1、 1 / 17 弧长与扇形面积弧长与扇形面积 一、选择题一、选择题 1. （ 2014珠海，第 4 题 3 分）已知圆柱体的底面半径为 3cm，髙为 4cm，则圆柱体的侧面 积为（ ） 来源: 163文库 ZXXK来 源:Z。xx。 k.Com A 24cm2 B 36cm2 C 12cm2 D 24cm2 考点： 圆柱的计算 分析： 圆柱的侧面积=底面周长 高，把相应数值代入即可求解 解答： 解：圆柱的侧面积=2 3 4=24 故选 A 点评： 本题考查了圆柱的计算，解题的关键是弄清圆柱的侧面积的计算方法 2. （ 2014广西贺州，第 11 题 3 分）如图，以 AB 为直径的O 与弦 C
2、D 相交于点 E，且 AC=2，AE=，CE=1则弧 BD 的长是（ ） 来源: 学.科.网 Z.X.X.K A B C D 考点： 垂径定理；勾股定理；勾股定理的逆定理；弧长的计算 分析： 连接 OC，先根据勾股定理判断出ACE 的形状，再由垂径定理得出 CE=DE，故 2 / 17 =，由锐角三角函数的定义求出A 的度数，故可得出BOC 的度数，求出 OC 的长，再根据弧长公式即可得出结论 解答： 解：连接 OC， ACE 中，AC=2，AE=，CE=1， AE2+CE2=AC2， ACE 是直角三角形，即 AECD， sinA=， A=30 ， COE=60 ， =sinCOE，即=，解
3、得 OC=， AECD， =， = 故选 B 点评： 本题考查的是垂径定理，涉及到直角三角形的性质、弧长公式等知识，难度适中 3(2014 年四川资阳，第 9 题 3 分)如图，扇形 AOB 中，半径 OA=2，AOB=120 ，C 是 的中点，连接 AC、BC，则图中阴影部分面积是（ ） 3 / 17 A 2 B 2 C D 考点： 扇形面积的计算 分析： 连接 OC，分别求出AOC、BOC、扇形 AOC，扇形 BOC 的面积，即可求出答 案 解答： 解：连接 OC， AOB=120 ，C 为弧 AB 中点， AOC=BOC=60 ， OA=OC=OB=2， AOC、BOC 是等边三角形，
4、AC=BC=OA=2， AOC 的边 AC 上的高是=， BOC 边 BC 上的高为， 阴影部分的面积是 2+ 2= 2， 故选 A 点评： 本题考查了扇形的面积，三角形的面积，等边三角形的性质和判定，圆周角定理的 应用，解此题的关键是能求出各个部分的面积，题目比较好，难度适中来源:学,科,网 Z,X,X,K 4 （2014 年云南省，第 7 题 3 分）已知扇形的圆心角为 45 ，半径长为 12，则该扇形的弧 长为（ ） A、 B 2 C 3 D 12 考点： 弧长的计算 4 / 17 分析： 根据弧长公式 l=，代入相应数值进行计算即可 解答： 解：根据弧长公式：l=3， 故选：C 点评：
5、 此题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长公式 l= 5 （2014舟山，第 8 题 3 分）一个圆锥的侧面展开图是半径为 6 的半圆，则这个圆锥的底 面半径为（ ） A 1.5来 源:Z+xx+k.Com B 2 C 2.5 D 3 考点： 圆锥的计算 分析： 半径为 6 的半圆的弧长是 6， 圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长， 因而圆锥 的底面周长是 6，然后利用弧长公式计算 解答： 解：设圆锥的底面半径是 r， 则得到 2r=6， 解得：r=3， 这个圆锥的底面半径是 3 故选 D 点评： 本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两 者之间的两个对应关系
6、： （1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径； （2）圆锥的 底面周长等于侧面展开图的扇形弧长正确对这两个关系的记忆是解题的关键 6.（2014襄阳，第 11 题 3 分）用一个圆心角为 120 ，半径为 3 的扇形作一个圆锥的侧面， 则这个圆锥的底面半径为（ ） A B 1 C D 2 考点： 圆锥的计算 分析： 易得扇形的弧长，除以 2 即为圆锥的底面半径 5 / 17 解答： 解：扇形的弧长= =2， 故圆锥的底面半径为 2 2=1 故选 B 点评： 考查了扇形的弧长公式； 圆的周长公式； 用到的知识点为： 圆锥的弧长等于底面周长 7 （2014四川自贡，第 8 题 4 分）一个扇形的
7、半径为 8cm，弧长为cm，则扇形的圆心 角为（ ） A 60 来源:学。科。 网 B 120 C 150 D 180 考点： 弧长的计算 分析： 首先设扇形圆心角为 x ，根据弧长公式可得： =，再解方程即可 解答： 解：设扇形圆心角为 x ，根据弧长公式可得： =， 解得：n=120， 故选：B 点评： 此题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长计算公式：l= 8 （2014 台湾，第 16 题 3 分）如图， 、 、 、均为以 O 点为圆心所画出的四个相异弧，其度数 均为 60 ，且 G 在 OA 上，C、E 在 AG 上，若 ACEG，OG1，AG2，则与两弧长的和 为何？( ) A B4
8、 3 C3 2 D8 5 来源:学|科|网 分析：设 ACEGa，用 a 表示出 CE22a，CO3a，EO1a，利用扇形弧长公 式计算即可 6 / 17 解：设 ACEGa，CE22a，CO3a，EO1a， 2(3a)60 360 2(1a)60 360 6 (3a1a) 4 3 故选 B 点评：本题考查了弧长的计算，熟悉弧长的计算公式是解题的关键 9. （2014 浙江金华，第 10 题 4 分）一张圆心角为 45 的扇形纸板和圆形纸板按如图方式剪 得一个正方形，边长都为 1，则扇形纸板和圆形纸板的面积比是【 】 A5:4 B5:2 C5:2 D5: 2 【答案】A. 【解析】 故选 A.
9、 7 / 17 考点：1. 等腰直角三角形的判定和性质；2. 勾股定理；3. 扇形面积和圆面积的计算. 10 （2014浙江宁波，第 5 题 4 分）圆锥的母线长为 4，底面半径为 2，则此圆锥的侧面积 是（ ） A 6 B 8 C 12 D 16 考点： 圆锥的计算 专题： 计算题 分析： 根据圆锥的侧面展开图为一扇形， 这个扇形的弧长等于圆锥底面 的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解 解答： 解：此圆锥的侧面积= 422=8 故选 B 点评： 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形 的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长 11.（2014济
10、宁，第 5 题 3 分）如果圆锥的母线长为 5cm，底面半径为 2cm，那么这个圆锥 的侧面积为（ ） A 10cm2 B 10cm2 C 20cm2 D 20cm2 考点： 圆锥的计算 分析： 圆锥的侧面积=底面周长 母线长 2 解答： 解：圆锥的侧面积=2 2 5 2=10 故选 B 点评： 本题考查了圆锥的计算，解题的关键是知道圆锥的侧面积的计算方法 12.（2014 年山东泰安，第 19 题 3 分）如图，半径为 2cm，圆心角为 90 的扇形 OAB 中，分 别以 OA、OB 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ） 8 / 17 A （1）cm2 B （+1）cm2 C 1cm2
11、 D cm2 分析：假设出扇形半径，再表示出半圆面积，以及扇形面积，进而即可表示出两部分 P， Q 面积相等连接 AB，OD，根据两半圆的直径相等可知AOD=BOD=45 ，故可得出 绿色部分的面积=SAOD，利用阴影部分 Q 的面积为：S扇形AOBS半圆S绿色，故可得出结 论 解： 扇形 OAB 的圆心角为 90 ， 假设扇形半径为 2， 扇形面积为：= （cm2） ， 半圆面积为： 12=（cm2） ，SQ+SM =SM+SP=（cm2） ， SQ=SP，连接 AB，OD， 两半圆的直径相等，AOD=BOD=45 ，S绿色=SAOD= 2 1=1（cm2） ，来源: 163文库 阴影部分
12、Q 的面积为：S扇形AOBS半圆S绿色=1=1（cm2） 故选：A 点评： 此题主要考查了扇形面积求法， 根据题意作出辅助线， 构造出等腰直角三角形 是解答此题的关键 二.填空题 1. （ 2014福建泉州，第 17 题 4 分）如图，有一直径是米的圆形铁皮，现从中剪出一个 圆周角是 90 的最大扇形 ABC，则： （1）AB 的长为 1 米； （2）用该扇形铁皮围成一个圆锥，所得圆锥的底面圆的半径为 米 9 / 17 考点： 圆锥的计算；圆周角定理 专题： 计算题 分析： （1）根据圆周角定理由BAC=90 得 BC 为O 的直径，即 BC=，根据等腰直角 三角形的性质得 AB=1； （2）
13、由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，则 2r=，然后解方程即可 解答： 解： （1）BAC=90 ， BC 为O 的直径，即 BC=， AB=BC=1； （2）设所得圆锥的底面圆的半径为 r， 根据题意得 2r=， 解得 r= 故答案为 1， 点评： 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面 的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长也考查了圆周角定理 2 （2014浙江宁波，第 18 题 4 分）如图，半径为 6cm 的O 中，C、D 为直径 AB 的三 等分点，点 E、F 分别在 AB 两侧的半圆上，BCE=BDF=60 ，连接 AE、
14、BF，则图中两 个阴影部分的面积为 6 cm2 10 / 17 考点： 垂径定理； 全等三角形的判定与性质； 含 30 度角的直角三角形； 勾股定理 分析： 作三角形 DBF 的轴对称图形，得到三角形 AGE，三角形 AGE 的面积就是 阴影部分的面积来源:163文库 ZXXK 解答： 解：如图作DBF 的轴对称图形HAG，作 AMCG，ONCE， DBF 的轴对称图形HAG， ACGBDF， ACG=BDF=60 ， ECB=60 ， G、C、E 三点共线， AMCG，ONCE， AMON， = ， 在 RTONC 中，OCN=60 ， ON=sinOCNOC=OC， OC= OA=2， O
15、N=， AM=2， ONGE， 11 / 17 NE=GN= GE， 连接 OE， 在 RTONE 中，NE=， GE=2NE=2， SAGE= GEAM= 2 2=6， 图中两个阴影部分的面积为 6， 故答案为 6 点评： 本题考查了平行线的性质，垂径定理，勾股定理的应用 3.（2014呼和浩特，第 11 题 3 分）一个底面直径是 80cm，母线长为 90cm 的圆锥的侧面展 开图的圆心角的度数为 160 考点： 圆锥的计算 专题： 计算题 分析： 根据圆锥的底面直径求得圆锥的侧面展开扇形的弧长， 再利用告诉的母线长求得圆锥 的侧面展开扇形的面积， 再利用扇形的另一种面积的计算方法求得圆锥
16、的侧面展开图 的圆心角即可 解答： 解：圆锥的底面直径是 80cm， 圆锥的侧面展开扇形的弧长为：d=80， 母线长 90cm， 圆锥的侧面展开扇形的面积为： lr= 80 90=3600， =3600， 解得：n=160 故答案为：160 点评： 本题考查了圆锥的有关计算， 解决此类题目的关键是明确圆锥的侧面展开扇形与圆锥 的关系 4.（2014德州，第 15 题 4 分）如图，正三角形 ABC 的边长为 2，D、E、F 分别为 BC、CA、 AB 的中点， 以 A、 B、 C 三点为圆心， 半径为 1 作圆， 则圆中阴影部分的面积是 12 / 17 考点： 扇形面积的计算；等边三角形的性质
17、；相切两圆的性质 分析： 观察发现，阴影部分的面积等于正三角形 ABC 的面积减去三个圆心角是 60 ，半径是 2 的扇形的面积 解答： 解：连接 AD ABC 是正三角形，BD=CD=2， BAC=B=C=60 ，ADBC AD= 阴影部分的面积= 23= 故答案为： 点评： 此题主要考查了扇形面积的计算，能够正确计算正三角形的面积和扇形的面积正三 角形的面积等于边长的平方的倍，扇形的面积= 三三.解答题解答题 1. （ 2014广东， 第 24 题 9 分） 如图， O 是ABC 的外接圆， AC 是直径， 过点 O 作 ODAB 于点 D，延长 DO 交O 于点 P，过点 P 作 PEA
18、C 于点 E，作射线 DE 交 BC 的延长线于 F 点，连接 PF （1）若POC=60 ，AC=12，求劣弧 PC 的长； （结果保留 ） （2）求证：OD=OE； （3）求证：PF 是O 的切线 13 / 17 考点： 切线的判定；弧长的计算 分析： （1）根据弧长计算公式 l= 进行计算即可； （2）证明POEADO 可得 DO=EO； （3）连接 AP，PC，证出 PC 为 EF 的中垂线，再利用CEPCAP 找出角的关系 求解 解答： （1）解：AC=12， CO=6， =2； （2）证明：PEAC，ODAB， PEA=90 ，ADO=90 在ADO 和PEO 中， ， POEAO
19、D（AAS） ， OD=EO； （3）证明：如图，连接 AP，PC， OA=OP， OAP=OPA， 由（1）得 OD=EO， 14 / 17 ODE=OED， 又AOP=EOD， OPA=ODE， APDF， AC 是直径， APC=90 ， PQE=90 PCEF， 又DPBF， ODE=EFC， OED=CEF， CEF=EFC， CE=CF， PC 为 EF 的中垂线， EPQ=QPF， CEPCAP EPQ=EAP， QPF=EAP， QPF=OPA， OPA+OPC=90 ， QPF+OPC=90 ， OPPF， PF 是O 的切线 点评： 本题主要考查了切线的判定， 解题的关键是
20、适当的作出辅助线， 准确的找出角的关系 2.（2014襄阳，第 23 题 7 分）如图，在正方形 ABCD 中，AD=2，E 是 AB 的中点，将BEC 绕点 B 逆时针旋转 90 后，点 E 落在 CB 的延长线上点 F 处，点 C 落在点 A 处再将线段 AF 绕点 F 顺时针旋转 90 得线段 FG，连接 EF，CG （1）求证：EFCG； 15 / 17 （2）求点 C，点 A 在旋转过程中形成的，与线段 CG 所围成的阴影部分的面积 考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；扇形面积的计算 分析： （1）根据正方形的性质可得 AB=BC=AD=2，ABC=90 ，再根据
21、旋转变化只改变图 形的位置不改变图形的形状可得ABF 和CBE 全等， 根据全等三角形对应角相等可 得FAB=ECB，ABF=CBE=90 ，全等三角形对应边相等可得 AF=EC，然后求 出AFB+FAB=90 ，再求出CFG=FAB=ECB，根据内错角相等，两直线平行 可得 ECFG，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形 EFGC 是平行四边形，然后根据平行四边形的对边平行证明； （2）求出 FE、BE 的长，再利用勾股定理列式求出 AF 的长，根据平行四边形的性质 可得FEC 和CGF 全等， 从而得到 SFEC=SCGF， 再根据 S阴影=S扇形BAC+SABF+SF
22、GC S扇形FAG列式计算即可得解 解答： （1）证明：在正方形 ABCD 中，AB=BC=AD=2，ABC=90 ， BEC 绕点 B 逆时针旋转 90 得到ABF， ABFCBE， FAB=ECB，ABF=CBE=90 ，AF=EC， AFB+FAB=90 ， 线段 AF 绕点 F 顺时针旋转 90 得线段 FG， AFB+CFG=AFG=90 ， CFG=FAB=ECB， ECFG， AF=EC，AF=FG， EC=FG， 四边形 EFGC 是平行四边形， EFCG； 16 / 17 （2）解：AD=2，E 是 AB 的中点， FE=BE= AB= 2=1， AF=， 由平行四边形的性质
23、，FECCGF， SFEC=SCGF， S阴影=S扇形BAC+SABF+SFGCS扇形FAG， =+ 2 1+ （1+2） 1， = 点评： 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转变换的性质，勾股定理的 应用，扇形的面积计算，综合题，但难度不大，熟记各性质并准确识图是解题的关键 3 （2014 云南昆明，第 22 题 8 分）如图，在ABC 中， ABC=90 ，D 是边 AC 上的一点，连接 BD，使A=21， E 是 BC 上的一点，以 BE 为直径的O 经过点 D. （1）求证：AC 是O 的切线； （2）若A=60 ，O 的半径为 2，求阴影部分的面积.（结 果保留根号和
24、 ） 考点： 切线的判定；阴影部分面积. 分析： （1）连接 OD，求出A=DOC，推出ODC=90 ，根据切线的判定推出即可； （2）先求出ODCRt的面积，再求出扇形 ODC 的面积，即可求出阴影部分面积 第22题图 E O C B A 1 D 17 / 17 解答： （1）证明：如图，连接 OD ODOB ， 21， 12DOC， 12A， DOCA， ABC=90 ， 90CA 90CODC， 90ODC OD 为半径， AC 是O 的切线； （2）解： 60DOCA，2OD 在ODCRt中， OD DC 60tan 323260tan ODDC 32322 2 1 2 1 DCODS ODCRt 3 2 360 260 360 22 rn S ODE扇形 3 2 32 ODEODCRt SSS 扇形阴影 点评： 本题考查了等量代换、切线的判定、三角形面积、扇形面积等知识点的应用，主要考 查学生的推理能力.
