那么在区间I上存在上存在可导函数可导函数F(x),使对任一使对任一xI ( )( )F xf x 都有都有（一）原函数概念（一）原函数概念l f f ( (x x) )在区间在区间I I上的原函数全上的原函数全体体( )df xx 其中：其中： 积分号积分号; ;)(xf 被积函数被积函数; ;xxfd )( 被积表达式被积表达式. .x 积分变量积分变量; ;若若, )()(xfxF则则CxFxxf)(d)( ( C C 为任意常数为任意常数) )u例例xexdCexxxdsinCx cos定义定义l 在区间在区间 I
5、 I 上上, , f f ( (x x) )的带有任意常数项的原的带有任意常数项的原函数函数记号记号表示表示f f ( (x x) () (或或f f ( (x x)d)dx x) )在区间在区间I I上的不定积上的不定积分分l注注在不定积分的表达式中在不定积分的表达式中, ,千万不要漏掉任意常数千万不要漏掉任意常数C C! !（二）不定积分概念（二）不定积分概念THANK YOUSUCCESS2022-5-227 7可编辑可编辑f f( (x x) )的原函数的图形称为的原函数的图形称为f f( (x x) )的的积分曲线积分曲线xxfd)(的图形的图形f f( (x x) )的所有积分曲线
6、组成的的所有积分曲线组成的平行曲线族平行曲线族yxo0 x（三）不定积分几何意义（三）不定积分几何意义 dd xxxfd )()(xfdxxfd )(xxfd)(或或d xC)(xF)(xF或或Cd)(xF)(xF性质性质1 1性质性质2 2性质性质3 3( )dk f xx ( )( )df xg xx xxfkd)(xxgxxfd)(d )()0( k性质性质4 4互逆性质互逆性质线性性质线性性质二、不定积分的性质二、不定积分的性质基本积分表基本积分表xkd) 1 ( k 为常数)Cxk xx d)2(Cx111xxd)3(Cx ln) 1(21d)4(xxCx arctanxxdcos)
7、6(Cxsin或Cx cotarc21d)5(xxCx arcsin或Cx cosarcxxdsin)7(Cx cos三、直接积分法举例三、直接积分法举例xx2cosd)8(xxdsec2Cxtanxx2sind)9(xxdcsc2Cx cotxxxdtansec)10(Cx secxxxdcotcsc)11(Cxcscxexd)12(Cexxaxd)13(CaaxlnCxchxxdsh)14(xxdch)15(Cxsh三、直接积分法举例三、直接积分法举例求求.d3xxx直接积分法直接积分法利用基本积分表与积分的性质直接计算函数的不定积分利用基本积分表与积分的性质直接计算函数的不定积分u例例1 1u例例2 2求求xexxd2 u例例3 3求求xxxd)1(23 u例例4 4求求xxdtan2 u例例5 5求求xxd2sin2 u例例6 6 求求xxxd2cos2sin122 u例例7 7 求求xxxd124 三、直接积分法举例三、直接积分法举例 小结小结一、不定积分的概念（原函数、不定积分的定义及几何意义）二、不定积分的性质（互逆性质、线性性质）三、直接积分法THANK YOUSUCCESS2022-5-221414可编辑可编辑
