1、高三下学期理数二模预测试卷高三下学期理数二模预测试卷 一、单选题一、单选题 1已知集合，则（ ） A B且 C D 2已知复数 z 满足，则（ ） A B2 C D 3命题，命题，则下列命题为真命题的是（ ） A B C D 4若的展开式中的系数为 12，则实数（ ） A1 B2 C3 D4 5已知是上的奇函数，当时，则（ ） A B8 C6 D 6把函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若在上是减函数，则实数 a 的最大值为（ ） A B C D 7如图，在直三棱柱中，P 为的中点，则直线与所成的角为（ ） A30 B45 C60 D90 8高三（1）班举行英语演讲比赛，共有六名同学进
2、入决赛，在安排出场顺序时，甲排在后三位，且丙、丁排在一起的概率为（ ） A B C D 9已知的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且，则边上的中线长为（ ） A49 B7 C D 10已知圆，P 为直线上的动点，过点 P 作圆 C 的切线，切点为 A，当的面积最小时，的外接圆的方程为（ ） A B C D 11已知抛物线，过焦点的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，若以为直径的圆与 C 的准线切于点，则 l 的方程为（ ） A B C D 12已知函数，若函数恰有三个零点时，（其中 m，n 为正实数） ，则的最小值为（ ） A9 B7 C D4 二、填空题二、填空题 13已知向量
3、与的夹角为，且，则 14已知为锐角，若，则 15已知是双曲线 C 的左右焦点，P 为 C 上一点，且，则C 的离心率为 16在四棱锥中，底面是边长为 2 的正方形，则以该四棱锥外接球的球心为球心且与平面相切的球的体积为 三、解答题三、解答题 17已知正项等比数列的前 n 项和为，且，数列满足 （1）证明：数列为等差数列； （2）记为数列的前 n 项和，证明： 18随着人民生活水平的日益提高，汽车普遍进入千家万户，尤其在近几年，新能源汽车涌入市场，越来越受到人们喜欢某新能源汽车销售企业在 2017 年至 2021 年的销售量 y（单位：万辆）数据如表所示 年份 2017 年 2018 年 201
4、9 年 2020 年 2021 年 年份代号 x 1 2 3 4 5 销售量 y/万辆 17 18 20 22 23 参考数据：含， 参考公式：相关系数，其中为样本平均值，线性回归方程也可写为 （1）根据数据资料，可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系，请用相关系数加以说明； （2）求出 y 关于 x 的线性回归方程，并预计 2022 年该新能源汽车销售企业的销售量为多少万辆？ 19如图，正方体的棱长为 2，E，F 分别为和的中点，P 为棱上的动点 （1）是否存在点 P 使平面？若存在，求出满足条件时的长度并证明；若不存在，请说明理由； （2）当为何值时，平面与平面所成锐二面角的正弦值最小
5、20已知函数 （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，恒成立，求实数 a 的取值范围 21已知椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为，椭圆 C 的左、右焦点分别为，且到直线的距离为，若直线 l 与 C 有且只有一个公共点 P，且点 P 不在 x 轴上，过点作 l 的垂线，垂足为 Q， （1）求椭圆 C 的方程； （2）求面积的最大值 22在直角坐标系中，直线 l 的参数方程为（t 是参数） 以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 （1）求 l 的极坐标方程和 C 的直角坐标方程； （2）若 l 与 C 交于 A，B 两点，求的值 23设、为正实数，且. （1）证明
6、：； （2）证明： 答案解析部分答案解析部分 【解析】【解答】因为， 所以， 故答案为：D. 【分析】化简集合 A,B，再利用并集的定义即可求出答案。 【解析】【解答】令，则，且， 所以，则， 所以，可得，即， 所以. 故答案为：C 【分析】 先由复数的运算求复数 z，再由复数模的运算求解即可. 【解析】【解答】当时，为假命题，故命题为假，为真； 当时，成立，故命题为真命题，为假； 所以为假，为假，为真，为假， 故答案为：C. 【分析】 根据条件判断命题 p,q 的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可. 【解析】【解答】由的展开式通项为，含的项包含了和两项， 所以含的项为，即，可得. 故答案
7、为：B 【分析】 利用二项式定理求出展开式中含的项，然后建立方程即可求解出 m 的值. 【解析】【解答】由奇函数的性质，可得. 故答案为：B 【分析】 由奇函数定义可知，代入已知函数解析式即可求解出答案. 【解析】【解答】由题设，则， 又上递减，即上递减， 由在上是减函数，则，A 的最大值为. 故答案为：A 【分析】 由题意，利用函数 y=Asin(wx+)的图象变换规律，余弦函数的图象和性质，求得实数 a的最大值. 【解析】【解答】若是中点，连接， 直三棱柱中且，则为平行四边形， 所以，故直线与所成角即为， 令，又，则且，则， 又，故，又， 所以. 故答案为：A 【分析】取 BD 中点 E，
8、连接，推导出是直线 PB 与 AD1所成的角，再结合条件利用余弦定理求出的值即可. 【解析】【解答】1、将除甲丙丁外的其它三名同学作排列有种； 2、丙丁捆绑，插入三名同学成排的 4 个空中，分两种情况： 当插入前 2 个空有种，再把甲插入五名同学所成排的 5 个空中后 3 个空有种； 当插入后 2 个空有种，再把甲插入有种； 所以，甲排在后三位且丙、丁排在一起的安排方法有种， 而六位同学任意安排的方法数为种， 所以甲排在后三位且丙、丁排在一起的概率为. 故答案为：B 【分析】利用分类分步计数，结合捆绑法，排列组合数求甲排在后三位且丙、丁排在一起的安排方法数，再由全排列求六位同学任意安排的方法数
9、，应用古典概率的求法求概率即可。 【解析】【解答】因为，故可得， 根据余弦定理可得，故， 不妨取中点为，故， 故. 即边上的中线长为. 故答案为：. 【分析】根据面积公式结合已知数据，即可求得 b，根据余弦定理即可求得 c，结合中线的向量表达即可求得中线长度。 【解析】【解答】由题可知，半径，圆心， 所以，要使的面积最小，即最小，的最小值为点到直线的距离，即当点运动到时，最小，直线 的斜率为，此时直线的方程为，由，解得，所以，因为是直角三角形，所以斜边的中点坐标为，而，所以的外接圆圆心为，半径为，所以的外接圆的方程为. 故答案为：C. 【分析】先确定的面积最小时 P 点坐标，再由是直角三角形求
10、出外接圆的圆心和半径，即可求出外接圆方程。 【解析】【解答】由题设，直线 l 的斜率存在且不为 0，令， 联立抛物线并整理得：，则， 所以， 又， 综上，可得，故直线，即. 故答案为：D 【分析】当直线 l 斜率不存在时，显然不成立；当直线 l 斜率存在时，设，联立抛物线结合韦达定理得到，进而得，的值，由以 AB 为直径的圆与 C 的准线切于点可知，进而求出斜率，得到 l 的方程. 【解析】【解答】 当时，恒成立， 在上单调递减， ， 当时，为偶函数，在上单调递增，在上单调， ，即， 当时，恒成立，在上单调递增， ， 由此作出函数的草图如下所示， 由函数恰有三个零点可得，即， 所以 ， 即的最
11、小值为 9，当且仅当，时，等号成立， 故答案为：A. 【分析】将函数写成分段函数的形式，利用导数判断出函数的单调性，根据函数的图象与零点的关系可得 a 的值，最后由基本不等式即可得答案. 【解析】【解答】依题意，则有，由两边平方得： ，即，解得：， 所以. 故答案为：1 【分析】 求出，再利用给定等式及向量夹角，结合数量积运算律列式计算可得的值. 【解析】【解答】由题设，即，又为锐角，则， 而. 故答案为：. 【分析】 利用的范围以及诱导公式求出 cosa，sina 的值，再根据余弦的差角公式化简即可求解出 的值 . 【解析】【解答】由题设，又，则，而， 所以，则， 所以，故. 故答案为： 【
12、分析】由已知条件可得，再由余弦定理可得，从而可得双曲线 C 的离心率. 【解析】【解答】将四棱锥放入如下图所示的正四棱柱中，可知其外接球的球心为与的交点，因此以该四棱锥外接球的球心为球心且与平面相切，其半径为点到平面的距离. 由题意可知，此正四棱柱的高，即为等腰直角三角形斜边上的高，此高为 1， 所以由， 即，解得， 所以此球的体积为. 故答案为： 【分析】 先确定四棱锥外接球的球心，再利用等体积法求球体的半径即可求出此球的体积. 【解析】【分析】(1)根据等比数列的通项公式求出公比 q，从而得 an和 Sn，再由指数的运算法则，推出 ，证得数列为等差数列； (2)采用裂项求和法可得再根据 n
13、 的取值范围，利用基本不等式即可证得 。 【解析】【分析】(1)由参考数据及公式得相关系数 r0.99，由 非常接近 1 ，可得线性回归模型拟合 y 与 x 的关系； (2)由表中的数据求得：及得所求 y 关于 x 的回归直线方程为 ，再由2017 年为第 1 年，则 2022 年为第 6 年，将 x = 6 代入线性回归方程中可预计 2022 年新能源汽车销量. 【解析】【分析】(1)利用空间向及坐标法，引入参数 t 表示点 P，再通过线面垂直建立 t 的方程，从而求得结论； (2)求出平面的法向量和平面的法向量， 利用空间向量法求出平面与平面所成锐二面角的正弦值，再利用二次函数的性质可求得
14、最小值 . 【解析】【分析】(1)把 代入，然后对函数求导，结合导数与单调性关系可求出 的单调性； (2)由已知不等式分离参数，由不等式恒成立然后转化为求解相应函数的最值，构造函数，结合导数可求出实数 a 的取值范围 【解析】【分析】 （1）根据已知条件，求得 a、b、c 的方程组，求解即可得到椭圆 C 的方程； （2） 根据题意，直线 的斜率存在，设直线 的方程为，根据其与椭圆相切求得 k,m 关系，分类讨论直线斜率是否存在，当斜率存在时求得点 Q 的坐标以及对应的轨迹，结合三角形的面积公式即可求得面积的最大值。 【解析】【分析】(1)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换可得 l的极坐标方程和 C 的直角坐标方程； (2)利用极径的应用和一元二次方程根和系数关系式的应用求出 的值 【解析】【分析】(1)由已知可得出 ，结合基本不等式可证得 ； (2)利用柯西不等式可得出 即可证得结论成立.
