1、 1 / 49 图形的相似与位似图形的相似与位似 一、选择题一、选择题 1. （ 2014安徽省,第 9 题 4 分）如图，矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，动点 P 从 A 点出发， 按 ABC 的方向在 AB 和 BC 上移动，记 PA=x，点 D 到直线 PA 的距离为 y，则 y 关于 x 的函数图象大致是（ ） A B C D 考点： 动点问题的函数图象 分析： 点 P 在 AB 上时，点 D 到 AP 的距离为 AD 的长度，点 P 在 BC 上时，根据同 角的余角相等求出APB=PAD，再利用相似三角形的列出比例式整理得到 y 与 x 的关系 式，从而得解 解答： 解：点
2、P 在 AB 上时，0x3，点 D 到 AP 的距离为 AD 的长度，是定值 4； 点 P 在 BC 上时，3x5， APB+BAP=90 ， PAD+BAP=90 ， APB=PAD， 又B=DEA=90 ， ABPDEA， =， 即 = ， y=， 纵观各选项，只有 B 选项图形符合 故选 B 2 / 49 点评： 本题考查了动点问题函数图象， 主要利用了相似三角形的判定与性质， 难点在于根 据点 P 的位置分两种情况讨论 2. （2014广西玉林市、防城港市，第 7 题 3 分）ABC 与ABC是位似图形，且ABC 与ABC的位似比是 1：2，已知ABC 的面积是 3，则ABC的面积是（
3、 ） A3 B6 C9 D12 考点：位似变换 分析：利用位似图形的面积比等于位似比的平方，进而得出答案 解答：解：ABC 与ABC是位似图形，且ABC 与ABC的位似比是 1：2，ABC 的面积是 3， ABC 与ABC的面积比为：1：4， 则ABC的面积是：12 故选：D 点评： 此题主要考查了位似图形的性质， 利用位似图形的面积比等于位似比的平方得出是解 题关键 3(2014 年天津市，第 8 题 3 分)如图，在ABCD 中，点 E 是边 AD 的中点，EC 交对角线 BD 于点 F，则 EF：FC 等于（ ） A 3：2 B 3：1 C 1：1 D 1：2 考点： 平行四边形的性质；
4、相似三角形的判定与性质 分析： 根据题意得出DEFBCF，进而得出=，利用点 E 是边 AD 的中点得出答 案即可 解答： 解：ABCD，故 ADBC， 3 / 49 DEFBCF， =， 点 E 是边 AD 的中点， AE=DE= AD， = 故选：D 点评： 此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，得出 DEFBCF 是解题关键 4.（2014毕节地区，第 12 题 3 分）如图，ABC 中，AE 交 BC 于点 D，C=E，AD： DE=3：5，AE=8，BD=4，则 DC 的长等于（ ） A B C D 考点：相似三角形的判定与性质 分析：根据已知条件得出ADC
5、BDE，然后依据对应边成比例即可求得 解答：解：C=E，ADC=BDE， ADCBDE， =， 又AD：DE=3：5，AE=8， AD=3，DE=5， BD=4， = ， DC=， 故应选 A 4 / 49 点评：本题考查了相似三角形的判定和性质：对应角相等的三角形是相似三角形，相似三角 形对应边成比例 5.（2014武汉，第 6 题 3 分）如图，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A（6，6），B（8，2）， 以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 AB 缩小为原来的 后得到线段 CD，则端点 C 的坐标为（ ） A（3，3） B（4，3） C（3，1） D（4，1） 考点：位似变换；坐
6、标与图形性质 分析：利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出 C 点坐标 解答：解：线段 AB 的两个端点坐标分别为 A（6，6），B（8，2），以原点 O 为位似中 心，在第一象限内将线段 AB 缩小为原来的 后得到线段 CD， 端点 C 的坐标为：（3，3） 故选：A 点评： 此题主要考查了位似图形的性质， 利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解 题关键 6. （2014 年江苏南京，第 3 题，2 分）若ABCABC，相似比为 1：2，则ABC 与 ABC的面积的比为（ ） A1：2 B 2：1 C 1：4 D 4：1 考点：相似三角形的性质 分析：根据相似三角形面积的比等于相
7、似比的平方计算即可得解 解答：ABCABC，相似比为 1：2，ABC 与ABC的面积的比为 1：4故 选 C 点评： 本题考查了相似三角形的性质， 熟记相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的 5 / 49 关键 7. （2014 年江苏南京，第 6 题，2 分）如图，在矩形 AOBC 中，点 A 的坐标是（2，1） ， 点 C 的纵坐标是 4，则 B、C 两点的坐标分别是（ ） （第 2 题图） A （ ，3） 、 （ ，4） B （ ，3） 、 （ ，4） C （ ， ） 、 （ ，4） D （ ， ） 、 （ ，4） 考点：矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质。
8、 分析：首先过点 A 作 ADx 轴于点 D，过点 B 作 BEx 轴于点 E，过点 C 作 CFy 轴， 过点 A 作 AFx 轴，交点为 F，易得CAFBOE，AODOBE，然后由相似三 角形的对应边成比例，求得答案 解答：过点 A 作 ADx 轴于点 D，过点 B 作 BEx 轴于点 E，过点 C 作 CFy 轴，过 点 A 作 AFx 轴，交点为 F， 四边形 AOBC 是矩形，ACOB，AC=OB，CAF=BOE， 在ACF 和OBE 中，CAFBOE（AAS） ， BE=CF=41=3，AOD+BOE=BOE+OBE=90 ， AOD=OBE，ADO=OEB=90 ，AODOBE，
9、即， OE= ，即点 B（ ，3） ，AF=OE= ， 点 C 的横坐标为：（2 ）= ，点 D（ ，4） 故选 B 点评：此题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性 质此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用 8 （2014 年山东泰安，第 10 题 3 分）在ABC 和A1B1C1中，下列四个命题： （1）若 AB=A1B1，AC=A1C1，A=A1，则ABCA1B1C1； 6 / 49 （2）若 AB=A1B1，AC=A1C1，B=B1，则ABCA1B1C1； （3）若A=A1，C=C1，则ABCA1B1C1； （4）若 AC：A1C1=C
10、B：C1B1，C=C1，则ABCA1B1C1 其中真命题的个数为（ ） A4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 分析：分别利用相似三角形的判定和全等三角形的判定定理进行判断即可得到正确的选 项 解： （1）若 AB=A1B1，AC=A1C1，A=A1，能用 SAS 定理判定ABCA1B1C1，正 确； （2）若 AB=A1B1，AC=A1C1，B=B1，不能判定ABCA1B1C1，错误； （3）若A=A1，C=C1，能判定ABCA1B1C1，正确； （4）若 AC：A1C1=CB：C1B1，C=C1，能利用两组对应边的比相等且夹角相等的两 三角形相似判定ABCA1B1C1，正确故选 B
11、点评： 本题考查了命题与定理的知识， 解题的关键是掌握三角形全等和相似的判定方法 二二.填空题填空题 1.（2014邵阳，第 14 题 3 分）如图，在ABCD 中，F 是 BC 上的一点，直线 DF 与 AB 的 延长线相交于点 E，BPDF，且与 AD 相交于点 P，请从图中找出一组相似的三角形： ABPAED 考点：相似三角形的判定；平行四边形的性质 专题：开放型 分析： 可利用平行于三角形的一边的直线与其他两边相交， 所构成的三角形与原三角形相似 判断ABPAED 解答：解：BPDF， ABPAED 故答案为ABPAED 7 / 49 点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角
12、形的一边的直线与其他两边相交， 所构成的三角形与原三角形相似； 2 （2014 云南昆明，第 14 题 3 分）如图，将边长为 6cm 的正方形 ABCD 折叠，使点 D 落 在 AB 边的中点 E 处，折痕为 FH，点 C 落在 Q 处，EQ 与 BC 交 于点 G，则EBG 的周长是 cm 考点：折叠、勾股定理、三角形相似 分析：根据折叠性质可得 90F EG，先由勾股定理求出 AF、 EF 的长度，再根据AFEBEG可求出 EG、BG 的长度 解答：解：根据折叠性质可得 90F EG，设,AFx则 xEF6，在 RtAEF 中， 222 EFAEAF，即 222 )6(3xx，解得： 4
13、 9 x，所以 4 15 , 4 9 EFAF 根据AFEBEG， 可得 EG EF BG AE BE AF ， 即 EGBG 3 3 4 15 4 9 ， 所以5, 4EGBG， 所以EBG 的周长为 3+4+5=12。 故填 12 点评：本题考查了折叠的性质，勾股定理的运用及三角形相似问题. 3. （2014泰州，第 15 题，3 分）如图，A、B、C、D 依次为一直线上 4 个点，BC=2，BCE 为等边三角形，O 过 A、D、E3 点，且AOD=120 设 AB=x，CD=y，则 y 与 x 的函数 关系式为 y= （x0） （第 1 题图） 考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的
14、性质；圆周角定理 第14题图 Q H G F E D CB A 8 / 49 分析：连接 AE，DE，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，求得AED=120 ，然后 求得ABEECD根据相似三角形的对应边对应成比例即可表示出 x 与 y 的关系，从而 不难求解 解答：解：连接 AE，DE， AOD=120 ， 为 240 ， AED=120 ， BCE 为等边三角形，来源:163文库 BEC=60 ； AEB+CED=60 ； 又EAB+AEB=60 ， EAB=CED， ABE=ECD=120 ； =， 即 = ， y= （x0） 点评： 此题主要考查学生圆周角定理以及对相似三角形的判定与
15、性质及反比例函数的实际运 用能力 4.（2014滨州，第 15 题 4 分）如图，平行于 BC 的直线 DE 把ABC 分成的两部分面积相 等，则= 9 / 49 考点：相似三角形的判定与性质来源:学#科#网 分析：根据相似三角形的判定与性质，可得答案 解答：解：DEBC， ADEABC SADE=S四边形BCDE， ， ， 故答案为： 点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质， 平行于三角形一边截三角形另外两边所得的三 角形与原三角形相似，相似三角形面积的比等于相似比 三三.解答题解答题 1. （ 2014安徽省,第 17 题 8 分）如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，
16、给出了格点ABC（顶点是网格线的交点） （1）将ABC 向上平移 3 个单位得到A1B1C1，请画出A1B1C1； （2）请画一个格点A2B2C2，使A2B2C2ABC，且相似比不为 1 10 / 49 考点： 作图相似变换；作图-平移变换 分析： （1）利用平移的性质得出对应点位置，进而得出答案； （2）利用相似图形的性质，将各边扩大 2 倍，进而得出答案 解答： 解： （1）如图所示：A1B1C1即为所求； （2）如图所示：A2B2C2即为所求 点评： 此题主要考查了相似变换和平移变换，得出变换后图形对应点位置是解题关键 2. （ 2014安徽省,第 18 题 8 分）如图，在同一平面内，
17、两条平行高速公路 l1和 l2间有一条 “Z”型道路连通， 其中 AB 段与高速公路 l1成 30 角， 长为 20km； BC 段与 AB、 CD 段都垂直， 长为 10km，CD 段长为 30km，求两高速公路间的距离（结果保留根号） 考点： 解直角三角形的应用 分析： 过 B 点作 BEl1，交 l1于 E，CD 于 F，l2于 G在 RtABE 中，根据三角函数求 得 BE，在 RtBCF 中，根据三角函数求得 BF，在 RtDFG 中，根据三角函数求得 FG， 再根据 EG=BE+BF+FG 即可求解 解答： 解：过 B 点作 BEl1，交 l1于 E，CD 于 F，l2于 G 在
18、RtABE 中，BE=ABsin30 =20 =10km， 11 / 49 在 RtBCF 中，BF=BC cos30 =10=km， CF=BFsin30 = =km， DF=CDCF=（30）km， 在 RtDFG 中，FG=DFsin30 =（30） =（15）km， EG=BE+BF+FG=（25+5）km 故两高速公路间的距离为（25+5）km 点评： 此题考查了解直角三角形的应用， 主要是三角函数的基本概念及运算， 关键把实际 问题转化为数学问题加以计算 3 （ 2014安徽省,第 19 题 10 分）如图，在O 中，半径 OC 与弦 AB 垂直，垂足为 E，以 OC 为直径的圆与
19、弦 AB 的一个交点为 F，D 是 CF 延长线与O 的交点若 OE=4，OF=6， 求O 的半径和 CD 的长 考点： 垂径定理；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质 专题： 计算题 分析： 由 OEAB 得到OEF=90 ，再根据圆周角定理由 OC 为小圆的直径得到 OFC=90 ，则可证明 RtOEFRtOFC，然后利用相似比可计算出O 的半径 OC=9； 接着在 RtOCF 中，根据勾股定理可计算出 C=3，由于 OFCD，根据垂径定理得 CF=DF，所以 CD=2CF=6 12 / 49 解答： 解：OEAB， OEF=90 ， OC 为小圆的直径， OFC=90 ， 而EO
20、F=FOC， RtOEFRtOFC， OE：OF=OF：OC，即 4：6=6：OC， O 的半径 OC=9； 在 RtOCF 中，OF=6，OC=9， CF=3， OFCD， CF=DF， CD=2CF=6 点评： 本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考 查了勾股定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质 4. （ 2014福建泉州，第 25 题 12 分）如图，在锐角三角形纸片 ABC 中，ACBC，点 D， E，F 分别在边 AB，BC，CA 上 （1）已知：DEAC，DFBC 判断 四边形 DECF 一定是什么形状？ 裁剪 当 AC=24cm，BC=20cm
21、，ACB=45 时，请你探索：如何剪四边形 DECF，能使它的面积最 大，并证明你的结论； （2）折叠 请你只用两次折叠，确定四边形的顶点 D，E，C，F，使它恰好为菱形，并说明你的折法和 理由 13 / 49 考点：四边形综合题 分析： （1）根据有两组对边互相平行的四边形是平行四边形即可求得，根据 ADFABC 推出对应边的相似比，然后进行转换，即可得出 h 与 x 之间的函数关系式， 根据平行四边形的面积公式，很容易得出面积 S 关于 h 的二次函数表达式，求出顶点坐标， 就可得出面积 s 最大时 h 的值 （2）第一步，沿ABC 的对角线对折，使 C 与 C1 重合，得到三角形 ABB
22、1，第二步，沿 B1 对折，使 DA1BB1 解答：解： （1）DEAC，DFBC， 四边形 DECF 是平行四边形 作 AGBC，交 BC 于 G，交 DF 于 H， ACB=45 ，AC=24cm AG=12， 设 DF=EC=x，平行四边形的高为 h， 则 AH=12h， DFBC， =， BC=20cm， 即：= x= 20， S=xh=x 20=20hh2 =6， AH=12， 14 / 49 AF=FC， 在 AC 中点处剪四边形 DECF，能使它的面积最大 （2）第一步，沿ABC 的对角线对折，使 C 与 C1重合，得到三角形 ABB1，第二步，沿 B1 对折，使 DA1BB1
23、理由：对角线互相垂直平分的四边形是菱形 点评：本题考查了相似三角形的判定及性质、菱形的判定、二次函数的最值关键在于根据 相似三角形及已知条件求出相关线段的表达式，求出二次函数表达式，即可求出结论 5. （ 2014广东，第 25 题 9 分）如图，在ABC 中，AB=AC，ADAB 于点 D，BC=10cm， AD=8cm点 P 从点 B 出发，在线段 BC 上以每秒 3cm 的速度向点 C 匀速运动，与此同时， 垂直于 AD 的直线 m 从底边 BC 出发，以每秒 2cm 的速度沿 DA 方向匀速平移，分别交 AB、 AC、AD 于 E、F、H，当点 P 到达点 C 时，点 P 与直线 m
24、同时停止运动，设运动时间为 t 秒（t0） （1）当 t=2 时，连接 DE、DF，求证：四边形 AEDF 为菱形； （2）在整个运动过程中，所形成的PEF 的面积存在最大值，当PEF 的面积最大时，求 线段 BP 的长； （3）是否存在某一时刻 t，使PEF 为直角三角形？若存在，请求出此时刻 t 的值；若不存 在，请说明理由 15 / 49 考点：相似形综合题 分析： （1）如答图 1 所示，利用菱形的定义证明； （2）如答图 2 所示，首先求出PEF 的面积的表达式，然后利用二次函数的性质求解； （3）如答图 3 所示，分三种情形，需要分类讨论，分别求解 解答： （1）证明：当 t=2
25、时，DH=AH=2，则 H 为 AD 的中点，如答图 1 所示 又EFAD，EF 为 AD 的垂直平分线，AE=DE，AF=DF AB=AC，ADAB 于点 D，ADBC，B=C EFBC，AEF=B，AFE=C， AEF=AFE，AE=AF， AE=AF=DE=DF，即四边形 AEDF 为菱形 （2）解：如答图 2 所示，由（1）知 EFBC， AEFABC， ，即，解得：EF=10 t SPEF= EFDH= （10 t）2t= t2+10t= （t2）2+10 当 t=2 秒时，SPEF存在最大值，最大值为 10，此时 BP=3t=6 （3）解：存在理由如下：来源:163文库 ZXXK
26、若点 E 为直角顶点，如答图 3所示， 此时 PEAD，PE=DH=2t，BP=3t PEAD，即，此比例式不成立，故此种情形不存在； 若点 F 为直角顶点，如答图 3所示， 此时 PEAD，PF=DH=2t，BP=3t，CP=103t PFAD，即，解得 t=； 16 / 49 若点 P 为直角顶点，如答图 3所示 过点 E 作 EMBC 于点 M，过点 F 作 FNBC 于点 N，则 EM=FN=DH=2t，EMFNAD EMAD，即，解得 BM= t， PM=BPBM=3t t= t 在 RtEMP 中，由勾股定理得：PE2=EM2+PM2=（2t）2+（ t）2=t2 FNAD，即，解
27、得 CN= t， PN=BCBPCN=103t t=10t 在 RtFNP 中，由勾股定理得：PF2=FN2+PN2=（2t）2+（10t）2=t285t+100 在 RtPEF 中，由勾股定理得：EF2=PE2+PF2， 即： （10 t）2=（t2）+（t285t+100） 化简得：t235t=0， 解得：t=或 t=0（舍去） t= 综上所述，当 t=秒或 t=秒时，PEF 为直角三角形 点评：本题是运动型综合题，涉及动点与动线两种运动类型第（1）问考查了菱形的定义； 第（2）问考查了相似三角形、图形面积及二次函数的极值；第（3）问考查了相似三角形、 勾股定理、解方程等知识点，重点考查了
28、分类讨论的数学思想 17 / 49 6. （ 2014珠海，第 18 题 7 分）如图，在 RtABC 中，BAC=90 ，AB=4，AC=3，线段 AB 为半圆 O 的直径，将 RtABC 沿射线 AB 方向平移，使斜边与半圆 O 相切于点 G，得 DEF，DF 与 BC 交于点 H （1）求 BE 的长； （2）求 RtABC 与DEF 重叠（阴影）部分的面积 考点：切线的性质；扇形面积的计算；平移的性质 专题：计算题 分析：（1） 连结 OG， 先根据勾股定理计算出 BC=5， 再根据平移的性质得 AD=BE， DF=AC=3， EF=BC=5， EDF=BAC=90 ， 由于 EF 与
29、半圆 O 相切于点 G， 根据切线的性质得 OGEF， 然后证明 RtEOGRtEFD，利用相似比可计算出 OE=，所以 BE=OEOB= ； （2）求出 BD 的长度，然后利用相似比例式求出 DH 的长度，从而求出BDH，即阴影部 分的面积 解答：解： （1）连结 OG，如图， BAC=90 ，AB=4，AC=3， BC=5， RtABC 沿射线 AB 方向平移，使斜边与半圆 O 相切于点 G，得DEF， AD=BE，DF=AC=3，EF=BC=5，EDF=BAC=90 ， EF 与半圆 O 相切于点 G， OGEF， AB=4，线段 AB 为半圆 O 的直径， OB=OG=2， GEO=D
30、EF， RtEOGRtEFD， =，即= ，解得 OE=， 18 / 49 BE=OEOB=2= ； （2）BD=DEBE=4 = DFAC， ，即， 解得：DH=2 S阴影=SBDH= BDDH= 2= ， 即 RtABC 与DEF 重叠（阴影）部分的面积为 点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径也考查了平移的性质、勾 股定理和相似三角形的判定与性质 7. （ 2014珠海，第 21 题 9 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在边 AD 上，点 F 在边 BC 的延长线上，连结 EF 与边 CD 相交于点 G， 连结 BE 与对角线 AC 相交于点 H， AE=CF
31、， BE=EG （1）求证：EFAC； （2）求BEF 大小； （3）求证：= 考点：四边形综合题 分析： （1）根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定 19 / 49 （2）先确定三角形 GCF 是等腰直角三角形，得出 CG=AE，然后通过BAEBCG，得 出 BE=BG=EG，即可求得 （3）因为三角形 BEG 是等边三角形，ABC=90 ，ABE=CBG，从而求得ABE=15 ， 然后通过求得AHBFGB，即可求得 解答：解： （1）四边形 ABCD 是正方形， ADBF， AE=CF， 四边形 ACFE 是平行四边形， EFAC， （2）连接 BG， EFAC， F=AC
32、B=45 ， GCF=90 ， CGF=F=45 ， CG=CF， AE=CF， AE=CG， 在BAE 与BCG 中， ， BAEBCG（SAS） BE=BG， BE=EG， BEG 是等边三角形， BEF=60 ， （3）BAEBCG， ABE=CBG， BAC=F=45 ， AHBFGB， 20 / 49 =， EBG=60 ABE=CBG，ABC=90 ， ABE=15 ， = 点评：本题考查了平行四边形的判定及性质，求得三角形的判定及 性质，正方形的性质， 相似三角形的判定及性质，连接 BG 是本题的关键 8. （ 2014广西玉林市、防城港市，第 23 题 9 分）如图的O 中，A
33、B 为直径，OCAB， 弦 CD 与 OB 交于点 F，过点 D、A 分别作O 的切线交于点 G，并与 AB 延长线交于点 E （1）求证：1=2 （2）已知：OF：OB=1：3，O 的半径为 3，求 AG 的长 考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质 专题：证明题 分析： （1）连结 OD，根据切线的性质得 ODDE，则2+ODC=90 ，而C=ODC， 则2+C=90 ，由 OCOB 得C+3=90 ，所以2=3，而1=3， 所以1=2； （2） 由 OF： OB=1： 3， O 的半径为 3 得到 OF=1， 由 （1） 中1=2 得 EF=ED， 在 RtODE 中，DE=x，则 E
34、F=x，OE=1+x，根据勾股定理得 32+t2=（t+1） 2，解得 t=4，则 DE=4，OE=5， 21 / 49 根据切线的性质由 AG 为O 的切线得GAE=90 ，再证明 RtEODRtEGA，利用相似 比可计算出 AG 解答： （1）证明：连结 OD，如图， DE 为O 的切线， ODDE， ODE=90 ，即2+ODC=90 ， OC=OD， C=ODC， 2+C=90 ， 而 OCOB， C+3=90 ， 2=3， 1=3， 1=2； （2）解：OF：OB=1：3，O 的半径为 3， OF=1， 1=2， EF=ED， 在 RtODE 中，OD=3，DE=x，则 EF=x，O
35、E=1+x，来源:163文库 OD2+DE2=OE2， 32+t2=（t+1）2，解得 t=4， DE=4，OE=5， AG 为O 的切线， AGAE， GAE=90 ， 而OED=GEA， RtEODRtEGA， =，即=， AG=6 22 / 49 点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径也考查了勾股定理和相似 三角形的判定与性质来源:163文库 ZXXK 来源:学科网 ZXXK 9. （ 2014广西玉林市、防城港市，第 25 题 10 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 M 是 BC 边上的任一点，连接 AM 并将线段 AM 绕 M 顺时针旋转 90 得到线段 MN，
36、在 CD 边上取点 P 使 CP=BM，连接 NP，BP （1）求证：四边形 BMNP 是平行四边形； （2）线段 MN 与 CD 交于点 Q，连接 AQ，若MCQAMQ，则 BM 与 MC 存在怎样的 数量关系？请说明理由 考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；正方形的性质 分析： （1）根据正方形的性质可得 AB=BC，ABC=B，然后利用“边角边”证明ABM 和 BCP 全等，根据全等三角形对应边相等可得 AM=BP，BAM=CBP，再求出 AMBP， 从而得到 MNBP，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可； （2）根据同角的余角相等求出BAM=CMQ
37、，然后求出ABM 和MCQ 相似，根据相 似三角形对应边成比例可得=，再求出AMQABM，根据相似三角形对应边成比 例可得=，从而得到=，即可得解 解答： （1）证明：在正方形 ABCD 中，AB=BC，ABC=B， 在ABM 和BCP 中， 23 / 49 ， ABMBCP（SAS） ， AM=BP，BAM=CBP， BAM+AMB=90 ， CBP+AMB=90 ， AMBP， AM 并将线段 AM 绕 M 顺时针旋转 90 得到线段 MN， AMMN，且 AM=MN， MNBP， 四边形 BMNP 是平行四边形； （2）解：BM=MC 理由如下：BAM+AMB=90 ，AMB+CMQ=9
38、0 ， BAM=CMQ， 又B=C=90 ， ABMMCQ， =， MCQAMQ， AMQABM， =， =， BM=MC 点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平 行四边形的判定， （1）求出两个三角形全等是解题的关键， （2）根据相似于同一个三角形的 两个三角形相似求出AMQABM 是解题的关键 24 / 49 10(2014 年四川资阳，第 23 题 11 分)如图，已知直线 l1l2，线段 AB 在直线 l1上，BC 垂 直于 l1交 l2于点 C，且 AB=BC，P 是线段 BC 上异于两端点的一点，过点 P 的直线分别交 l2、l1于点 D、
39、E（点 A、E 位于点 B 的两侧） ，满足 BP=BE，连接 AP、CE （1）求证：ABPCBE； （2）连结 AD、BD，BD 与 AP 相交于点 F如图 2 当=2 时，求证：APBD； 当=n（n1）时，设PAD 的面积为 S1，PCE 的面积为 S2，求的值 考点： 相似形综合题 分析： （1）求出ABP=CBE，根据 SAS 推出即可； （2）延长 AP 交 CE 于点 H，求出 APCE，证出CPDBPE，推出 DP=PE，求出平 行四边形 BDCE，推出 CEBD 即可； 分别用 S 表示出PAD 和PCE 的面积，代入求出即可 解答： （1）证明：BC直线 l1， ABP=
40、CBE， 在ABP 和CBE 中 ABPCBE（SAS） ； （2）证明：延长 AP 交 CE 于点 H， ABPCBE， PAB=ECB， PAB+AEE=ECB+AEH=90 ， APCE， 25 / 49 =2，即 P 为 BC 的中点，直线 l1直线 l2， CPDBPE， = ， DP=PE， 四边形 BDCE 是平行四边形， CEBD， APCE， APBD； 解：=N BC=nBP，来源:163文库 CP=（n1）BP， CDBE， CPDBPE， =n1， 即 S2=（n1）S， SPAB=SBCE=nS， PAE=（n+1）S， =n1， S1=（n+1） （n1）S， =n
41、+1 26 / 49 点评： 本题考查了平行四边形的性质和判定， 相似三角形的性质和判定， 全等三角形的性 质和判定的应用，主要考查了学生的推理能力，题目比较好，有一定的难度 11.（2014武汉，第 24 题 10 分）如图，RtABC 中，ACB=90 ，AC=6cm，BC=8cm，动 点 P 从点 B 出发， 在 BA 边上以每秒 5cm 的速度向点 A 匀速运动， 同时动点 Q 从点 C 出发， 在 CB 边上以每秒 4cm 的速度向点 B 匀速运动，运动时间为 t 秒（0t2），连接 PQ （1）若BPQ 与ABC 相似，求 t 的值； （2）连接 AQ，CP，若 AQCP，求 t
42、的值； （3）试证明：PQ 的中点在ABC 的一条中位线上 考点：相似形综合题 分析：（1）分两种情况讨论：当BPQBAC 时，=，当BPQBCA 时， =，再根据 BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，代入计算即可； （2）过 P 作 PMBC 于点 M，AQ，CP 交于点 N，则有 PB=5t，PM=3t，MC=84t，根据 ACQCMP，得出=，代入计算即可； （3）作 PEAC 于点 E，DFAC 于点 F，先得出 DF=，再把 QC=4t，PE=8BM=8 4t 代入求出 DF，过 BC 的中点 R 作直线平行于 AC，得出 RC=DF，D 在过 R 的中位线上， 从
43、而证出 PQ 的中点在ABC 的一条中位线上 解答：解：（1）当BPQBAC 时， =，BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm， =， t=1； 当BPQBCA 时， 27 / 49 =， =， t=， t=1 或时，BPQ 与ABC 相似； （2）如图所示，过 P 作 PMBC 于点 M，AQ，CP 交于点 N，则有 PB=5t，PM=3t，MC=8 4t， NAC+NCA=90 ，PCM+NCA=90 ， NAC=PCM 且ACQ=PMC=90 ， ACQCMP， =， =， 解得：t= ； （3）如图，仍有 PMBC 于点 M，PQ 的中点设为 D 点，再作 PEAC 于点
44、 E，DFAC 于点 F， ACB=90 ， DF 为梯形 PECQ 的中位线， DF=， QC=4t，PE=8BM=84t， 28 / 49 DF=4， BC=8，过 BC 的中点 R 作直线平行于 AC， RC=DF=4 成立，来源:学.科.网 D 在过 R 的中位线上， PQ 的中点在ABC 的一条中位线上 点评： 此题考查了相似形综合， 用到的知识点是相似三角形的判定与性质、 中位线的性质等， 关键是画出图形作出辅助线构造相似三角形，注意分两种情况讨论 12 （2014四川自贡，第 23 题 12 分）阅读理解： 如图，在四边形 ABCD 的边 AB 上任取一点 E（点 E 不与 A、
45、B 重合） ，分别连接 ED、EC， 可以把四边形 ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把 E 叫做四边 形 ABCD 的边 AB 上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把 E 叫做四边形 ABCD 的边 AB 上的“强相似点”解决问题： （1） 如图， A=B=DEC=45 ， 试判断点 E 是否是四边形 ABCD 的边 AB 上的相似点， 并说明理由； （2）如图，在矩形 ABCD 中，A、B、C、D 四点均在正方形网格（网格中每个小正方形 的边长为 1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图中画出矩形 ABCD 的边 AB 上 的强相似点； （3）如图，将矩形 ABCD 沿 CM 折叠，使点 D 落在 AB 边上的点 E 处，若点 E 恰好是四 边形 ABCM 的边 AB 上的一个强相似点，试探究 AB 与 BC 的数量关系 考点：相似形综合题 分析： （1）要证明点 E 是四边形 ABCD 的 AB 边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就 行，很容易
