1、高三下学期理数一模试卷高三下学期理数一模试卷 一、单选题一、单选题 1设集合，且，则（ ） A B C D 2某市中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示，为了解该地区中小学生近视形成的原因，现用分层抽样的方法抽取 5%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ） A750，100 B1500，100 C1500，120 D750，120 3若复数（为实数， 为虚数单位）在复平面内对应的点在第三象限内，则实数的值可以是（ ） A2 B1 C0 D-1 4设是定义在上的函数，若下列四条性质中只有三条是正确的，则错误的是（ ） A为上的减函数 B为上的增函数 C为偶函数 D不是函
2、数的最大值 5由组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数是奇数的概率是（ ） A B C D 6若等差数列和的前 n 项的和分别是和，且，则（ ） A B C D 7若 为实数，则下列命题正确的是（ ） A若 ，则 B若 ，则 C若 ， ，则 D若 ， ，则 8已知函数，则“”是函数在上单调递增的（ ） A必要而不充分条件 B充分而不必要条件 C既不充分也不必要条件 D充分必要条件 9如图所示的程序框图中，若输入的，则输出的（ ） A B C D 10已知，是双曲线的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A B C D 11已知
3、，若函数有最小值，则实数 a 的取值范围是（ ） A B C D 12四面体内接于球 O， （O 为球心） ，.若四面体体积的最大值为 4，则这个球的体积为（ ） A B C D 二、填空题二、填空题 13若曲线在在点处的切线为，则 . 14设是等比数列的前 n 项和，成等差数列，且.则 . 15已知是边长为 1 的正六边形内的一点，则的取值范围是 . 16过点的直线与椭圆交于点和，且.点满足，若为坐标原点，则线段长度的最小值为 . 三、解答题三、解答题 17某单位组织“新型冠状病毒”相关知识抢答竞赛，甲，乙两人分别代表各自科室参加，竞赛共有五道题目，对于每道题规定；抢到并回答正确得 1 分，
4、答错则对方得 1 分，先得 3 分者获胜，比赛结束，若每次出题甲，乙两人抢到答题机会的概率都是，甲，乙正确回答每道题的概率分别为，且两人每道题是否回答正确均相互独立. （1）求甲先得 1 分的概率； （2）求甲获胜的概率； （3）若将抢答 5 道题改为抢答 3 道题，先得 3 分获胜改为先得 2 分获胜，其余条件不变，则规则的修改对甲是否有利，请说明理由？ 18已知锐角中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，若. （1）求； （2）若，求周长的取值范围. 19如图，已知直三棱柱，分别为线段，的中点，为线段上的动点，. （1）若，试证； （2）在（1）的条件下，当时，试确定动点的位置，使
5、线段与平面所成角的正弦值最大. 20已知抛物线，过点作两条互相垂直的直线，设分别与抛物线相交于及两点，当点的横坐标为 2 时，抛物线在点处的切线斜率为 1. （1）求抛物线的方程； （2）设线段的中点分别为，为坐标原点，求证直线过定点. 21函数 ，. （1）求证：当时，存在唯一极小值点，且； （2）是否存在实数使在上只有一个零点，若存在，求出的范围；若不存在，说明理由. 22在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数） ，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程； （2）过点的直线 依次与两曲线交于，四点，且，求直线的普通方
6、程. 23已知函数. （1）若，且不等式的解集为，求的值； （2）如果对任意，求的取值范围. 答案解析部分答案解析部分 【解析】【解答】由题意，得 ， 或 ， 所以 。 故答案为：D. 【分析】利用已知条件结合绝对值不等式得出集合 M，再利用对数型函数的定义域和元素与集合的关系，进而得出集合 N，再结合补集的运算法则得出集合 N 的补集。 【解析】【解答】由题意，得样本容量为， 抽取的高中生中近视人数为 。 故答案为：B. 【分析】利用已知条件结合分层抽样的方法和扇形图中的数据和条形图中的数据，进而结合统计的方法得出样本容量和抽取的高中生近视人数。 【解析】【解答】因为， 因为 对应的点在第三
7、象限， 所以 ，解得 ； 结合所给选项，得实数 的值可以是 0。 故答案为：C. 【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则得出复数 z，再结合复数的几何意义得出复数 z对应的点的坐标，再结合点的坐标确定点所在的象限，进而得出实数 a 的取值范围，进而得出实数 a可以的值。 【解析】【解答】由为偶函数得函数的图像关于对称. 假设 A、B 符合题意，由此判断出 C、D 不符合题意，与已知矛盾，由此判断答案 A、B 中一个正确一个错误，C、D 符合题意.而 A、C 矛盾，由此确定 A 不符合题意. 故答案为：A. 【分析】利用已知条件结合减函数的定义和偶函数的图像的对称性，再结合函数求最值的方法
8、，从而找出错误的选项。 【解析】【解答】由组成没有重复数字的五位数，基本事件总数为：； 其中是奇数的基本事件个数为： ， 所求概率 。 故答案为：D. 【分析】利用已知条件结合排列数公式和组合数公式，再结合古典概型求概率公式得出组成的五位数是奇数的概率 。 【解析】【解答】因为等差数列和的前 n 项的和分别是和，且， 所以 。 故答案为：B. 【分析】利用已知条件结合等差数列前 n 项和公式和等差数列的性质，得出 的值。 【解析】【解答】对于 A 选项，当 时，不符合，所以 A 选项错误； 对于 B 选项，由于 ，所以 ，所以 ，所以 B 选项正确； 对于 C 选项，如 ，但是 ，所以 C 选
9、项错误； 对于 D 选项，由于 的正负不确定，所以无法由 ， 得出 ，所以 D选项错误. 故答案为：B 【分析】利用不等式的性质对选项逐一分析，由此即可确定正确选项. 【解析】【解答】， 由于函数 在 上单调递增， ， 即 . 只能取 0，此时 ， 是函数 在 上单调递增的必要不充分条件. 故答案为：A. 【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而推出 是函数在上单调递增的必要不充分条件。 【解析】【解答】由程序框图，知其实质为函数， 当 时： ， 时， ， 时， ， 。 故答案为：A. 【分析】利用已知条件结合程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构，进而得出输出 y 的取值范
10、围。 【解析】【解答】焦点到渐近线的距离为， 所以 ， 因为， ，即 ，即 ， ， ， 解得 ， ， 。 故答案为：D. 【分析】利用已知条件结合点到直线的距离公式得出焦点 到渐近线的距离，再结合弦长公式得出的值，再利用，得出，再结合双曲线中 a,b,c 三者的关系式得出 a,c 的不等关系式，再利用双曲线的离心率公式变形得出双曲线的离心率的取值范围。 【解析】【解答】当时，二次函数的对称轴为直线， 此时函数 在区间 上单调递减， ， 函数 在区间 上单调递减， ， 欲使函数 有最小值，需 ，解得： 与 矛盾. 当 时，函数 的对称轴为直线 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，此时函数 在
11、区间 上的最小值为 ， 函数 在区间 上单调递减，此时， ， 欲使函数 有最小值，需 ，解得 与 矛盾； 当 时，二次函数 的对称轴为直线 ， 在区间 上的最小值为 ， 在区间 上单调递增， ， 欲使函数 有最小值，需 ，即 ， 综上所述，实数 的取值范围是 。 故答案为：D. 【分析】利用已知条件结合分段函数的解析式，再结合分类讨论的方法，再结合二次函数的单调性，进而得出二次函数的最小值，再结合指数型函数的单调性，从而求出指数型函数的最小值，再结合比较法得出分段函数的最小值，从而得出实数 a 的取值范围。 【解析】【解答】在中， ， ， ， 外接圆半径 ， ， 如图所示，设 的中点为 ，则
12、为过 的截面圆的圆心，设球的半径为 ，所 以球心 到平面 的距离为 ， 当点 平面 时，四面体 体积的最大， 即： ，解得 ， 。 故答案为：A. 【分析】在 中结合已知条件和余弦定理和勾股定理得出，再结合中点的性质得出三角形外接圆半径，再利用三角形的面积公式得出的值，设的中点为，则为过的截面圆的圆心，设球的半径为 ，再利用勾股定理得出球心到平面的距离，当点平面时，四面体体积的最大，再利用三棱锥的体积公式结合等体积法得出球的半径长，再结合球的体积公式得出这个球的体积。 【解析】【解答】将代入，得切点为， ， 又因为 ， ， ， 代入得 ， 。 故答案为： 。 【分析】利用已知条件结合求导的方法
13、求出曲线在切点处的切线方程，进而得出 m,n 的值，从而得出 mn 的值。 【解析】【解答】由题知：， 当 时，显然不成立， 当 时， ， 整理得： ， ，故 。 故答案为：10。 【分析】利用已知条件结合等差中项公式和分类讨论的方法，再结合等比数列的前 n 项和公式和等比数列的性质，进而得出 n 的值。 【解析】【解答】画出图形如图， 它的几何意义是 的长度与 在 向量上的投影的乘积， 由图可知，P 在 C 处时，取得最大值， ，此时，可得 ，即最大值为 . 在 处取得最小值，此时 ，最小值为 ， 因为 是边长为 1 的正六边形 内的一点，取不到临界值， 所以 的取值范围是 。 故答案为：
14、。 【分析】利用已知条件结合数量积的定义和数量积的几何意义是 的长度与在向量上的投影的乘积，再利用几何法得出点 P 在 C 处时，取得最大值，再结合投影求解方法和数量积的定义得出的最大值， 再利用几何法得出点 在 处取得最小值，再结合数量积的定义得出的最小值，再利用 是边长为 1 的正六边形内的一点，取不到临界值，进而得出的取值范围。 【解析】【解答】设， ， ， ， ， 由 ， 得： ， ， 两式相乘得： ，同理可得： ， ， 由题意知： 且 ，否则与 矛盾， ， 点轨迹为 ，即直线 ， 线段 长度的最小值即为原点到直线的距离， 。 故答案为： 。 【分析】设 ，再利用向量的坐标表示得出向量
15、的坐标，再结合向量的共线的坐标表示得出，由题意知：且，否则与矛盾，进而得出，从而得出点 Q 的轨迹方程，进而得出点 Q 的方程为直线，再利用几何法和点到直线的距离公式得出线段长度的最小值即为原点到直线的距离，从而得出线段长度的最小值。 【解析】【分析】 （1）利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，进而得出甲率先得 1 分的概率。 （2） 由（1）知，在每道题的抢答中甲、乙得 1 分的概率分别为 ，设两人共抢答了道题比赛结束，且甲获胜，根据比赛规则，得出随机变量的所有可能取值，再利用二项分布求概率公式得出随机变量 X 的分布列，再结合分布列中的概率求和得出甲获胜的概率。
16、 （3） 由（1） （2）结合互斥事件求概率公式得出知改变规则后甲获胜的概率，再结合比较法得出甲获胜的概率变大了，对甲更有利。 【解析】【分析】 （1）利用已知条件结合正弦定理和同角三角函数基本关系式得出角 C 的正切值，再结合角 C 为锐角得出角 C 的值，再结合正弦函数的定义得出角 C 的正弦值。 （2）利用已知条件结合正弦定理的性质得出三角形外接圆的半径长，再结合三角形的周长公式和三角形内角和为 180 度的性质，再结合三角形中角 A 的取值范围结合正弦型函数的图像求值域的方法，进而得出三角形 周长的取值范围。 【解析】【分析】 （1） 在中，利用为中点且得出，再利用平面平面结合面面垂直
17、证出线面垂直，所以平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再利用，分别为，的中点结合中点作中位线的方法和中位线的性质得出，所以，在直角和直角中，再结合两三角形全等的判断方法得出，再结合勾股定理得出再结合线线垂直证出线面垂直，所以平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，从而证出。 （2）利用直线 平面，由（1）得，三线两两垂直，以为原点，以，为，轴建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式得出直线与平面所成的角的正弦值，再结合分类讨论的方法结合换元法和中点的性质，再由二次函数的图像求最值的方法，进而得出线段与平面所成角的正弦的最大值
18、。 【解析】【分析】 （1）利用已知条件结合导数的几何意义， 从而得出 a 的值，进而得出抛物线的标准方程。 （2） 由题意知直线 的斜率都存在且都不为零，由（1）知点 M 的坐标，设，再设直线，再结合直线与抛物线相交，联立二者方程结合韦达定理，得出，再结合代入法和中点坐标公式得出 AB 的中点 E 的坐标，再利用两直线垂直斜率之积等于-1，得出直线 CD 的方程，再结合中点坐标公式得出 CD 中点 F 的坐标，再利用两点式求出直线 EF 的方程，再转化成直线的点斜式方程，进而证出直线恒过的定点，并求出定点的坐标。 【解析】【分析】 （1）利用 a 的值求出函数的解析式，再结合求导的方法判断函
19、数的单调性，进而得出函数的极小值点，从而证出函数存在唯一极小值点， 进而由辅助角公式得出， 再利用结合正弦型函数的图像求值域的方法，进而求出函数的值域，进而证出成立。 （2）利用 已知条件结合分类讨论的方法，再结合函数求零点的方法， 得出当 时，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极小值和极大值，再利用，得出，进而得出函数的值域，再利用两函数的交点的横坐标与函数的零点的等价关系，得出存在实数或，使在上有且只有一个零点。 【解析】【分析】 （1）利用已知条件结合参数方程与普通方程的转化方法，再结合极坐标与直角坐标互化公式，得出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程。 （2）利用已知条件结合 点斜式设出直线的方程，再结合直线与两曲线相交，联立二者方程得出交点 A,B,C,D 的坐标，再结合两点距离公式得出直线的斜率，进而得出直线 的普通方程。 【解析】【分析】 （1）利用 a 的值求出函数 f(x)的解析式，再结合零点分段法得出绝对值不等式的解集，进而得出实数 a 的值。 （2）利用已知条件结合绝对值的定义将函数转化为分段函数，再利用分类讨论的方法结合函数求最小值的方法，进而结合比较法得出分段函数的最小值，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数 a 的值。
