1、第 1 页，共 17 页 高一（上）期中数学试卷高一（上）期中数学试卷 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.已知集合 = 1,2，4，6， = 2,6，7， 的子集个数为()A. 1B. 2C. 4D. 82.函数 =1 + lg(3)的定义域为()A. (1,3)B. 1,3)C. (3, + )D. 1, + )3.已知函数()与()分别由表给出，则(3) = ()x123()439x234()213A. 4B. 1C. 3D. 94.己知函数() = + 1+1( 0，且 0)的图象恒过定点 A，则 A 的坐标为()A. (0,1)B. (1,1)C
2、. (1,2)D. (0,2)5.函数() = +4的零点所在的大致区间是()A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)6.函数 = lg| + 1|的大致图象为()第 2 页，共 17 页A. B. C. D. 7.若幂函数 = ()的图象经过点(3,33)，则(9) = ()A. 9B. 19C. 3D. 138.已知 = (13)2.5， = 123， =213，则()A. B. C. D. 0时，() = 21，则(1216) = ()A. 1516B. 1516C. 15D. 1510.“弯弓射雕”描述的是游牧名族的豪迈气氛，当弓箭以每秒 a 米的速度从地面垂直
3、向上射箭时，t 秒时弓箭距离地面的高度为 x 米，可由 = 52确定，已知射箭 3秒是弓箭距离地面的高度为 135 米，则可能达到的最大高度为()A. 135 米B. 160 米C. 175 米D. 180 米11.已知函数()的定义域为 R，对于任意 ，都满足() = ()，且对于任意的 a， (,0，当 时，都有()() 0，若(2) ()，则实数 x的取值范围是()A. (,1100)B. (,1100) (100, + )C. (1100,100)D. (0,1100) (100, + )第 3 页，共 17 页12.已知函数 = ()， = ()，两者的定义域都是 I，若对于任意 ，
4、存在0，使得() (0)，() (0)， 且(0) = (0)， 则称()，()为 “兄弟函数” ，已知函数() = 2+2 + (, )，() =2 + 4是定义在区间13,3上的“兄弟函数”那么函数()在区间13,3的最大值为()A. 3B. 343C. 529D. 13二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13.若集合 = 2,1， = | + 0，且 ，则实数 m 的取值范围为_14.已知函数()在 R 上为偶函数，且 0，时，() = 3 + 2，则当 0，若对于任意的 4, + )，() |恒成立，则实数 a 的取值范围是_三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0
5、分）17.(1)已知 2，化简： (2)2+3( + 3)3+(14)12；(2)求值：323+610 (2 + 3) + 92718.设 = ， = |2 0， = |4 1(1)若 = 2，求 ()；第 4 页，共 17 页(2)若 = ，求实数 a 的取值范围19.已知函数() =211是奇函数(1)求实数 m 的值；(2)求证：函数()在(0, + )上是单调增函数20.甲、乙两家鞋帽商场销售同一批品牌运动鞋，每双标价为 800 元甲、乙两商场销售方武如下：在甲商场买一双售价为 780 元，买两双每双售价为 760 元，依次类排，每多买一双则所买各双售价都再减少 20 元，但每双售价不
6、能低于 440 元；乙商场一律按标价的75%销售(1)分别写出在甲、乙两商场购买 x 双运动鞋所需费用的函数解析式()和()(2)某单位需购买一批此类品牌运动鞋作为员工福利，问：去哪家商场购买花费较少？第 5 页，共 17 页21.已知函数() = | (1)( )(1)当 = 5时，作出函数()的图象；(2)是否存在实数 a，使得函数3,4在区间3,4上有最小值 8，若存在求出 a 的值；若不存在，请说明理由22.对于定义域为 D 的函数 = ()，如果存在区间, ，同时满足；()在,内是单调函数；当定义域是,时，()的值域也是,，则称,是该函数的“优美区间”(1)求证：0,2是函数() =
7、122的一个“优美区间”(2)求证：函数() = 4 +6不存在“优美区间”(3)已知函数 = () =(2+ )12( , 0)有 “优美区间”,， 当 a 变化时，第 6 页，共 17 页求出的最大值第 7 页，共 17 页答案和解析答案和解析1.【答案】C【解析】解： = 1,2，4，6， = 2,6，7， = 2,6， 的子集个数为22= 4个故选：C进行交集的运算即可求出 ，从而得出 的元素个数为 2，进而得出 的子集个数为22= 4个本题考查了列举法的定义，交集的定义及运算，集合子集个数的计算公式，考查了计算能力，属于基础题2.【答案】B【解析】解：由题意可知，1 03 0，解可得
8、，1 3，即函数的定义域为1,3)故选：B根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可本题考查了求函数定义域的应用问题， 解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是基础题目3.【答案】A【解析】解：由题意得：(3) = 1， (3) = (1) = 4故选：A推导出(3) = 1，从而(3) = (1)，由此能求出结果本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题4.【答案】C第 8 页，共 17 页【解析】解：由 + 1 = 0得 = 1，此时(1) = 0+1 = 2，即函数()过定点(1,2)，故选：C根据指数函数的性质，令幂指数为 0
9、，进行求解即可求出定点坐标本题主要考查指数函数过点定点的性质，利用0= 1的性质是解决本题的关键比较基础5.【答案】B【解析】解： 函数() = +4是连续函数，(1) = 3 0， 根据零点存在定理，可得函数() = +4的零点所在的大致区间是(1,2) 故选：B确定(1) 0，根据零点存在定理，可得结论本题考查零点存在定理，考查学生的计算能力，属于基础题6.【答案】D【解析】解： 定义域| 1， 排除 A，C；当 1时， = lg( + 1)为减函数，故排除 B，故选：D先由定义域| 1，排除 A，C；再根据 1时， = lg( + 1)为减函数，故排除 B，选 D本题考查了对函数图象，通
10、过对函数性质的探究，排除不合题意的选项，可得出正确结果，属于中档题7.【答案】D【解析】解：设幂函数 = () = ，其图象过点(3,33)，则3=33， = 12，所以() =12；所以(9) =912=13第 9 页，共 17 页故选：D设出幂函数的解析式，把点的坐标代入求出()的解析式，再计算(9)的值本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题8.【答案】A【解析】解： = (13)2.5 (13)0= 1， 0 1， =log123 log121 = 0， 20= 1， 1， ，故选：A利用对数函数和指数函数的单调性求出 a，b，c 的范围，从而比较出大小本题考查三个数的大小的求
11、法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用9.【答案】C【解析】解： = ()是定义在 R 上的奇函数，且当 0时，() = 21，则(1216) = (4) = (4) = 15故选：C由(1216) = (4) = (4)，结合已知代入即可求解本题主要考查了利用奇函数定义求解函数值，属于基础试题10.【答案】D【解析】解由题意可知， = 52，当 = 3， = 135，代入可得135 = 345，解可得， = 60， = 6052，根据二次函数的性质可知，开口向下，对称轴 = 6，故当 = 6时，函数取得最大值 180故选：D把 = 3， = 135，代入已知函
12、数可求 a，然后根据二次函数的性质即可求解本题主要考查了二次函数的最值的求解，属于基础试题第 10 页，共 17 页11.【答案】D【解析】解：根据题意，函数()的定义域为 R，对于任意 ，都满足() = ()，即函数()为偶函数，对于任意的 a， (,0，当 时，都有()() 0，即()在区间(,0上为减函数，又由()为偶函数，则()在0, + )上增函数，故(2) ()(2) 2，解可得： 100或0 1100，即不等式的解集为(0,1100) (100, + )；故选：D根据题意，分析可得()为偶函数且在0, + )上增函数，进而分析可得(2) ()(2) 2，解可得 x 的取值范围，即
13、可得答案本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及对数不等式的解法，属于基础题12.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数的最值，考查新定义，考查函数的单调性，考查学生的计算能力化简()由基本不等式可判断()在 = 2处取得最小值 3；从而可知()在 = 2处取得最小值 3，再由二次函数的顶点式写出() = (2)2+3，从而求函数的最大值【解答】解： () =2 + 4= +41 2 41 = 3，(当且仅当 =4，即 = 2时，等号成立) ()在 = 2处取得最小值 3；又 ()与()是定义在区间13,3上的“兄弟函数”， ()在 = 2处取得最小值 3； () = 2+ + = (2)
14、2+3 函数()在区间13,3的最大值为(13) = (132)2+3 =529第 11 页，共 17 页故选：C13.【答案】2, + )【解析】解：由题意可知 = , + )， = 2,1且 ， 2即 2故答案为：2, + )由题意可知 = , + )，然后结合集合的包含关系即可求解本题主要考查了集合的包含关系的应用，属于基础试题14.【答案】3+ + 2【解析】解：设 0， ()在 R 上为偶函数，且 0，时，() = 3 + 2， () = 3+ + 2 = ()，故答案为：3+ + 2先设 0，根据()在 R 上为偶函数，且 0，时，() = 3 + 2，代入即可求解本题考查了函数的
15、奇偶性在函数解析式求解中的应用，属于基础题15.【答案】1,0【解析】解：当 = 0时，() = 24在 (,1)上是单调递增函数，符合题意，当 0时，结合二次函数的性质可知， 01 1，解可得，1 0时，() = 2+2 ，化为：2 2， 2 0， 0第 12 页，共 17 页4 0时，() = 2+3 + 4 ，化为： 24 + 4， 24 + 4 = ( + 2)2+8 4， 4综上可得：0 4 实数 a 的取值范围是0,4故答案为：0,4根据分段函数，通过分离参数，利用二次函数的单调性即可得出实数 a 的取值范围本题考查了函数的单调性、 分段函数的性质、 分离参数法， 考查了推理能力与
16、计算能力，属于中档题17.【答案】解：(1) 2，(2)2+3( + 3)3+(14)12，= 2 + + 3 + 2 = 7；(2)323+610 (2 + 3) + 927，=12+610 6 +32，=12+1 +32= 3【解析】(1)结合已知及根式的几何意义即可化简求值，(2)结合对数的运算性质及对数恒等式即可进行化简本题考查的知识点是指对数的运算性质， 熟练掌握指数与对数的运算性质是解答对数化简求值类问题的关键18.【答案】解：(1) = 4,1， = (,4) (1, + )， = 2， = (0,4)， () = (1,4)，(2) = ， ，2 1， 6 1，第 13 页，共
17、 17 页 6【解析】(1)由 = 4,1，可求，然后求解 A，结合集合的基本运算可求，(2)由 = ，可得 ，结合集合的包含关系即可求解本题主要考查集合的基本运算，比较基础19.【答案】解：(1)法一：解：定义域为| 0， ()是奇函数， () = ()对于定义域内的任意 x 恒成立211 = 21+1， 212= 21+2， 2= + 2(12)， ( + 2)(21) = 0， 该式对于定义域中的任意 x 都成立， + 2 = 0即 = 2，法二：定义域为| 0， ()是奇函数， (1) = (1)，2111 = 211+1，解得 = 2，检验：当 = 2时，() =2211 = 2+
18、121，定义域为| 0关于原点对称， () =1221=2+ 121= ()， ()是奇函数，(2)证明：在(0, + )内任取1，2，12，(1)(2) =221112221+1 =2(2221)(211)(221)， 0 1 0，2221 0， (1) 18且 时，去甲商场购买的单价为 440 元去乙商场购买单价一直为800 75% = 600元() =(80020),1 18, 440, 18, ，() = 600( )(2)当 18且 时，() 0解得1 10且 ；由(80020)600 = 0解得 = 10；由(80020)600 10且 ，综上：当1 0；当 = 10时， = 0；
19、当 10且 时， 18, ，() = 600( ).(2)若单位购买少于 10 双，去乙商场花费较少，若购买 10 双，则去两家商场花费相同，若购买超过 10 双，则去甲商场花费较少【解析】(1)当1 18且 时， 去甲商场购买的单价为(80020)元， 当 18且 时， 去甲商场购买的单价为440元 去乙商场购买单价一直为800 75% = 600元然后列出函数的解析式；(2)通过当 18且 时，() ()；当1 18且 时，推出当1 0； 当 = 10时， = 0； 当 10且 时， 0.得到结论本题考查实际问题的处理方法，分段函数的应用没看出分析问题解决问题的能力，是中档题21.【答案】
20、解：(1)当 = 5时，() = |5|(1) =(5)(1), 5,(5)(1), 5.第 15 页，共 17 页(2)假设存在实数 a，使得函数()在区间3,4上有最小值 8，() = |(1)， 3,41 当 3时，() = ()(1) = 2( + 1) + = ( + 12)2(1)24，对称轴方程为 = + 12， 3， + 12 2， ()在3,4上单调递增， ()= (3) = 2(3)， 2(3) = 8， = 12 当3 4时， () = 0 72即 6时，()= (3) = 2(3)， 2(3) = 8， = 7综上： = 1或 = 7第 16 页，共 17 页【解析】(
21、1)去掉绝对值符号，化简函数为分段函数，然后画出函数的图象即可(2)假设存在实数 a，使得函数()在区间3,4上有最小值 8，() = |(1) 3,41 当 3时，求解()= (3) = 2(3)，推出 = 12 当3 6时，()= (3) = 2(3)，可求出 = 7本题考查函数与方程的综合应用，考查分类讨论思想的应用，函数的最值的求法，考查数形结合以及计算能力，是难题22.【答案】解：(1) =122在区间0,2上单调增又 (0) = 0，(2) = 2， 值域为0,2， 区间0,2是() = 2的一个“优美区间”(2)设,是已知函数定义域的子集 0，, (，0)或, (0， +)， 函
22、数() = 4 +6在,上单调递减若,是已知函数的“优美区间”，则4 +6= (1)4 +6= (2)，由(1)(2)得：66= ， 6()= ， ， = 6， =6代入(1)等式不成立， 函数() = 4 +6不存在优美区间(3)设,是已知函数定义域的子集 0，, (，0)或, (0， +)， 函数 =(2+ )12= + 112在,上单调递增若,是已知函数的“优美区间”，则() = () = ， 、n 是方程 + 112= ，即22(2+) + 1 = 0的两个同号且不等的实数根 =12 0， ，n 同号，只须 = 2( + 3)(1) 0，即 1或 3， =( + )24第 17 页，共 17 页=(2+ 2)242=3(113)2+43， 当 = 3时，取最大值233【解析】(1)通过 =122在区间0,2上单调增利用新定义判断即可(2)利用新定义,是已知函数的“优美区间”，推出4 +6= (1)4 +6= (2)，转化求解即可(3)设,是已知函数定义域的子集，通过,是已知函数的“优美区间”，则() = () = ，说明 m、n 是方程22(2+) + 1 = 0的两个同号且不等的实数根转化求解取最大值本题考查新定义的应用，函数椭圆方程的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题
