1、2022-4-16麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组1 电磁场理论电磁场理论 麦克斯韦方程麦克斯韦方程1.1 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律1.2 全电流定律全电流定律1.3 电磁场的基本方程组电磁场的基本方程组1.4 坡印廷定理和坡印廷矢量坡印廷定理和坡印廷矢量麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组2 在时变场中，电场与磁场都是时间和空间坐标在时变场中，电场与磁场都是时间和空间坐标的函数；变化的磁场会产生电场，变化的电场会产的函数；变化的磁场会产生电场，变化的电场会产生生磁磁场，电场与磁场相互依存构成统一的电磁场。场，电场与磁场相互依存构成统一的电磁场。 英国科学家麦克斯韦将静态场、恒定场、时变英国科
2、学家麦克斯韦将静态场、恒定场、时变场的电磁基本特性用统一的场的电磁基本特性用统一的麦克斯韦麦克斯韦方程组高度概方程组高度概括。括。麦克斯韦麦克斯韦方程组是研究宏观电磁场现象的理论方程组是研究宏观电磁场现象的理论基础。基础。麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组3时变场的知识结构框图：时变场的知识结构框图：磁通磁通连续性原理连续性原理高斯定律高斯定律电磁感应定律电磁感应定律全电流定律全电流定律MaxwellMaxwell方程组方程组坡印廷定理与坡印廷矢量坡印廷定理与坡印廷矢量正弦电磁场正弦电磁场动态位动态位A A , ,分界面上衔接条件分界面上衔接条件达朗贝尔方程达朗贝尔方程电磁辐射、传输线及波导电磁辐射
3、、传输线及波导麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组4电磁感应定律（电磁感应定律（Faradays LawFaradays Law） 当与回路交链的磁通发生变化时，回路中会产生感应电当与回路交链的磁通发生变化时，回路中会产生感应电动势，这就是法拉弟电磁感应定律。动势，这就是法拉弟电磁感应定律。电磁感应定律：电磁感应定律：ddet 负号表示感应电流产生的负号表示感应电流产生的磁场总是阻碍原磁场的变化。磁场总是阻碍原磁场的变化。感生电动势的参考方向感生电动势的参考方向1.1 1.1 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组51.1.回路不变，磁场随时间变化回路不变，磁场随时间变化dd
4、dSett BS又称为感生电动势，这是变压器工作的原理，亦称又称为感生电动势，这是变压器工作的原理，亦称为变压器电势。为变压器电势。图图 感生电动势感生电动势根据磁通变化的原因，根据磁通变化的原因， 分为三类：分为三类：e麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组62.2.磁场不变，回路切割磁力线磁场不变，回路切割磁力线d() ddlet Bl称为动生电动势，这是称为动生电动势，这是发电机工作原理，亦称发电机工作原理，亦称为发电机电势。为发电机电势。图图 动生电动势动生电动势麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组7实际上，运动回路中产生感应电动势的原因，同样实际上，运动回路中产生感应电动势的原因，同样是回路中的磁通发
5、生变化。是回路中的磁通发生变化。2022-4-16麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组83. 3. 磁场随时间变化，回路切割磁力线磁场随时间变化，回路切割磁力线d() dddlSett BBlS实验表明：只要与回路交链的磁通发生变化，回路实验表明：只要与回路交链的磁通发生变化，回路中就有感应电动势。中就有感应电动势。 与构成回路的材料性质无关与构成回路的材料性质无关（甚至可以是假想回路），当回路是导体时，有感（甚至可以是假想回路），当回路是导体时，有感应电流产生。应电流产生。e电荷为什么会运动呢？即为什么产生感应电流呢？电荷为什么会运动呢？即为什么产生感应电流呢？思考思考麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组9
6、4. 4. 感应电场感应电场 麦克斯韦假设，变化的磁场在其周围激发着一种电场，该麦克斯韦假设，变化的磁场在其周围激发着一种电场，该电场对电荷有作用力（产生感应电流），称之为感应电场电场对电荷有作用力（产生感应电流），称之为感应电场 。iid() d dlstBElESSit BE图图 变化的磁场产生感应电场变化的磁场产生感应电场在静止媒质中在静止媒质中idle El 感应电场是非保守场，电力线呈闭合曲线，变化的磁场感应电场是非保守场，电力线呈闭合曲线，变化的磁场 是产生是产生 的涡旋源，故又称涡旋电场。的涡旋源，故又称涡旋电场。iEtB2022-4-16麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组10图图 变
7、化的磁场产生感变化的磁场产生感应电场应电场t BE 若空间同时存在库仑电场若空间同时存在库仑电场, , 即即 则有则有i,CEEE 表明不仅电荷产生电场，变表明不仅电荷产生电场，变化的磁场也能产生电场。化的磁场也能产生电场。 根据自然界的对偶关系，变化的电场是否会产生根据自然界的对偶关系，变化的电场是否会产生 磁场呢？磁场呢？思考思考2022-4-16麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组112dd0lSHlJS问题的提出问题的提出1ddlSiHlJS思考思考经过经过S1面面经过经过S2面面dliHl为什么相同的线积分结果不同？电流不连续为什么相同的线积分结果不同？电流不连续 吗？原因所在？吗？原因所在
8、？1.2 1.2 全电流定律全电流定律交变电路用安培交变电路用安培 环路定律环路定律麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组121.1.时变场的电流连续性时变场的电流连续性 在恒定电场中传导电流是恒定电流。根据恒定电流在恒定电场中传导电流是恒定电流。根据恒定电流的连续性，有的连续性，有在时变场中，根据电荷守恒原理，有在时变场中，根据电荷守恒原理，有麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组13应用散度定理，可得应用散度定理，可得这就是时变场的电流连续性方程这就是时变场的电流连续性方程传导电流不再保持连续。传导电流不再保持连续。麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组142.2.位移电流位移电流在时变场中，传导电流不再保持连续。在时
9、变场中，传导电流不再保持连续。可以看作是一种电流密度，记为可以看作是一种电流密度，记为 全电流密度为全电流密度为位移电流密度位移电流密度麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组153.3.全电流定律全电流定律 根据位移电流的假设，麦克斯韦将安培环路定理推广到根据位移电流的假设，麦克斯韦将安培环路定理推广到时变场，得到全电流定律时变场，得到全电流定律的微分形式的微分形式应用斯托克斯定理，得到全电流定律的积分形式应用斯托克斯定理，得到全电流定律的积分形式l 变化的电场能产生磁场。变化的电场能产生磁场。l 变化的电场也看成一种电流。变化的电场也看成一种电流。麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组16有时候在全电流中还需要
10、考虑不导电空间电荷运动形成的运流电流。运流有时候在全电流中还需要考虑不导电空间电荷运动形成的运流电流。运流电流密度为电流密度为完整的全电完整的全电流定律的微流定律的微分形式应为分形式应为全电流定律表明，除传全电流定律表明，除传导电流、运流电流产生导电流、运流电流产生磁场外，位移电流也产磁场外，位移电流也产生磁场。传导电流和运生磁场。传导电流和运流电流都是电荷的运动。流电流都是电荷的运动。但位移电流却不是电荷但位移电流却不是电荷的运动，而只是电场的的运动，而只是电场的变化。变化。麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组17例例5-2-15-2-1求图所示平行平板电容器中的位移电流密度和位移电流。求图所示平行
11、平板电容器中的位移电流密度和位移电流。 解解设电容器极板面积为设电容器极板面积为S S，正负极板距离为，正负极板距离为d,d,电介质的介电介质的介电常数为电常数为，电容器正负极之间加随时间变化的电压，电容器正负极之间加随时间变化的电压u u。dtuEDduE)(,)dd(dtudtDJ位移电流密度位移电流密度位移电流密度位移电流密度位移电流密度位移电流密度位移电流密度：位移电流密度：位移电流：位移电流：cddd)dd(dituCtudSiSSJ麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组18l电容本身是不可能传导电流的，但接入电容器的闭合电路并电容本身是不可能传导电流的，但接入电容器的闭合电路并不就是等于断开
12、了电路。不就是等于断开了电路。l 电容器仍然起到了传递相互作用的作用。这种相互作用体电容器仍然起到了传递相互作用的作用。这种相互作用体现在电容器的充电与放电的过程中。无论是充电还是放电，在现在电容器的充电与放电的过程中。无论是充电还是放电，在电容器的极板之间的空间中出现了变化的电场，这个变化电场电容器的极板之间的空间中出现了变化的电场，这个变化电场通过储存和放出能量来响应电路中的电流变化。通过储存和放出能量来响应电路中的电流变化。l如果我们考虑这个变化电场的电通量的时间变化率，就会发如果我们考虑这个变化电场的电通量的时间变化率，就会发现总是和电路中的电流大小相等。而电位移矢量的时间变化率现总是
13、和电路中的电流大小相等。而电位移矢量的时间变化率的方向总是和电路中的电流的方向一致，那么我们很自然地就的方向总是和电路中的电流的方向一致，那么我们很自然地就可以把这个变化的电场看成一种等效的电流，而整个电路的电可以把这个变化的电场看成一种等效的电流，而整个电路的电流就没有因为电容的缘故而断开，而是仍然保持连续性。这个流就没有因为电容的缘故而断开，而是仍然保持连续性。这个等效的电流就是位移电流。等效的电流就是位移电流。 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组195 .3 5 .3 电磁场的基本方程组电磁场的基本方程组积分形式积分形式微分形式微分形式全电流定律：麦克斯韦第全电流定律：麦克斯韦第一方程，表明一
14、方程，表明传导电流和传导电流和变化变化 的电场都能产生磁场。的电场都能产生磁场。电磁感应定律：麦克斯韦电磁感应定律：麦克斯韦第二方程，表明电荷和变第二方程，表明电荷和变化的磁场都能产生电场。化的磁场都能产生电场。磁通连续性原理：表明磁通连续性原理：表明磁场是无源场磁场是无源场 , , 磁力线磁力线总是闭合曲线。总是闭合曲线。高斯定律：表明电荷以高斯定律：表明电荷以发散的方式产生电场发散的方式产生电场 ( (变化的磁场以涡旋的形变化的磁场以涡旋的形式产生电场式产生电场) )。2022-4-16麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组20在各同同性媒质中，有关场矢量之间的关系用下列辅助方在各同同性媒质中，有关
15、场矢量之间的关系用下列辅助方程表示程表示: :EJEDHBd() dlStDHlJSddlSt BElSd0SBSdSqDS麦克斯韦第一、二方程是独立方程，后面两个方程可以从麦克斯韦第一、二方程是独立方程，后面两个方程可以从中推得。中推得。静态场和恒定场是时变场的两种特殊形式。静态场和恒定场是时变场的两种特殊形式。麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组21 时变电磁场中媒质分界面上的衔接条件的推导时变电磁场中媒质分界面上的衔接条件的推导方式与前三章类似，归纳如下：方式与前三章类似，归纳如下： 分界面上的衔接条件分界面上的衔接条件 ( ( Boundary ConditionsBoundary Condi
16、tions ) )2t1tHHK1n2nBB磁场：磁场：2t1tEE2n1nDD电场：电场：折射定律折射定律1122tantan1122tantan麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组22当分界面上不存在自由面电流和自由面当分界面上不存在自由面电流和自由面电荷时，时变电磁场的分界面条件可简电荷时，时变电磁场的分界面条件可简化为化为1122tantan1122tantan1122111221122111222sinsincoscossinsincoscosEEEEHHHH12麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组231.4.1 1.4.1 坡印廷定理坡印廷定理（Poynting Theorem）在时变场中，能量密
17、度为在时变场中，能量密度为体积体积V内储存的能量为内储存的能量为HBED2121mewww（1）VHBEDVd21dVVwW）（2）1.4 1.4 坡印廷定理和坡印廷矢量坡印廷定理和坡印廷矢量 电磁能量符合自然界物质运动过程中能量守恒电磁能量符合自然界物质运动过程中能量守恒和转化定律和转化定律坡印廷定理；坡印廷定理； 坡印廷矢量是描述电磁场能量流动的物理量。坡印廷矢量是描述电磁场能量流动的物理量。麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组2411()22wttD EB H()()tt DBEHEHJHE()wt EHE J代入式代入式(3)(3)得得d() ddVAVWwtt VEHSE J V式式(2)(
18、2)对对 t t 求导，求导，则有则有()()() EHHEEH矢量恒等式矢量恒等式dVWwttV（3 3）麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组25() ddAVWVt EHSE J (),/, eeJEEEJE若体积内含有电源，则将代入上式第二项 整理得 物理意义：体积V内电源提供的功率，减去电阻消耗的热功率，减去电磁能量的增加率，等于穿出闭合面 S 的电磁功率。2e() dddSVVJWVVtEHSEJ坡印廷定理坡印廷定理麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组26VJVSVVddd)(2eJESHE恒定场中的坡印廷定理恒定场中的坡印廷定理 注意：磁铁与静电荷产生的磁场、电场不构成注意：磁铁与静电荷产生的磁场
19、、电场不构成能量的流动。能量的流动。 在恒定场中，场量是动态平衡下的恒定量，能在恒定场中，场量是动态平衡下的恒定量，能量守恒定律为：量守恒定律为：坡印廷定理坡印廷定理tWVJVVVSddd)(2eJESHE麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组27 表示单位时间内流过与电磁波传播方向相垂直单表示单位时间内流过与电磁波传播方向相垂直单位面积上的电磁能量，亦称为功率流密度，位面积上的电磁能量，亦称为功率流密度，S 的方向的方向代表波传播的方向，也是电磁能量流动的方向。代表波传播的方向，也是电磁能量流动的方向。1.4.2 坡印廷矢量坡印廷矢量 (Poynting Vector)HESW/m2 定义坡印廷矢量定
20、义坡印廷矢量电磁波的传播电磁波的传播麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组28 例例 用坡印廷矢量分析直流电源沿同轴电缆向负载用坡印廷矢量分析直流电源沿同轴电缆向负载传送能量的过程。设电缆为理想导体，内外半径分传送能量的过程。设电缆为理想导体，内外半径分别为别为a a 和和b b。解解: : 理想导体内部电磁场为零。理想导体内部电磁场为零。电场强度电场强度ln( / )rUrb aEe2IrHeln( / ) 2zUIrb arSEHe磁场强度磁场强度坡印廷矢量坡印廷矢量图图 同轴电缆中的电磁能流同轴电缆中的电磁能流 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组292d2 d2ln( / )bAaUIPr rUIrb
21、a SA电源提供的能量全部被负载吸收。电源提供的能量全部被负载吸收。流入内外导体间的横截面流入内外导体间的横截面A A 的功率为的功率为ln( / ) 2zUIrb arSEHe坡印廷矢量坡印廷矢量电磁能量是通过导体周围的介质传播的，导线只电磁能量是通过导体周围的介质传播的，导线只起导向作用。起导向作用。麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组302zaJIEe22IaHe导体吸收的功率为导体吸收的功率为: :() dSP EHS222lII Ra 例例 导线半径为导线半径为a，长为，长为 l，电导率为，电导率为 ，试用坡印，试用坡印亭矢量计算导线损耗的能量。亭矢量计算导线损耗的能量。电场电场磁场磁场解解
22、: : 思路：思路：,IEHSP设设图图 计算导线损耗的计算导线损耗的能量能量麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组31表明：导体电阻所消耗的能量是由外部传递的。表明：导体电阻所消耗的能量是由外部传递的。tnSEH电源提供的能量一部分用于导线损耗电源提供的能量一部分用于导线损耗另一部分传递给负载另一部分传递给负载ntSEH图图 导体有电阻时同轴电缆中的导体有电阻时同轴电缆中的E E、H H 与与S S麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组32 例例 已知时变电磁场中矢量位已知时变电磁场中矢量位 ， 其其中中Am、k是常数，求电场强度、磁场强度和坡印廷矢量。是常数，求电场强度、磁场强度和坡印廷矢量。 sin()xmAe Atkz解：解： cos()cos()xyymymABAee kAtkztkHeAtkz 0,ACt 如果假设过去某一时刻，场还没有建立，则如果假设过去某一时刻，场还没有建立，则C=0。 cos()xmAEeAtkzt
