1、数学是一种精神，一种理性的精神。l数学思想之：正难则反反证法1 1、尝试证明命题：“一个三角形中不可能有两个直角”。二、合作探究二、合作探究 体验发现体验发现2 2、已知：在ABC中，ABAC, 求证：B C”。A AB BC C解析：解析：由由C=90C=90可知是直角三角形，根可知是直角三角形，根据勾股定理可知据勾股定理可知a a2 2 +b+b2 2 c c2 .2 .3 3、如图，在如图，在ABCABC中，中，AB=cAB=c，BC=aBC=a，AC=b,AC=b,如果如果C=90C=90，a a、b b、c c三边有何关系？为什三边有何关系？为什么？么？A AC Ca ab bc c
2、二、合作探究二、合作探究 体验发现体验发现B探究：探究：假设假设a a2 2 +b+b2 2 c c2 2，由勾股定理逆定理可知三角形，由勾股定理逆定理可知三角形ABCABC是直角三角形，且是直角三角形，且C=90C=90，这与已知条件，这与已知条件C90C90矛盾。假设不成立，从而说明原结论矛盾。假设不成立，从而说明原结论a a2 2 +b+b2 2 c c2 2成立。成立。A AC CB B 若将上面的条件改为若将上面的条件改为“在在ABCABC中，中，AB=cAB=c，BC=aBC=a，AC=b,C90AC=b,C90”，请问，请问结论结论a a2 2 +b+b2 2 c c2 2成立吗
3、？请说明理由。成立吗？请说明理由。a ab bc c问题问题：二、合作探究二、合作探究 体验发现体验发现二、合作探究二、合作探究 体验发现体验发现反证法的定义：反证法的定义：假设命题结论的反面成立，从这个假设出发，经过推理得出与已知事实（条件、公理、定义、定理、法则、公式等）相矛盾的结果，证明结论否定不成立，间接肯定原命题的结论成立的证明方法叫做反证法。4、你能概括出反证法的步骤吗？、证明命题：“一个三角形中不可能有两个直角”。、已知：在ABC中，ABAC, 求证：B C”。、“在ABC中，AB=c，BC=a，AC=b, C90，则a2 +b2 c2”。二、合作探究二、合作探究 体验发现体验发
4、现二、合作探究二、合作探究 体验发现体验发现反证法的步骤：反证法的步骤： 反 设： 假设命题的结论不成立，即假设结 论反面成立。 找矛盾：从假设出发，经过正确的推理证明， 得出矛盾。 结 论： 由矛盾判定假设不正确，从而肯定 命题的结论正确。练习：写出下列各结论的反面：练习：写出下列各结论的反面：（1 1）a/ba/b（2 2）a0a0 （3 3）b b是正数是正数 ( 4 ) ( 4 )至多有一个至多有一个 （5 5）至少有一个）至少有一个a60A60,B60,B60,C60,C60A+B+C180A+B+C180三角形的内角和为三角形的内角和为180180ABCABC中至少有一个内角小于或
5、等于中至少有一个内角小于或等于6060. .点拨：至少一个的反面是没有！点拨：至少一个的反面是没有！例例2 2A+B+C60A+B+C60+60+60+60+60=180=180三、反思提炼三、反思提炼 加深认识加深认识例例3: 3: 若若a a1 1、a a2 2、a a3 3、a a4 4、a a5 5都是实数，且都是实数，且 a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4+a+a5 51 1试说明这五个数试说明这五个数 中至少有一个大于或等于中至少有一个大于或等于1/51/5。 证明：假设_，则a1+a2+a3+a4+a5_ =_与_ 矛盾因此假设不成立所以_ 1/5+1/5+1
6、/5+1/5+1/51/5+1/5+1/5+1/5+1/55 5个数都小于个数都小于1/51/51 1已知条件已知条件a1+a2+a3+a4+a5=1这这5 5个数中至少有一个大于或等个数中至少有一个大于或等1/51/5三、反思提炼三、反思提炼 加深认识加深认识三、反思提炼三、反思提炼 加深认识加深认识适用反证法的题型：1、直接证明困难2、需分成很多类进行讨论类命题3、结论为“至少”、“至多”、“无穷多个”类命题4、唯一性、存在性命题5、否定性命题三、反思提炼三、反思提炼 加深认识加深认识常用互为否定的表述形式：常用互为否定的表述形式：正正面面词词是是都都是是至少至少一个一个至多至多n n个个
7、反面词不是不都是一个也没有至少(n+1)个要求：声音洪亮，表达清晰超越梦想(抢答题)123456781 1、说出下列命题的反面：、说出下列命题的反面：（1 1）a a是实数。是实数。 （2) a2) a不大于不大于2 2。2 2、说出下列命题的反面：、说出下列命题的反面：（3 3）至少有）至少有2 2个。个。 （4) 4) 最多有一个。最多有一个。3 3、用反证法证明、用反证法证明“若若a a2 2 b b2 2, ,则则a a b”b”的第一步是的第一步是。4 4、用反证法证明、用反证法证明“如果一个三角形没如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不有两个相等的角，那么这个三角形不是等
8、腰三角形是等腰三角形”的第一步是的第一步是。5 5否定结论否定结论“至多有两个解至多有两个解”的说法的说法中，正确的是中，正确的是( () )A A有一个解有一个解B B有两个解有两个解C C至少有三个解至少有三个解D D至少有两个解至少有两个解6.6.命题命题“任意多面体的面至少有一个任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形是三角形或四边形或五边形”的结论的结论的否定是的否定是_7 7梁正、赵光卓、任一杰三个人，梁梁正、赵光卓、任一杰三个人，梁 正说赵光卓撒谎，赵光卓说任一杰正说赵光卓撒谎，赵光卓说任一杰 撒谎，任一杰说梁正、赵光卓都撒撒谎，任一杰说梁正、赵光卓都撒 谎。则任一杰一定
9、是在撒谎，你谎。则任一杰一定是在撒谎，你 知道为什么吗？知道为什么吗？8 8、华罗庚爷爷的有趣的数学游戏。、华罗庚爷爷的有趣的数学游戏。有位老师，想辨别他的有位老师，想辨别他的3 3个学生谁更聪明。个学生谁更聪明。他采用如下的方法：事先准备好他采用如下的方法：事先准备好3 3顶白帽子，顶白帽子，2 2顶黑帽子，让他们看到，然后，叫他们闭顶黑帽子，让他们看到，然后，叫他们闭上眼睛，分别给戴上帽子，藏起剩下的上眼睛，分别给戴上帽子，藏起剩下的2 2顶顶帽子，最后，叫他们睁开眼，看着别人的帽子，最后，叫他们睁开眼，看着别人的帽子，说出自己所戴帽子的颜色。帽子，说出自己所戴帽子的颜色。 3 3个学生互
10、相看了看，都踌躇了一会，个学生互相看了看，都踌躇了一会，并异口同声地说出自己戴的是白帽子。并异口同声地说出自己戴的是白帽子。四、举一反三 学以致用PART 01诸葛亮与反证法三国故事知多少？（五）矢志不渝情系反证法 罗巴切夫斯基 俄国数学家，非欧几何的早期发现人之一。反证法是数学家最精当的武器之一。反证法是数学家最精当的武器之一。 牛顿禁止数学家使用反证法，就像禁止拳击家禁止数学家使用反证法，就像禁止拳击家使用拳头。使用拳头。 希尔伯特反证法是数学家最有力的一件武器，比起象反证法是数学家最有力的一件武器，比起象棋开局时以牺牲一子以取得优势的让棋法，棋开局时以牺牲一子以取得优势的让棋法，他还要高明，象棋对弈者不外是牺牲一棋一他还要高明，象棋对弈者不外是牺牲一棋一子，数学家索性把全局拱手让给对方子，数学家索性把全局拱手让给对方。 哈代（五）矢志不渝情系反证法 七、走出课堂七、走出课堂 联系生活联系生活作业：以小组为单位收集相关的资料， 以生活中的反证法为题写 一篇小论文，字数不限。
