1、 1 / 36 点直线与圆的位置关系点直线与圆的位置关系 一、选择题一、选择题 1(2014 年天津市，第 7 题 3 分)如图，AB 是O 的弦，AC 是O 的切线，A 为切点，BC 经过圆心若B=25 ，则C 的大小等于（ ） A 20 B 25 C 40 D 50 考点： 切线的性质 分析： 连接 OA，根据切线的性质，即可求得C 的度数 解答： 解：如图，连接 OA， AC 是O 的切线， OAC=90 ， OA=OB， B=OAB=25 ， AOC=50 ， C=40 点评： 本题考查了圆的切线性质， 以及等腰三角形的性质， 已知切线时常用的辅助线是连 接圆心与切点 2.（2014邵
2、阳，第 8 题 3 分）如图，ABC 的边 AC 与O 相交于 C、D 两点，且经过圆心 O，边 AB 与O 相切，切点为 B已知A=30 ，则C 的大小是（ ） 2 / 36 A 30 B 45 C 60 D 40 考点： 切线的性质 专题： 计算题 分析： 根据切线的性质由 AB 与O 相切得到 OBAB，则ABO=90 ， 利用A=30 得到AOB=60 ，再根据三角形外角性质得 AOB=C+OBC， 由于C=OBC， 所以C=AOB=30 解答： 解：连结 OB，如图， AB 与O 相切， OBAB， ABO=90 ， A=30 ， AOB=60 ， AOB=C+OBC， 而C=OBC
3、， C=AOB=30 故选 A 点评： 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径 3. （2014益阳，第 8 题，4 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，半径为 2 的P 的圆心 P 的坐标为 （3， 0） ， 将P 沿 x 轴正方向平移， 使P 与 y 轴相切， 则平移的距离为 （ ） 3 / 36 （第 1 题图） A 1 B 1 或 5 C 3 D 5 考点： 直线与圆的位置关系；坐标与图形性质 分析： 平移分在 y 轴的左侧和 y 轴的右侧两种情况写出答案即可 解答： 解：当P 位于 y 轴的左侧且与 y 轴相切时，平移的距离为 1； 当P 位于 y 轴的右侧且与 y
4、轴相切时，平移的距离为 5 故选 B 点评： 本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的 距离等于圆的半径 4 （2014 年山东泰安， 第 18 题 3 分） 如图， P 为O 的直径 BA 延长线上的一点， PC 与O 相切，切点为 C，点 D 是上一点，连接 PD已知 PC=PD=BC下列结论： （1）PD 与O 相切； （2）四边形 PCBD 是菱形； （3）PO=AB； （4）PDB=120 其中正确的个数为（ ） A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 分析： （1）利用切线的性质得出PCO=90 ，进而得出PCOPDO（SSS） ，即 可得
5、出PCO=PDO=90 ，得出答案即可； （2）利用（1）所求得出：CPB=BPD，进而求出CPBDPB（SAS） ，即可得出 答案； （3）利用全等三角形的判定得出PCOBCA（ASA） ，进而得出 CO= PO= AB； （4）利用四边形 PCBD 是菱形，CPO=30 ，则 DP=DB，则DPB=DBP=30 ，求出 即可 4 / 36 解： （1）连接 CO，DO， PC 与O 相切，切点为 C，PCO=90 ， 在PCO 和PDO 中，PCOPDO（SSS） ，PCO=PDO=90 ， PD 与O 相切，故此选项正确； （2）由（1）得：CPB=BPD， 在CPB 和DPB 中，CP
6、BDPB（SAS） ， BC=BD，PC=PD=BC=BD，四边形 PCBD 是菱形，故此选项正确； （3）连接 AC， PC=CB，CPB=CBP，AB 是O 直径，ACB=90 ， 在PCO 和BCA 中，PCOBCA（ASA） ， AC=CO，AC=CO=AO，COA=60 ，CPO=30 ， CO= PO= AB，PO=AB，故此选项正确； （4）四边形 PCBD 是菱形，CPO=30 ， DP=DB，则DPB=DBP=30 ，PDB=120 ，故此选项正确；故选：A 点评：此题主要考查了切线的判定与性质和全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与 性质等知识，熟练利用全等三角形的判定与性
7、质是解题关键 二二.填空题填空题 1. （ 2014广西玉林市、 防城港市， 第 16 题 3 分） 如图， 直线 MN 与O 相切于点 M， ME=EF 且 EFMN，则 cosE= 考点： 切线的性质；等边三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值 5 / 36 专题： 计算题 分析： 连结 OM，OM 的反向延长线交 EF 与 C，由直线 MN 与O 相切于点 M，根据切线 的性质得 OMMF，而 EFMN，根据平行线的性质得到 MCEF，于是根据垂径定 理有 CE=CF，再利用等腰三角形的判定得到 ME=MF，易证得MEF 为等边三角形， 所以E=60 ，然后根据特殊角的三角函数值求解 解
8、答： 解：连结 OM，OM 的反向延长线交 EF 与 C，如图， 直线 MN 与O 相切于点 M， OMMF， EFMN， MCEF， CE=CF， ME=MF， 而 ME=EF， ME=EF=MF， MEF 为等边三角形， E=60 ， cosE=cos60 = 故答案为 点评： 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径也考查了垂径定理、等边 三角形的判定与性质和特殊角的三角函数值 2（2014温州， 第16题5分） 如图， 在矩形ABCD中， AD=8， E是边AB上一点， 且AE= AB O 经过点 E， 与边 CD 所在直线相切于点 G （GEB 为锐角） ， 与边 AB 所
9、在直线交于另一点 F， 且 EG：EF=：2当边 AB 或 BC 所在的直线与O 相切时，AB 的长是 6 / 36 考点： 切线的性质；矩形的性质 分析：来 源:Z,xx,k.Com 过点 G 作 GNAB，垂足为 N，可得 EN=NF，由 EG：EF=：2，得：EG： EN=：1，依据勾股定理即可求得 AB 的长度 解答： 解：如图，过点 G 作 GNAB，垂足为 N， EN=NF， 又EG：EF=：2， EG：EN=：1， 又GN=AD=8， 设 EN=x，则，根据勾股定理得： ，解得：x=4，GE=， 设O 的半径为 r，由 OE2=EN2+ON2 得：r2=16+（8r）2， r=5
10、OK=NB=5， EB=9， 又 AE= AB， AB=12 故答案为 12 点评： 本题考查了切线的性质以及勾股定理和垂径定理的综合应用，解答本题的关 7 / 36 键在于做好辅助线，利用勾股定理求出对应圆的半径 3 （2014四川自贡，第 14 题 4 分）一个边长为 4cm 的等边三角形 ABC 与O 等高，如 图放置，O 与 BC 相切于点 C，O 与 AC 相交于点 E，则 CE 的长为 3 cm 考点： 切线的性质；垂径定理；圆周角定理；弦切角定理 分析： 连接 OC，并过点 O 作 OFCE 于 F，根据等边三角形的性质，等边三角形的高等于 底边高的倍题目中一个边长为 4cm 的
11、等边三角形 ABC 与O 等高，说明O 的 半径为，即 OC=， 又ACB=60 ，故有OCF=30 ，在 RtOFC 中，可得出 FC 的长，利用垂径定理即 可得出 CE 的长 解答： 解：连接 OC，并过点 O 作 OFCE 于 F， 且ABC 为等边三角形，边长为 4， 故高为 2，即 OC=， 又ACB=60 ，故有OCF=30 ， 在 RtOFC 中，可得 FC=， 即 CE=3 故答案为：3 点评： 本题主要考查了切线的性质和等边三角形的性质和解直角三角形的有关知识 题目不 是太难，属于基础性题目 4 （2014浙江湖州，第 9 题 3 分）如图，已知正方形 ABCD，点 E 是边
12、 AB 的中点，点 O 是线段 AE 上的一个动点（不与 A、E 重合） ，以 O 为圆心，OB 为半径的圆与边 AD 相交于 8 / 36 点 M，过点 M 作O 的切线交 DC 于点 N，连接 OM、ON、BM、BN记MNO、AOM、 DMN 的面积分别为 S1、S2、S3，则下列结论不一定成立的是（ ） AS1S2+S3 B AOMDMN C MBN=45 D MN=AM+CN 分析： （1）如图作 MPAO 交 ON 于点 P，当 AM=MD 时，求得 S1=S2+S3， （2） 利用MN是O的切线， 四边形ABCD为正方形， 求得AMODMN （3）作 BPMN 于点 P，利用 RT
13、MABRTMPB 和 RTBPNRTBCN 来证明 C，D 成立 解： （1）如图，作 MPAO 交 ON 于点 P， 点 O 是线段 AE 上的一个动点，当 AM=MD 时，S梯形ONDA= （OA+DN）AD SMNO= MPAD， （OA+DN）=MP，SMNO= S梯形ONDA，S1=S2+S3， 不一定有 S1S2+S3， （2）MN 是O 的切线，OMMN， 又四边形 ABCD 为正方形， A=D=90 ， AMO+DMN=90 ， AMO+AOM=90 ， AOM=DMN， 在AMO 和DMN 中，AMODMN故 B 成立， （3）如图，作 BPMN 于点 P， MN，BC 是O
14、 的切线，PMB= MOB，CBM= MOB， ADBC，CBM=AMB，AMB=PMB， 在 RtMAB 和 RtMPB 中，RtMABRtMPB（AAS） AM=MP，ABM=MBP，BP=AB=BC， 在 RtBPN 和 RtBCN 中，RtBPNRtBCN（HL） PN=CN，PBN=CBN，MBN=MBP+PBN， MN=MN+PN=AM+CN故 C，D 成立，综上所述，A 不一定成立，故选：A 9 / 36 点评： 本题主要考查了圆的切线及全等三角形的判定和性质， 关键是作出辅助线利用三角形 全等证明 5 （2014 浙江金华，第 16 题 4 分）如图 2 是装有三个小轮的手拉车
15、在“爬”楼梯时的侧面示 意图，定长的轮架杆 OA，OB，OC 抽象为线段，有 OA=OB=OC，且AOB=120 ，折线 NGGHHEEF 表示楼梯，CH，EF 是水平线，NG，HE 是铅垂线，半径相等的小轮子 A，B 与楼梯两边相切，且 AOGH. （1）如图 2，若点 H 在线段 OB 上，则 BH OH 的值是 （2）如果一级楼梯的高度 HE8 32 cm，点 H 到线段 OB 的距离 d 满足条件d3cm， 那么小轮子半径 r 的取值范围是 【答案】 （1）3； （2）11 3 3r8 . 【解析】 10 / 36 2 3 rd d2 32 3MI 3 IJdMIrd, HM3r2d
16、cos33t3030an3 3 . 考点：1. 直角三角形的构造；2.锐角三角函数定义；3.特殊角的三角函数值；4. 矩形的判定 和性质；5.切线的性质；6.二次根式化简. 6. （2014湘潭，第 14 题，3 分）如图，O 的半径为 3，P 是 CB 延长线上一点，PO=5， PA 切O 于 A 点，则 PA= 4 （第 1 题图） 考点： 切线的性质；勾股定理 分析： 先根据切线的性质得到 OAPA，然后利用勾股定理计算 PA 的长 解答： 解：PA 切O 于 A 点， 11 / 36 OAPA， 在 RtOPA 中，OP=5，OA=3， PA=4 故答案为 4 点评： 本题考查了切线的
17、性质：圆的切线垂直于经过切点的半径也考查了勾股定理 三三.解答题解答题 1. （ 2014广东， 第 24 题 9 分） 如图， O 是ABC 的外接圆， AC 是直径， 过点 O 作 ODAB 于点 D，延长 DO 交O 于点 P，过点 P 作 PEAC 于点 E，作射线 DE 交 BC 的延长线于 F 点，连接 PF （1）若POC=60 ，AC=12，求劣弧 PC 的长； （结果保留 ） （2）求证：OD=OE； （3）求证：PF 是O 的切线 考点： 切线的判定；弧长的计算 分析： （1）根据弧长计算公式 l= 进行计算即可； （2）证明POEADO 可得 DO=EO； （3）连接 A
18、P，PC，证出 PC 为 EF 的中垂线，再利用CEPCAP 找出角的关系 求解 解答： （1）解：AC=12， CO=6， =2； （2）证明：PEAC，ODAB， PEA=90 ，ADO=90 在ADO 和PEO 中， 12 / 36 ， POEAOD（AAS） ， OD=EO； （3）证明：如图，连接 AP，PC， OA=OP， OAP=OPA， 由（1）得 OD=EO， ODE=OED， 又AOP=EOD， OPA=ODE， APDF， AC 是直径， APC=90 ， PQE=90 PCEF， 又DPBF， ODE=EFC， OED=CEF， CEF=EFC， CE=CF， PC 为
19、 EF 的中垂线， EPQ=QPF， CEPCAP EPQ=EAP， 13 / 36 QPF=EAP， QPF=OPA， OPA+OPC=90 ， QPF+OPC=90 ， OPPF， PF 是O 的切线 点评： 本题主要考查了切线的判定， 解题的关键是适当的作出辅助线， 准确的找出角的关系 2. （ 2014珠海，第 18 题 7 分）如图，在 RtABC 中，BAC=90 ，AB=4，AC=3，线段 AB 为半圆 O 的直径，将 RtABC 沿射线 AB 方向平移，使斜边与半圆 O 相切于点 G，得 DEF，DF 与 BC 交于点 H （1）求 BE 的长； （2）求 RtABC 与DEF
20、 重叠（阴影）部分的面积 考点： 切线的性质；扇形面积的计算；平移的性质 专题： 计算题 分析： （1） 连结 OG， 先根据勾股定理计算出 BC=5， 再根据平移的性质得 AD=BE， DF=AC=3， EF=BC=5，EDF=BAC=90 ，由于 EF 与半圆 O 相切于点 G，根据切线的性质得 OGEF， 然后证明 RtEOGRtEFD， 利用相似比可计算出 OE=， 所以 BE=OE OB= ； （2）求出 BD 的长度，然后利用相似比例式求出 DH 的长度，从而求出BDH，即 阴影部分的面积 解答： 解： （1）连结 OG，如图， BAC=90 ，AB=4，AC=3， BC=5， 1
21、4 / 36 RtABC 沿射线 AB 方向平移，使斜边与半圆 O 相切于点 G，得DEF， AD=BE，DF=AC=3，EF=BC=5，EDF=BAC=90 ， EF 与半圆 O 相切于点 G， OGEF， AB=4，线段 AB 为半圆 O 的直径， OB=OG=2， GEO=DEF， RtEOGRtEFD， =，即= ，解得 OE=， BE=OEOB=2= ； （2）BD=DEBE=4 = DFAC， ，即， 解得：DH=2 S阴影=SBDH= BDDH= 2= ， 即 RtABC 与DEF 重叠（阴影）部分的面积为 点评： 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径也考查了平移的
22、性质、勾 股定理和相似三角形的判定与性质 3. （ 2014广西贺州，第 25 题 10 分）如图，AB，BC，CD 分别与O 相切于 E，F，G且 ABCDBO=6cm，CO=8cm （1）求证：BOCO； （2）求 BE 和 CG 的长 15 / 36 考点： 切线的性质；相似三角形的判定与性质 分析： （1）由 ABCD 得出ABC+BCD=180 ，根据切线长定理得出 OB、OC 平分 EBF 和BCG，也就得出了OBC+OCB=（ABC+DCB）= 180 =90 从 而证得BOC 是个直角，从而得出 BOCO； （2）根据勾股定理求得 AB=10cm，根据 RTBOFRTBCO 得
23、出 BF=3.6cm，根 据切线长定理得出 BE=BF=3.6cm，CG=CF，从而求得 BE 和 CG 的长 解答： 来 源:学.科. 网 Z.X.X.K （1）证明：ABCD ABC+BCD=180 AB、BC、CD 分别与O 相切于 E、F、G， BO 平分ABC，CO 平分DCB， OBC=，OCB=， OBC+OCB=（ABC+DCB）= 180 =90 ， BOC=90 ， BOCO （2）解：连接 OF，则 OFBC， RTBOFRTBCO， =， 在 RTBOF 中，BO=6cm，CO=8cm， BC=10cm， =， BF=3.6cm， AB、BC、CD 分别与O 相切， B
24、E=BF=3.6cm，CG=CF， 16 / 36 CF=BCBF=103.6=6.4cm CG=CF=6.4cm 点评： 本题主要考查了直角梯形的性质和切线长定理的综合运用属于基础题 4. （ 2014广西玉林市、防城港市，第 23 题 9 分）如图的O 中，AB 为直径，OCAB， 弦 CD 与 OB 交于点 F，过点 D、A 分别作O 的切线交于点 G，并与 AB 延长线交于点 E （1）求证：1=2 （2）已知：OF：OB=1：3，O 的半径为 3，求 AG 的长 考点： 切线的性质；相似三角形的判定与性质 专题： 证明题 分析： （1）连结 OD，根据切线的性质得 ODDE，则2+O
25、DC=90 ，而C=ODC， 则2+C=90 ，由 OCOB 得C+3=90 ，所以2=3，而1=3， 所以1=2； （2）由 OF：OB=1：3，O 的半径为 3 得到 OF=1，由（1）中1=2 得 EF=ED， 在 RtODE 中， DE=x， 则 EF=x， OE=1+x， 根据勾股定理得 32+t2= （t+1） 2， 解得 t=4， 则 DE=4，OE=5，根据切线的性质由 AG 为O 的切线得GAE=90 ，再证明 RtEODRtEGA，利用相似比可计算出 AG 解答： （1）证明：连结 OD，如图， DE 为O 的切线， 17 / 36 ODDE， ODE=90 ，即2+ODC
26、=90 ， OC=OD， C=ODC， 2+C=90 ， 而 OCOB， C+3=90 ， 2=3， 1=3， 1=2； （2）解：OF：OB=1：3，O 的半径为 3， OF=1， 1=2， EF=ED， 在 RtODE 中，OD=3，DE=x，则 EF=x，OE=1+x， OD2+DE2=OE2， 32+t2=（t+1）2，解得 t=4， DE=4，OE=5， AG 为O 的切线， AGAE， GAE=90 ， 而OED=GEA， RtEODRtEGA， =，即=， AG=6 18 / 36 点评： 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径也考查了勾股定理和相似 三角形的判定与性
27、质 5(2014 年四川资阳，第 21 题 9 分)如图，AB 是O 的直径，过点 A 作O 的切线并在 其上取一点 C，连接 OC 交O 于点 D，BD 的延长线交 AC 于 E，连接 AD （1）求证：CDECAD； （2）若 AB=2，AC=2，求 AE 的长来源:163文库 ZXXK 考点： 切线的性质；相似三角形的判定与性质 专题： 证明题 分析： （1）根据圆周角定理由 AB 是O 的直径得到ADB=90 ，则B+BAD=90 ， 再根据切线的性质得 AC 为O 的切线得BAD+DAE=90 ，则B=CAD， 由于B=ODB，ODB=CDE，所以B=CDE，则CAD=CDE，加上
28、ECD=DCA，根据三角形相似的判定方法即可得到CDECAD； （2）在 RtAOC 中，OA=1AC=2，根据勾股定理可计算出 OC=3，则 CD=OCOD=2， 然后利用CDECAD，根据相似比可计算出 CE 解答： （1）证明：AB 是O 的直径， ADB=90 ， B+BAD=90 ， AC 为O 的切线， BAAC， 19 / 36 BAC=90 ，即BAD+DAE=90 ， B=CAD， OB=OD， B=ODB， 而ODB=CDE， B=CDE， CAD=CDE， 而ECD=DCA， CDECAD； （2）解：AB=2， OA=1， 在 RtAOC 中，AC=2， OC=3， C
29、D=OCOD=31=2， CDECAD， =，即=， CE= 点评： 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径也考查了勾股定理、圆 周角定理和相似三角形的判定与性质 6（2014新疆， 第 21 题 10 分） 如图， AB 是O 的直径， 点 F， C 是O 上两点， 且=， 连接 AC，AF，过点 C 作 CDAF 交 AF 延长线于点 D，垂足为 D （1）求证：CD 是O 的切线； （2）若 CD=2，求O 的半径 20 / 36 考点： 切线的判定 专题：来 源:163文库 证明题 分析： （1） 连结 OC， 由=， 根据圆周角定理得FAC=BAC， 而OAC=OCA，
30、则FAC=OCA，可判断 OCAF，由于 CDAF，所以 OCCD，然后根据 切线的判定定理得到 CD 是O 的切线； （2）连结 BC，由 AB 为直径得ACB=90 ，由=得BOC=60 ，则 BAC=30 ，所以DAC=30 ，在 RtADC 中，利用含 30 度的直角三角形三 边的关系得 AC=2CD=4，在 RtACB 中，利用含 30 度的直角三角形三边 的关系得 BC=AC=4，AB=2BC=4，所以O 的半径为 4 解答： （1）证明：连结 OC，如图， =，来源:学_科_网 Z_X_X_K FAC=BAC， OA=OC， OAC=OCA， FAC=OCA， OCAF， CDA
31、F， OCCD， CD 是O 的切线； （2）解：连结 BC，如图， AB 为直径， ACB=90 ， 21 / 36 =， BOC= 180 =60 ， BAC=30 ，来源:学|科|网 DAC=30 ， 在 RtADC 中，CD=2， AC=2CD=4， 在 RtACB 中，BC=AC= 4=4， AB=2BC=4， O 的半径为 4 点评： 本题考查了切线的判定定理： 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的 切线也考查了圆周角定理和含 30 度的直角三角形三边的关系 7.（2014毕节地区， 第 26 题 14 分） 如图， 在 RtABC 中，ACB=90 ， 以 AC 为直径作O
32、 交 AB 于点 D，连接 CD （1）求证：A=BCD； （2）若 M 为线段 BC 上一点，试问当点 M 在什么位置时，直线 DM 与O 相切？并说明理 由 考点： 切线的判定 22 / 36 分析： （1） 根据圆周角定理可得ADC=90 ， 再根据直角三角形的性质可得A+DCA=90 ， 再由DCB+ACD=90 ，可得DCB=A； （2） 当 MC=MD 时， 直线 DM 与O 相切， 连接 DO， 根据等等边对等角可得1=2， 4=3，再根据ACB=90 可得1+3=90 ，进而证得直线 DM 与O 相切 解答： （1）证明：AC 为直径， ADC=90 ， A+DCA=90 ，
33、ACB=90 ， DCB+ACD=90 ， DCB=A； （2）当 MC=MD（或点 M 是 BC 的中点）时，直线 DM 与O 相切； 解：连接 DO， DO=CO， 1=2， DM=CM， 4=3， 2+4=90 ， 1+3=90 ， 直线 DM 与O 相切 点评： 此题主要考查了切线的判定，以及圆周角定理，关键是掌握切线的判定定理：经过半 径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 23 / 36 8 （2014 云南昆明，第 22 题 8 分）如图，在ABC 中， ABC=90 ，D 是边 AC 上的一点，连接 BD，使A=21， E 是 BC 上的一点，以 BE 为直径的O 经过点 D
34、. （1）求证：AC 是O 的切线； （2）若A=60 ，O 的半径为 2，求阴影部分的面积.（结 果保留根号和 ） 考点： 切线的判定；阴影部分面积. 分析： （1）连接 OD，求出A=DOC，推出ODC=90 ，根据切线的判定推出即可； （2）先求出ODCRt的面积，再求出扇形 ODC 的面积，即可求出阴影部分面积 解答： （1）证明：如图，连接 OD ODOB ， 21， 12DOC， 12A， DOCA， ABC=90 ， 90CA 90CODC， 90ODC OD 为半径， AC 是O 的切线； （2）解： 60DOCA，2OD 在ODCRt中， OD DC 60tan 323260
35、tan ODDC 32322 2 1 2 1 DCODS ODCRt 第22题图 E O C B A 1 D 24 / 36 3 2 360 260 360 22 rn S ODE扇形 3 2 32 ODEODCRt SSS 扇形阴影 点评： 本题考查了等量代换、切线的判定、三角形面积、扇形面积等知识点的应用，主要考 查学生的推理能力. 9. （2014株洲，第 23 题，8 分）如图，PQ 为圆 O 的直径，点 B 在线段 PQ 的延长线上， OQ=QB=1，动点 A 在圆 O 的上半圆运动（含 P、Q 两点） ，以线段 AB 为边向上作等边三角 形 ABC （1）当线段 AB 所在的直线与
36、圆 O 相切时，求ABC 的面积（图 1） ； （2）设AOB=，当线段 AB、与圆 O 只有一个公共点（即 A 点）时，求 的范围（图 2， 直接写出答案） ； （3）当线段 AB 与圆 O 有两个公共点 A、M 时，如果 AOPM 于点 N，求 CM 的长度（图 3） （第 1 题图） 考点： 圆的综合题；等边三角形的性质；勾股定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质； 特殊角的三角函数值 分析： （1）连接 OA，如下图 1，根据条件可求出 AB，然后 AC 的高 BH，求出 BH 就可以 求出ABC 的面积 （2）如下图 2，首先考虑临界位置：当点 A 与点 Q 重合时，线段 AB 与
37、圆 O 只有一 个公共点，此时 =0 ；当线段 AB 所在的直线与圆 O 相切时，线段 AB 与圆 O 只有一 个公共点，此时 =60 从而定出 的范围 25 / 36 （3）设 AO 与 PM 的交点为 D，连接 MQ，如下图 3，易证 AOMQ，从而得到 PDOPMQ，BMQBAO，又 PO=OQ=BQ，从而可以求出 MQ、OD，进而 求出 PD、DM、AM、CM 的值 解答： 解： （1）连接 OA，过点 B 作 BHAC，垂足为 H，如图 1 所示 AB 与O 相切于点 A， OAAB OAB=90 OQ=QB=1， OA=1 AB= = = ABC 是等边三角形， AC=AB=，CA
38、B=60 sinHAB=， HB=ABsinHAB = = SABC=ACBH = = ABC 的面积为 （2）当点 A 与点 Q 重合时， 线段 AB 与圆 O 只有一个公共点，此时 =0 ； 当线段 A1B 所在的直线与圆 O 相切时，如图 2 所示， 线段 A1B 与圆 O 只有一个公共点， 此时 OA1BA1，OA1=1，OB=2， 26 / 36 cosA1OB= A1OB=60 当线段 AB 与圆 O 只有一个公共点（即 A 点）时， 的范围为：060 （3）连接 MQ，如图 3 所示 PQ 是O 的直径， PMQ=90 OAPM， PDO=90 PDO=PMQ PDOPMQ =
39、PO=OQ=PQ PD=PM，OD=MQ 同理：MQ=AO，BM=AB AO=1， MQ= OD= PDO=90 ，PO=1，OD=， PD= PM= DM= ADM=90 ，AD=A0OD=， AM= = = 27 / 36 ABC 是等边三角形， AC=AB=BC，CAB=60 BM=AB， AM=BM CMAB AM=， BM=，AB= AC= CM= = = CM 的长度为 点评： 本题考查了等边三角形的性质、 相似三角形的性质与判定、 直线与圆相切、 勾股定理、 特殊三角函数值等知识，考查了用临界值法求角的取值范围，综合性较强 10. （2014泰州，第 25 题，12 分）如图，平
40、面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y= x+b（b 为常数，b0）的图象与 x 轴、y 轴分别相交于点 A、B，半径为 4 的O 与 x 轴正半轴相交 于点 C，与 y 轴相交于点 D、E，点 D 在点 E 上方 28 / 36 （第 2 题图） （1）若直线 AB 与有两个交点 F、G 求CFE 的度数； 用含 b 的代数式表示 FG2，并直接写出 b 的取值范围； （2）设 b5，在线段 AB 上是否存在点 P，使CPE=45 ？若存在，请求出 P 点坐标；若不 存在，请说明理由 考点： 圆的综合题 分析： （1）连接 CD，EA，利用同一条弦所对的圆周角相等求行CFE=45 ， （2）
41、作 OMAB 点 M，连接 OF，利用两条直线垂直相交求出交点 M 的坐标，利用 勾股定理求出 FM2，再求出 FG2，再根据式子写出 b 的范围， （3）当 b=5 时，直线与圆相切，存在点 P，使CPE=45 ，再利用两条直线垂直相交 求出交点 P 的坐标， 解答： 解： （1）连接 CD，EA， DE 是直径， DCE=90 ， CODE，且 DO=EO， ODC=OEC=45 ， 29 / 36 CFE=ODC=45 ， （2）如图，作 OMAB 点 M，连接 OF， OMAB，直线的函数式为：y= x+b， OM 所在的直线函数式为：y= x， 交点 M（b，b） OM2=（b）2+
42、（b）2， OF=4， FM2=OF2OM2=42（b）2（b）2， FM= FG， FG2=4FM2=4 42（b）2（b）2=64b2=64 （1b2） ， 直线 AB 与有两个交点 F、G 4b5， （3）如图， 当 b=5 时，直线与圆相切， 30 / 36 DE 是直径， DCE=90 ， CODE，且 DO=EO， ODC=OEC=45 ， CFE=ODC=45 ， 存在点 P，使CPE=45 ， 连接 OP， P 是切点， OPAB， OP 所在的直线为：y= x， 又AB 所在的直线为：y= x+5， P（，） 点评： 本题主要考查了圆与一次函数的知识，解题的关键是作出辅助线，
43、明确两条直线垂直 时 K 的关系 11 （2014扬州，第 25 题，10 分）如图，O 与 RtABC 的斜边 AB 相切于点 D，与直角 边 AC 相交于 E、F 两点，连结 DE，已知B=30 ，O 的半径为 12，弧 DE 的长度为 4 （1）求证：DEBC； （2）若 AF=CE，求线段 BC 的长度 （第 3 题图） 考点： 切线的性质；弧长的计算 分析： 来源: （1）要证明 DEBC，可证明EDA=B，由弧 DE 的长度为 4，可以求得DOE 的度数，再根据切线的性质可求得EDA 的度数，即可证明结论 31 / 36 学。 科。 网 Z。X。 X。K （2）根据 90 的圆周角
44、对的弦是直径，可以求得 EF，的长度，借用勾股定理求得 AE 与 CF 的长度，即可得到答案 解答： 解： （1）证明：连接 OD、OE， OD 是O 的切线， ODAB，ODA=90 ， 又弧 DE 的长度为 4， ， n=60， ODE 是等边三角形， ODE=60 ，EDA=30 ， B=EDA， DEBC （2）连接 FD， DEBC， DEF=90 ， FD 是0 的直径， 由（1）得：EFD=30 ，FD=24，来源:学+科+网 EF=， 又因为EDA=30 ，DE=12， 32 / 36 AE=， 又AF=CE，AE=CF， CA=AE+EF+CF=20， 又， BC=60 点评： 本题考查了勾股定理以及圆的性质的综合应用，解答本题的关键在于 900的圆周角对 的弦是直径这一性质的灵活运用 12.（2014滨州，第 21 题 8 分）如图，点 D 在O 的直径 AB 的延长线上，点 C 在O 上， AC=CD，ACD=120 （1）求证：CD 是O 的切线； （2）若O 的半径为 2，求图中阴影部分的面积 考点： 扇形面积的计算；等腰三角形的性质；切线的判定；特殊角的三角函数值
