1、高三下学期理数二模试卷高三下学期理数二模试卷 一、单选题一、单选题 1已知集合，则（ ） A B C D 2复数的虚部是（ ） A B1 C D-1 3已知命题，则为（ ） A， B， C， D， 4若满足约束条件，则的最小值为（ ） A5 B1 C-3 D-5 5在正方体分别为的中点，则异面直线与所成角的大小为（ ） A B C D 6函数的最小值为（ ） A1 B-1 C D 7已知函数为定义在 R 上的奇函数，且，当时，则（ ） A2021 B1 C-1 D0 8某单位决定从 4 名男党员干部和 3 名女党员干部中选取 3 人赴外地考察学习，若选出的 3 人中既有男党员干部又有女党员干部
2、，则不同的选取方案共有（ ） A60 种 B34 种 C31 种 D30 种 9魏晋时期数学家刘徽在他的著作九章算术注中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”（如图） ，通过计算得知正方体的体积与“牟合方盖”的体积之比为 3：2.若在该正方体的外接球内任取一点，此点取自“牟合方盖”内的概率为（ ） A B C D 10已知，且，则（ ） A-2 B C D 11已知，则函数的零点个数为（ ） A0 B1 C2 D3 12已知 AB 是椭圆（）长轴的两端点，PQ 是椭圆上关于 x 轴对称的两点，直线 AP，BQ 的斜率分别为，（） ，若椭圆的离心率为，则的最小值为（
3、） A2 B C1 D 二、填空题二、填空题 13在中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若则边 . 14已知平面向量，则 . 15给出以下命题： “”是“，”的充分不必要条件； 垂直于同一个平面的两个平面平行； 若随机变量 XN（3，） ，且，则； 已知点 P（2，0）和圆 O：上两个不同的点 M，N，满足MPN=90，Q 是弦 MN的中点，则点 Q 的轨迹是一个圆. 其中正确命题的序号是 . 16已知双曲线 C： （，）的左焦点为 F，过 F 且与双曲线 C 的一条渐近线垂直的直线 l与另一条渐近线交于点 P，交 y 轴于点 A，若 A 为 PF 的中点，则双曲线 C 的离心率为
4、. 三、解答题三、解答题 17已知函数，数列满足.数列为等差数列，满足，. （1）求数列、的通项公式； （2）求数列的前项和. 18某地区 2015 年至 2021 年居民家庭人均存款 y（单位：万元）数据如下表： 年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 年份代号 t 1 2 3 4 5 6 7 人均存款 y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 变量 t，y 具有线性相关关系.现有甲乙丙三位同学通过计算求得其回归直线方程分别为：甲；乙；丙，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的. （1）试判断谁的计算结果正确？ （2）若由线性回归方程得到
5、的估计数据与检测数据的误差大于 0.1，则称该数据为“不可靠数据”，若误差为 0，则称该检测数据是“完美数据”，这两者之外的其余数据均称为“可靠数据”.现剔除不可靠数据，从剩余数据中随机抽取 2 个，求其中“完美数据”个数的分布列和数学期望. 19如图，四边形与均为菱形，且. （1）求证：平面； （2）求二面角 的余弦值. 20已知抛物线 C：（） ，过焦点 F 作 x 轴的垂线与抛物线 C 相交于 MN 两点，SMON=2. （1）求抛物线 C 的标准方程； （2）点 A 是抛物线 C 上异于点 O 的一点，连接 AO 交抛物线的准线于点 D，过点 D 作 x 轴的平行线交抛物线于点 B，求
6、证：直线 AB 恒过定点. 21已知函数. （1）若恒成立，求实数 k 的取值范围； （2）证明：(，). 22已知曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系. （1）求曲线 与曲线 公共点的极坐标； （2）若点 的极坐标为 ，设曲线 与 轴相交于点 ，点 在曲线 上，满足 ，求出点 的直角坐标. 23已知关于 x 的不等式有解. （1）求实数 m 的取值范围； （2）设是 m 的最大值，若，且，求证：. 答案解析部分答案解析部分 【解析】【解答】 所以 函数要有意义，则，所以 所以 所以 故答案为：C 【分析
7、】化简集合 A，B，再根据交集的运算可得答案。 【解析】【解答】解：复数 z=i， z 的虚部是1 故答案为：D 【分析】利用复数代数形式的乘除运算可得答案。 【解析】【解答】由全称命题的否定知：，. 故答案为：C. 【分析】利用全称命题的否定是特称命题可得答案。 【解析】【解答】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示， 由得：， 则当取最小值时，在轴截距取得最大值， 由图象可知：当直线过时，轴截距最大， 由得：，即，. 故答案为：C. 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案。 【解析】【解答】连接、易知，即为异面直线与
8、所成角或其补角，易知等边三角形， 故角为. 故答案为：C. 【分析】 由题可知，平移得到，即为异面直线与所成角或其补角，在中求出即可. 【解析】【解答】 当时，取得最小值. 故答案为：D 【分析】根据三角恒等变换的公式化简函数，再结合正弦函数的性质可得答案。 【解析】【解答】因为， 所以， 所以，所以函数的周期为 4， 所以， 因为函数为定义在 R 上的奇函数，且当时， 所以， 所以1， 故答案为：B 【分析】 由已知条件可得函数的周期为 4，然后利用周期化简结合奇函数的性质和已知的解析式可求得答案. 【解析】【解答】从 7 名党员选 3 名共有种情况，全男或全女的情况共有种情况， 则既有男党
9、员干部又有女党员共有种情况. 故答案为：D 【分析】根据题意求出从 7 名党员选 3 名的数目，再求全男或全女的情况的数目，相加可得答案。 【解析】【解答】设正方体棱长为 1，则正方体体对角线，外接球半径，所以牟合方盖的体积，外接球的体积，所以，所求概率. 故答案为：B 【分析】设正方体棱长，根据体对角线长等于外接球的直径，然后根据体积比可求得答案。 【解析】【解答】因为，由二倍角公式可知， ， 即， 因为，等式两边同时除以得， 即， 故答案为：B. 【分析】利用正、余弦二倍角公式化简，再等式两边同时除以，可求出答案。 【解析】【解答】函数定义域为，求导得：， 令，显然在上单调递减，而， 则存
10、在，使得，即，当时，当时， 因此，在上单调递增，在上单调递减， ， 而，则存在使得，即在上存在唯一零点， 又，令， 则在上单调递减， 于是得，则存在使得，即在上存在唯一零点， 综上得：函数的零点个数为 2. 故答案为：C 【分析】求出函数 f (x)的导数，利用导数讨论 f (x)单调性，确定其最大值为正，再根据零点存在性定理可得答案. 【解析】【解答】由已知可得， 设点，则，且有，可得， 设点、，则 ，因为在椭圆上，所以所以当时，的最小值为：. 故答案为：D. 【分析】求出的值，推导出，所以当时，求出 的最小值 . 【解析】【解答】由题知：， 因为，所以. 又因为，所以. 所以，. 故答案为
11、：2 【分析】根据正弦定理得出，从而得到，再利用勾股定理计算可得 c 的值。 【解析】【解答】由， 由， 故答案为：7 【分析】 利用向量的模的运算法则，转化求解向量的数量积即可. 【解析】【解答】解：对于：由，得，所以“”是“，”的充分不必要条件，故正确； 对于：垂直于同一个平面的两个平面可能平行，也可能相交，故不正确； 对于：因为随机变量 XN（3，） ，且，所以， 所以，故不正确； 对于：设点，由题意得，则，化简得，所以点 Q 的轨迹是一个圆.故正确， 故答案为：. 【分析】对于：由，得，根据充分必要条件的定义可判断；对于：由垂直于同一个平面的两个平面可能平行，也可能相交，可判断；对于：
12、根据正态分布的性质计算可判断；对于：设点，由题意得代入点坐标，化简根据圆的定义可判断. 【解析】【解答】设与直线 l 垂直的渐近线的方程为：， 因为直线 与该渐近线垂直，所以， 所以的直线方程为， 令，得， 所以点 A 坐标为， 联立 ，得， 所以点 P 坐标为， 又因为 A 为中点，所以， 即， 化简得， 所以双曲线离心率为：， 故答案为：. 【分析】由已知可得 PF 所在直线方程，与联立，可得 P 点坐标，再由 A 为 PF 的中点，得可得，由此可得双曲线的离心率. 【解析】【分析】(1)由题知， ， 可得 bn，可得 a1= 2，a3=6，利用等差数列的通项公式可得 an； (2)由(1
13、)知， ，nN* ，利用求和公式即可求出 . 【解析】【分析】 （1）根据线性回归方程 过样本中心，结合代入法进行求解判断即可； （2）根据（1）的结论，结合古典概型的运算公式，数学期望公式进行求解即可。 【解析】【分析】(1) 设与相交于点，连接， 由已知证明 ，可得 平面； (2)连接 DF，由已知证明DBF为正三角形，O 为 BD 的中点，可得 OFBD，又 且 ，则 平面，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 分别求出平面 AEF 的一法向量与平面 AFB 的一个法向量，再由两法向量所成角的余弦值可得二面角 的余弦值. 【解析】【分析】(1)利用 求出 yM，yN ，即可
14、把 表示程关于 p 的函数，结合解方程求出 p，即可求出抛物线 C 的标准方程； (2) 设， ,分别表示出 ，的坐标，即可利用 ，三点共线求出 的值，再设 AB 方程为 ，联立抛物线方程即可求解得到 ，最后求出c 的值,即可判断直线 AB 所过的定点. 【解析】【分析】(1)由 f(x)0 得 在(0, +)上恒成立，得 在(0, +)上恒成立，然后构造函数 ，求该函数在(0, +)上的最大值即可求出实数 k 的取值范围； (2)由(1)知，当 k= 1 时， 对任意恒成立，令 (，且)，结合 可证明此题. 【解析】【分析】 (1)直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； (2)直接利用向量垂直的充要条件和三角函数的值的应用求出结果. 【解析】【分析】(1)利用绝对值不等式的性质求得 的最大值为 3，再由 求解绝对值的不等式即可求出实数 m 的取值范围； (2)由(1)知 M=1，代入 ，然后利用柯西不等式证明 .
