1、特殊三角形从一般到特殊知识框架知识框架三角形特殊三角形按角按边等腰三角形直角三角形定义性质判定应用定义性质判定应用有一角等于30的直角三角形等边三角形等腰直角三角形全等、相似圆四 边 形在坐标系中三角函数（1）若其一个内角等于40，求另外两个内角的度数；热身练习已知一个等腰三角形锐角顶角底角70、70或40 、100（2）若其一个外角等于40，求各个内角的度数.相邻内角140钝角一定是顶角140、20、20分类讨论（按角）主要思想：核心知识：等边对等角友情提醒：审题慢、准典型例题例1 .在ABC中，（1）已知ABC是等腰三角形 若A40，求B的度数.A、B的“身份”都要考虑顶角底角底角BB顶角
2、底角方法一：分类讨论（按角） （按顶角顶点）70、100、40方法二：ABC是等腰三角形ABACBABCCACB主要思想：核心知识：等边对等角866 若其两边长是6和8，求ABC的面积.典型例题例1 .在ABC中， （1）若ABC是等腰三角形4三边长分类讨论 （按角） （按顶角顶点）6、6、8主要思想：核心知识：三线合一8、8、6分别画草图68832 55518 2 58 52S? ?16553 552S? ?（按边）勾股定理等腰三角形分类标准B40A100CBA 若A100，点D是BC上一点，且ABD是直角三角形，求BDA的度数.典型例题例1 .在ABC中， （1）若ABC是等腰三角形分类讨
3、论（按直角顶点）主要思想：核心知识：等边对等角画草图DBAD90BDA90BDA50直角三角形两个锐角互余友情提醒：画图习惯D1ABCD2同理勾股定理若两边长是6和8，求ABC的外接圆的半径.典型例题例1 .在ABC中， （2）若ABC是直角三角形分类讨论(按边)主要思想：核心知识：勾股定理斜边中线性质8为斜边长第三边长为斜边长第三边长为10斜边中线等于斜边一半外接圆半径等于斜边一半外接圆半径等于5外接圆半径等于4直角三角形与圆的关系(按直角顶点)直角三角形分类标准勾股定理逆定理典型例题例1 .在ABC中，核心知识：勾股定理逆定理三角形形状、大小确定（3）若三边长分别是、 、，求三角形的面积.
4、235222( 2)( 3)( 5)?ABC是以为斜边长的直角三角形5162322S ?（4）如图， A60，AB4，点C是射线AD上一个动点，当ABC是锐角三角形时，求CB的取值范围.D60CBA4典型例题例1 .在ABC中，基本图形：临界思想2 34 3BC?60C2A转化直角三角形AC1B90ABC2904 3BC2 3BC临界主要思想：转化分类讨论有一个等于30的直角三角形32130 DBC14你还能设计什么问题？基本图形构造平行（垂直）于坐标轴的线段典型例题例2 .核心知识：全等三角形的判定、性质如图，在平面直角坐标系中有ABC， 且ABAC，BAC90，已知A（2，0），B（0，1
5、）（1）求点C的坐标；OyxCBA过点C作x轴垂线DOABDCAOBDA1OADC2C（3，2）可从平移视角思考主要思想：转化:化“斜”为“直”构造基本图形“一线三直角”处理直角常规思路OyxC(3,2)B（2）点P是y轴上一动点，当PBC是等腰三角形时，求点P坐标.典型例题例2 .主要方法：分类讨论按顶角顶点分类主要思想：两圆一线BCBP点P在以点B为圆心BC长为半径的圆上CBCP点P在以点C为圆心BC长为半径的圆上PBPC点P在线段BC的垂直平分线上P1P2P3P4交轨法基本图形：（2）点P是y轴上一动点，当PBC是等腰三角形时，求点P坐标.典型例题例2 .化斜为直主要思想：当BCBP时点
6、P在以点B为圆心BC长为半径的圆上OyxC(3,2)BP1P2从动态角度思考静态图形基本方法：先定性分析再定量计算M计算BC的长3110平移点BP1（0，）110?P2（0，）110?先定性分析再定量计算（2）点P是y轴上一动点，当PBC是等腰三角形时，求点P坐标.典型例题例2 .核心知识：三线合一当CBCP时点P在以点C为圆心BC长为半径的圆上OyxC(3,2)BP3M11P3（0，3）BMPM1三线合一垂径定理或垂径定理（2）点P是y轴上一动点，当PBC是等腰三角形时，求点P坐标.典型例题例2 .主要方法：PBPC点P在线段BC的垂直平分线上OyxC(3,2)BP4勾股定理结合方程M设点P
7、（0，a）PB 2PC 2（a?1）23 2 +（a?2）2a6P4（0，6）还有其它方法哦！OyxC(3,2)B变式：点Q是x轴上一动点，当QBC是直角三角形时，求点Q坐标.典型例题例2 .主要方法：分类讨论按直角顶点分类主要思想：两线一圆点Q在过点C垂直于BC的直线上以BC为直径的圆上Q3Q4交轨法核心知识：BCQ90BQC90CBQ90点Q在过点B垂直于BC的直线上Q1Q2直径所对的圆周角是直角基本图形：OyxC(3,2)BQ1MN变式：点Q是x轴上一动点，当QBC是直角三角形时，求点Q坐标.典型例题例2 .主要方法：点Q在过点C垂直于BC的直线上化斜为直基本图形：当BCQ90时一线三直
8、角构造基本图形相似三角形三角函数或12tan1tan21332x?设Q（x，0）MB NCMC NQ?113x?核心知识：相似三角形三角函数方法一：方法二：设Q（x，0）勾股定理列方程BC 2+CQ 2BQ 2当BCQ90时22222( 10)(3)21xx?勾股定理结合方程解决直角三角形问题的常规方法11,03Q?变式：点Q是x轴上一动点，当QBC是直角三角形时，求点Q坐标.典型例题例2 .当CBQ90时点Q在过点B垂直于BC的直线上OyxC(3,2)BQ2M三角函数tanCtanCBQMB OQMC OB?131x?设Q（x，0）13x?掌握通性通法万变不离其宗！1,03Q?OyxC(3,
9、2)BQ3Q4变式：点Q是x轴上一动点，当QBC是直角三角形时，求点Q坐标.典型例题例2 .以BC为直径的圆上BQC90N掌握通性通法万变不离其宗！tanBQOtanQCNOB NQOQ NC?132xx?设Q（x，0）1212xx?或Q（1，0）或（2，0）MEDCBA（1）若点E在线段AB上，探究线段BM与DM、BMD与BCD所满足的数量关系；典型例题例3 .直角三角形中，斜边上中线等于斜边的一半MBMCMDEC12点B、E、D、C在以点M为圆心MB长为半径的圆上已知：在ABC中，ABC =90，点E在直线AB上，ED与直线AC垂直，垂足为D，点M为EC的中点，连接BM，DM1221232
10、4BMD2BCD核心知识：斜边中线性质等边对等角方法一方法二同弧所对的圆周角是圆心角的一半BMD2BCD圆周角定理基本图形：共端点等线段等腰三角形联想圆相加34外角性质典型例题例3 .已知：在ABC中，ABC =90，点E在直线AB上，ED与直线AC垂直，垂足为D，点M为EC的中点，连接BM，DMBME2BCE变化中存在不变的结论是数学的魅力！（2）若点E在BA延长线上，在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；ABCDEMMBMCMDEC12同理可得12122相减BMD2BCD点B、E、D、C在以点M为圆心MB长为半径的圆上同弧所对的圆周角是圆心角的一半BMD2BCDMEDC
11、BAABCDEM典型例题例3.MBMD已知：在ABC中，ABC =90，点E在直线AB上，ED与直线AC垂直，垂足为D，点M为EC的中点，连接BM，DMBMD2BCDBMD360? 2BCD不可掉以轻心！变式：若点E在AB延长线上，请你根据条件画出相应的图形，并直接写出线段BM与DM、BMD与BCD所满足的数量关系ME（D）CBAMBMDBCD不存在MBMD在变化中探究本质是数学的任务！（1）确定DOC的形状，并证明理由；典型例题例4 .OCD60如图，点O是等边ABC形内一点，且AOB =130，BOC=，将BOC绕点C顺时针旋转60得ADC，连接OD.130DOCBABOCADCCOCDD
12、OC是等边三角形核心知识：等边三角形判定旋转的性质AOB = 130DOC是等边三角形（2）OAD的度数会随的度数变化而变化吗？如果变化，请确定其变化范围，如果不变，请求出它的度数.典型例题例4 .AOD？如图，点O是等边ABC形内一点，且AOB =130，BOC=，将BOC形绕点C顺时针旋转60得ADC，连接OD.130DOCBABOCADC核心知识：等边三角形性质放在AOD中ADO？由果索因BOCADCODCDOC60周角360AOD170? ADO?60OAD70由因推果全等三角形性质变化中存在不变的结论是数学的魅力！你还能设计什么问题？典型例题例4 .OAOD如图，点O是等边ABC形内
13、一点，且AOB =130，BOC=，将BOC形绕点C顺时针旋转60得ADC，连接OD.130DOCBA主要思想：分类讨论OADODAAODADODAODOA170? ?6070?60等边对等角OAD 的度数与哪个角有关？给你什么启示？变式：当ADO是等腰三角形时，求的度数.AOADDODA13011570170?100核心知识：你还能设计什么问题？AOD170? ADO?60OAD70总结归纳总结归纳1.掌握图形性质判定2.关注必要分类讨论3.抓住科学分类依据4.把握基本通性通法5.善于发现提出问题6.享受数学之美之魅作业布置作业布置作业布置作业布置作业布置作业布置作业布置作业布置完善自我挑战自我成就自我谢谢！谢谢！
