1、第四章 多自由度体系结构的地震反应, 4.1 概 述 4.2 多自由度体系的自由振动 4.3 多自由度体系的振型分解法 4.4 多自由度体系的水平地震作用及效应 4.5 多自由度体系地震反应的时程分析, 4.1 多自由度体系的自由振动,一、多自由度体系的基本概念 1实际房屋的自由度：无限个。简化：有限自由度模型。 2常用分析模型：层间模型。每层楼面、屋面可作为一个质点，墙柱质量则分别向上下质点集中。,图4.1 层间模型计算简图,二、两自由度无阻尼运动方程的建立,以两个自由度为例,图4.2 两个自由度的层间剪切模型计算简图,1质点的运动,质点绝对加速度:,质点相对加速度:,地面运动加速度,恢复力
2、,惯性力,2质点1的运动方程,平衡方程,平衡方程,惯性力,恢复力,3质点2的运动方程,合并式（4.2）和（4.3），写成矩整形式,(4.3),采用瑞雷阻尼假定,三、多自由度体系的自振频率,(4.8),频率方程, 第一自振圆频率，, 第二自振圆频率，,频率特征, 较大的为第一自振周期，, 较小的为第二自振周期，, 较小的为第一自振频率，, 较大的为第二自振频率，,1)体系的运动包含若干个频率的振动. 2)每一个频率的振动有何特征？ 3)不同频率运动之间的关系？,振型概念：对应某一自振频率各质点位移间的关系,频率方程,X11、X12,X21、X22,特点：位移幅值的比值为常数,四、多自由度体系的振
3、型,1对应某一自振频率各质点位移幅值的比值,?,位移比值仍为常数,2对应某一自振频率各质点任意时刻位移的关系,1) 多自由度运动方程的特点耦联的微分方程; 2) 质点的运动包含所有振型频率 ; 3) 各主振型之间具有关系？,3体系运动的组成：包含所有的频率和振型,(4.13),左乘(4.12),(4.14),4振型的正交性：任意两个不同频率的主振型之间存在互相正交的性质,式(4.15) 式(4.16),同样可得,进一步可得,振型规格化,例4.1 三层剪切结构如图示，求该结构自振频率和振型,解:,周期与自振频率的关系,可得结构的各阶自振周期分别为,为求第一阶段型，将 代入,同样可得,第一振型,第
4、二振型,第三振型,1）体系的最大变形能,2）体系的最大动能,3）能量守恒原理,五、结构周期的计算,（一）基本周期的实用近似计算 1能量法,对应第一振型，假定,将质点的重力荷载视为水平力所产生的质点 处的水平位移,将各楼层的重力荷载当做水平力产生的楼层剪力为,例4.2 用能量法求4.1基本周期,则将楼层重力荷载当做水平力所产生的楼层水平位移为,与精确解误差为2%,基本思想：用一个等效单质点体系代替原来的多质点体系。 等效原则为：,2等效质量法,1）等效单质点体系与原多质点体系的基本自振频率相等； 2）等效单质点体系自由振动的最大动能与原多质点体系的基本自由振动的最大动能相等。,多质点体系按第一振
5、型振动的最大动能,等效单质点体系的最大动能,例4.3 用等效质量法求4.1基本周期,与精确解的相对误差为,在单位质点下施加单位水平力产生的水平位移为,3顶点位移法,基本思想：将悬臂结构的基本周期，用顶点位移来表示，而该顶点位移为将结构重力荷载作为水平荷载作用在结构顶点所产生的假想顶点位移。,对质量沿高度均匀分布的等截面弯曲型悬臂杆,将重力荷载作为水平荷载产生的顶点位移为：,例4.4 用顶点位移法求4.1基本周期,与精确解的误差为3%,该结构属于剪切型悬臂杆,（二）求解结构体系自振频率及振型的其它方法,1广义雅可比法,2利用Matlab编程求解,3矩阵迭代法（stodola法）,矩阵迭代法是首先
6、假定振型形状，经过迭代调整一直到获得满意的结果，然后再确定自振频率假定体系的刚度矩阵的逆矩阵 存在，将其左乘式（4.20）,式（b）就是迭代方程，式中矩阵 代表了结构的所有动力特征，所以也叫动力矩阵。,矩阵迭代法的迭代步骤如下：,（3）如果 和 间误差满足要求，则式（d）中的 就是所求的特征值。如两者误差不满足要求， 则继续进行迭代。可以证明，该迭代过程最终将收敛于第一振型。, 4.2 多自由度体系的振型分解法,一、振型分解法基本概念 1思路： 利用各振型相互正交的特性，将原来耦联的微分方程组变为若干互相独立的微分方程，从而使原来多自由度体系的动力计算变为若干个单自由度体系的问题； 2求解：
7、在求得了各单自由度体系的解后，再将各个解进行组合，从而可求得多自由度体系的地震反应。,3两自由度体系振型分解法,1）坐标变换,2）振型乘以组合系数叠加,将实际位移按振型加以分解，故称为振型分解法。,二、多自由度体系振型分解,振型分解式,（4.22）,将质点地震作用下任一时刻的位移用其振型的线性组合表示,其中,假定阻尼矩阵 可表示为,体系的运动方程,考虑式（4.23）左端第一项,利用振型正交性,类似地，可推得：,（4.28）,称为对应于第 振型的振型阻尼比，系数 及 可通过体系第一振型及第二振型的频率及阻尼比确定 。,已解耦的第j个广义坐标的运动方程,依次取 ，可得n个独立的微分方程，即在每一个
8、方程中仅含有一个未知量 ，从而，可运用单自由度体系的求解方法，求得,将求得的各广义坐标 代入式（4.22），,可求得各质点的位移,比较单自由度情况,（4.27）,第j振型位移反应表达式,三、多自由度体系地震反应振型分解法的求解步骤,1）求体系的自振频率和振型。,2）计算振型参与系数 。,3）求解耦的各阶单自由度体系的广义坐标 。,4）按振型叠加原理计算各质点的位移：, 4.3 多自由度体系的水平地震作用及效应,适合于工程抗震设计的方法：简单、实用； 需要的关键参数：各质点反应的最大值； 简化分析方法：在振型分解法的基础上，结合运用单自由度体系的反应谱理论，推导出实用的振型分解反应谱法； 在某些
9、特定的条件下，还可推得更为简单实用的底部剪力法。,一、振型分解反应谱法,多自由度体系的水平地震作用可用各质点所受的惯性力来代表，故质点i上的地震作用为,由式（4.30） ， 可写成,称为对应于第j振型质点i的水平地震作用,相当于单自由度的地震反应,利用单自由度反应谱,（4.37）,即为对应于j振型自振周期为 的单自由度体系的地震影响系数，可按单自由度体系的地震影响系数确定。,利用规范给出的反应谱曲线，可方便地求得对应于某一振型各质点的最大地震作用所产生的作用效应 （弯矩、剪力、轴力、位移等）,（4.39）,各振型产生的地震作用效应,S为总的地震作用效应， 为对应于第j振型该处结构的地震作用效应
10、。,当某一振型的地震作用达最大值时，其余各振型的地震作用不一定也达到最大。从而结构地震作用的最大值并不等于各振型地震作用最大值之和根据随机振动理论，近似地取“平方和开方”。,振型的地震组合时振型反应数的确定,结构的总地震反应以低阶振型为主，高阶振型的影响较小：,1）一般情况下，可取结构前23阶振型进行组合，但不多于结构自由度；,2）当结构基本周期大于1.5s或高宽比大于5时，可适当增加。,例题分析,地震影响系数,第j振型参与系数,第一振型参与系数,对应第一振型的地震作用,对应第二振型的地震作用,对应第三振型的地震作用,根据各振型的地震作用，可求出各振型地震作用下框架的弯矩如4.4所示 ；按平方
11、和开方的组合原则，可求得各振型组合后框架弯矩图，如图4.5所示,第一振型弯矩,第二振型弯矩,第三振型弯矩,各振型组合弯矩图,二、底部剪力法,(寻求更为简便的适合设计的方法）,1适用条件：,结构的质量和刚度沿高度分布比较均匀； 房屋的总高度不超过40m； 建筑结构在地震作用下的变形以剪切变形为主； 建筑结构在地震作用时的扭转效应可忽略不计。,2底部剪力计算,按振型分解反应谱法，j振型质点的地震作用为,为系数,回忆单自由度的形式? 各质点的水平地震作用近似地取为对应于第一振型的地震作用。,3总底部剪力的分配,（4.43）,再根据各质点的水平地震作用之和等于总水平地震作用的条件，得,进一步得,1）特
12、殊情况处理,抗震规范规定，当结构基本周期 时，在顶点附加水平地震作用，即取,2）顶点的水平地震作用为,（4.47）,式中， 为顶部附加地震作用系数，对多层内框架砖房，可取0.2，对多层钢筋混凝土房屋和钢结构房屋，可根据特征周期及房屋基本周期T1按第五章表5.7确定,表6顶部附加地震作用系数 n,例题分析,例题4.6用底部剪力法求例4.5中三层框架弯矩图,地震影响系数,总水平地震作用,由于,查表5.7，得顶部附加地震作用系数,上述地震作用在框架引起的弯矩如下图所示,图4.6 底部剪力法和振型分解法计算结果比较,底部剪力法计算结果,振型分解法计算结果, 4.4 多自由度体系地震反应的时程分析,对于
13、特别不规则的建筑、特别重要的建筑，以及房屋高度和设防烈度较高的建筑，规范规定，宜采用时程分析法进行补充计算； 当进行房屋结构的弹塑性变形验算时，由于结构已出现了明显的非线性，振型分解反应谱法已不再适用，而需采用弹塑性时程分析法；,当需要对建筑结构进行地震作用下的时程分析时，一 般均采用数值计算方法，较为常用的是 法及第三章介绍过的线性加速度法。, 4.5 多自由度体系地震反应的时程分析,4.5.1多自由度体系的线性加速度法 类似于3.6.3节的推导;可根据体系的初始条件，一步一步地求得各时刻 体系的位移、速度、加速度反应。 4.5.2多自由度体系的 法 在线性加速度法基础上改进得到的一种无条件收敛的数值方法，即只要参数 取得合适 ，无论取多大，均能取得收敛的计算结果,建筑结构抗震作业,第四章 思考题,计算地震作用时结构的重力荷载怎样取值？ 怎样进行结构的振型分解？ 如何根据各振型的反应求结构的总反应？其依据是什么？,
