1、第四节第四节 二次函数与幂函数二次函数与幂函数 【最新考纲】【最新考纲】 1.(1)了解幂函数的概念；了解幂函数的概念；(2)结合函数结合函数 yx，y x2，yx3，yx 1 2， ，yx 1 的图象的图象，了解它们的变化情况了解它们的变化情况.2.理解二理解二 次函数的图象和性质次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决 简单问题简单问题 1二次函数二次函数 (1)二次函数的三种形式二次函数的三种形式 一般式：一般式：f(x)ax2bxc(a0)； 顶点式：顶点式：f(x)a(xh)2k(a0)，顶点坐标为顶点坐标为(h，k)； 零
2、点式：零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2为为 f(x)的零点的零点 (2)二次函数的图象与性质二次函数的图象与性质 函数函数 yax2bxc(a0) yax2bxc(a 0) 图象图象 定义域定义域 R 值域值域 4acb2 4a ， ，4ac b2 4a 单调性单调性 在在 ， b 2a 上上减减 在在 b 2a， ， 上上增增 在在 ， b 2a 上增上增 在在 b 2a， ， 上上减减 对称性对称性 函数的图象关于函数的图象关于 x b 2a对称 对称 2.幂函数幂函数 (1)定义：形如定义：形如 yx ( R)的函数叫幂函数的函数叫幂函数，其中其中 x 是自变量
3、是自变量， 是常数是常数 (2)幂函数的图象幂函数的图象 (3)幂函数的性质幂函数的性质 1(质疑夯基质疑夯基)判断下列结论的正误判断下列结论的正误(正确的打正确的打“”“”，错误的错误的 打打“”“”) (1)二次函数二次函数 yax2bxc，xR，不可能是偶函数不可能是偶函数( ) (2)二 次函数二 次函数 yax2 bx c，x a，b的最 值一定 是的最 值一定 是 4acb2 4a .( ) (3)函数函数 y2x 1 3是幂函数是幂函数( ) (4)当当 n0 时时，幂函数幂函数 yxn在在(0，)上是增函数上是增函数( ) 答案：答案：(1) (2) (3) (4) 2已知点已
4、知点 M 3 3 ，3 在幂函数在幂函数 f(x)的图象上的图象上，则则 f(x)的表达式为的表达式为 ( ) Af(x)x2 Bf(x)x 2 Cf(x)x 1 2 Df(x)x1 2 解析：解析：设设 f(x)x ， ，则有则有 3 3 3 ， ，即即 33 2 ， 2 1， 2， f(x)x 2. 答案：答案：B 3(2017 佛山模拟佛山模拟)若若 f(x)(xa)(x4)为偶函数为偶函数，则实数则实数 a _ 解析：解析：f(x)x2(a4)x4a，由由 f(x)是偶函数知是偶函数知 a40，所以所以 a4. 答案：答案：4 4函数函数 f(x)x22(a1)x2 在区间在区间(，3
5、上是减函数上是减函数，则则 实数实数 a 的取值范围是的取值范围是_ 解析：解析：二次函数二次函数 f(x)的对称轴是的对称轴是 x1a，由题意知由题意知 1a3， a2. 答案：答案：(，2 5若幂函数若幂函数 y(m23m3)xm2m2 的图象不经过原点的图象不经过原点， 则实数则实数 m 的值为的值为_ 解析：解析：由由 m23m31 m2m20 ，解得解得 m1 或或 2. 经检验经检验 m1 或或 2 都适合都适合 答案：答案：1 或或 2 一个核心一个核心 二次函数、二次方程与二次不等式统称为二次函数、二次方程与二次不等式统称为“三个二次三个二次 ”，它们它们 常有机结合在一起常有
6、机结合在一起， 而二次函数又是而二次函数又是“三个二次三个二次”的核心的核心， 通过二次通过二次 函数的图象贯穿为一体因此函数的图象贯穿为一体因此，有关二次函数的问题有关二次函数的问题，充分利用二次充分利用二次 函数的图象是探求解题思路的有效方法函数的图象是探求解题思路的有效方法 一个结论一个结论 ax2bxc0，a0 恒成立的充要条件是恒成立的充要条件是 a0， b24ac0.ax 2 bx c0(a0)恒成立的充要条件是恒成立的充要条件是 a0 b24ac0 一个特征一个特征 幂函数幂函数 yx ( R)图象的特征图象的特征 0 时时，图象过原点和图象过原点和(1，1)，第一象限的图象上升
7、；第一象限的图象上升； 0 时时，图象不过原点图象不过原点，过过(1，1)，第一象限的图象下降第一象限的图象下降，反反 之也成立之也成立 两种方法两种方法 函数函数 yf(x)对称轴的判断方法对称轴的判断方法 1对于二次函数对于二次函数 yf(x)，如果对定义域内所有，如果对定义域内所有 x 都有都有 f(x1) f(x2)，那么函数那么函数 yf(x)的图象关于的图象关于 xx 1 x2 2 对称对称 2对于二次函数对于二次函数 yf(x)，如果对定义域内所有如果对定义域内所有 x，都有都有 f(ax) f(ax)成立的充要条件是函数成立的充要条件是函数 yf(x)的图象关于直线的图象关于直
8、线 xa 对称对称(a 为常数为常数) 一、选择题一、选择题 1(2016 孝感调研孝感调研)函数函数 f(x)(m2m1)xm是幂函数是幂函数，且在且在(0， )上为增函数上为增函数，则实数则实数 m 的值是的值是( ) A1 B2 C3 D1 或或 2 解析：解析：f(x)(m2m1)xm是幂函数是幂函数m2m11m1 或或 m2. 又又 f(x)在在(0，)上是增函数上是增函数，所以所以 m2. 答案：答案：B 2(2016 济南外国语济南外国语学校期中学校期中)已知已知 1，1，2，3，则使则使 函数函数 yx 的值域为 的值域为 R，且为奇函数的所有且为奇函数的所有 的值为的值为(
9、) A1，3 B1，1 C1，3 D1，1，3 解析：解析：因为因为函数为奇函数函数为奇函数，故，故的可能值为的可能值为1，1，3.又又 yx 1 的值域为的值域为y|y0，yx，yx3函数的值域都为函数的值域都为 R.所以符合要求的所以符合要求的 的值为的值为 1，3. 答案：答案：A 3已知函数已知函数 yax2bxc，如果如果 abc 且且 abc0，则则 它的图象可能是它的图象可能是( ) 解析：解析：由由 abc0，abc 知知 a0，c0， 则则c a 0， 排除排除 B、 C.又又 f(0)c0，所以也排除所以也排除 A. 答案：答案：D 4如果函数如果函数 f(x)x2bxc
10、对任意的对任意的 x 都有都有 f(x1)f(x)， 那么那么( ) Af(2)f(0)f(2) Bf(0)f(2)f(2) Cf(2)f(0)f(2) Df(0)f(2)f(2) 解析：解析：由由 f(1x)f(x)知知 f(x)的图象关于直线的图象关于直线 x1 2对称 对称，又抛又抛 物线物线 f(x)开口向上开口向上， f(0)f(2)f(2) 答案：答案：D 5若关于若关于 x 的不等式的不等式 x24x2a0 在区间在区间(1，4)内有解内有解，则则 实数实数 a 的取值范围是的取值范围是( ) Aa2 Ba2 Ca6 Da6 解析：解析： 不等式不等式 x24x2a0 在区间在区
11、间(1， 4)内有解等价于内有解等价于 a(x2 4x2)max， 令令 f(x)x24x2，x(1，4)， 所以所以 g(x)g(4)2，所以所以 a2. 答案：答案：A 6已知函数已知函数 yf(x)是偶函数是偶函数，当当 x0 时时，f(x)(x1)2，若当若当 x 2，1 2 时时，nf(x)m 恒成立恒成立，则则 mn 的最小值的最小值为为( ) A.1 3 B. 1 2 C.3 4 D 1 解解析：析：当当 x0 时时，x0， f(x)f(x)(x1)2， x 2，1 2 ， f(x)minf(1)0，f(x)maxf(2)1， m1，n0，mn1. mn 的最小值是的最小值是 1
12、. 答案：答案：D 二、填空题二、填空题 7若若 x1 时时，xa 1 1，则则 a 的取值范围是的取值范围是_ 解析：解析：x1，xa 1 1，a10，解得解得 a1. 答案：答案：a1 8已知已知 P23 2， ，Q 2 5 3， ，R 1 2 3， ，则则 P、Q、R 的大小关系的大小关系 是是_ 解析：解析： P23 2 2 2 3， ， 根据函数根据函数 yx3是是 R 上的增函数且上的增函数且 2 2 1 2 2 5， ， 得得 2 2 3 1 2 3 2 5 3， ，即即 PRQ. 答案：答案：PRQ 9(2016 西安二模西安二模)若方程若方程 x2ax2b0 的一个根在的一个
13、根在(0，1)内内， 另一个根在另一个根在(1，2)内内，则则b 2 a1的取值范围是 的取值范围是_ 解析：解析：令令 f(x)x2ax2b，方程方程 x2ax2b0 的一个根在的一个根在 (0，1)内内，另一个根在另一个根在(1，2)内内， f（ （0）0， f（1）0， f（2）0， b 0， a2b1， ab2， 根据根据约束条件作出约束条件作出可行域可行域， 可知可知1 4 b 2 a1 1. 答案：答案： 1 4， ，1 三、解答题三、解答题 10已知幂函数已知幂函数 f(x)x(m2m) 1(m N*)，经过点经过点(2， 2)，试试 确定确定 m 的值的值，并求满足条件并求满足
14、条件 f(2a)f(a1)的实数的实数 a 的取值范围的取值范围 解：解：幂函数幂函数 f(x)经过点经过点(2， 2)， 22(m2m) 1， ，即即 2 1 2 2(m2m) 1. m2m2.解得解得 m1 或或 m2. 又又mN*，m1. f(x)x 1 2， ，则函数的定义域为则函数的定义域为0，)，并且并且在定义域上为增在定义域上为增 函数函数 由由 f(2a)f(a1)得得 2 a0， a10， 2aa1， 解得解得 1a3 2. a 的取值范围为的取值范围为 1，3 2 . 11已知函数已知函数 f(x)x2(2a1)x3， (1)当当 a2，x2，3时时，求函数求函数 f(x)
15、的值域；的值域； (2)若函数若函数 f(x)在在1，3上的最大值为上的最大值为 1，求实数求实数 a 的值的值 解：解：(1)当当 a2 时时 f(x)x23x3，x2，3， 对称轴对称轴 x3 2 2，3， f(x)minf 3 2 9 4 9 2 321 4 ， f(x)maxf(3)15， 值域为值域为 21 4 ，15 . (2)对称轴为对称轴为 x2a 1 2 . 当当2a 1 2 1，即即 a1 2时 时， f(x)maxf(3)6a3， 6a31，即即 a1 3满足题意； 满足题意； 当当2a 1 2 1，即即 a1 2时 时， f(x)maxf(1)2a1， 2a11，即即 a1 满足题意满足题意 综上可知综上可知 a1 3或 或1.
