1、上海交通大学数学科学学院上海交通大学数学科学学院数学实验数学实验寻找最速降线寻找最速降线 数学给我们一个用之不竭,充满真理的宝库,这些真理不是孤立的,而是以相互密切的关系并立着,而且随着科学的每一成功进展,我们会不断发现这些真理之间的新的接触点. C.F.Gauss 数学既不严峻,也不遥远,它和几乎所有的人类活动有关,又对每个真心对它感兴趣的人有益. R.C.Buck2 介绍一类最优问题的求解新框架-变分方法 连续,多元函数极值,积分等内容提要内容提要 回顾微积分有关知识 复习微分方程的求解的解析与数值方法 最速降线求解的仿真方法3 1696年John Bernoulli向他的兄长和其他数学家
2、挑战性地提出了最速降线（捷线）问题:一质量为m的质点，在重力作用下从定点A沿曲线下滑到定点B，AB试确定一条曲线，使得质点由A到B下滑时间最短. 假定B比A低，不计摩擦力和其他阻力等因素. 此问题导致数学新分支的产生.背景故事背景故事4思考思考 这是一个求最值的问题 与求函数的极值一样吗？ 与求线性规划问题中的极值一样吗？ 它的数学形式怎样？历史历史1697年5月号“教师学报”接收了5篇解答报告5贝努利贝努利 约翰约翰 Bernoulli,Johann 欧洲著名科学家族 涉猎 微积分、微分方程、解析几 何、 概率论以及变分法 谁发现 LHospital 法则 欧拉的指导者和老师更贡献于物理、化
3、学和天文学 瑞士的骄傲 6问题数学形式问题数学形式ABxyc), 0 (),(cxxyy设曲线为满足 y(0)=0, y(c)=H我们要求的是怎样的函数y(x)下滑的时间)(yTT质点沿 y=y(x)若使得T(y) 取得最小值minT(y)7近似方法近似方法如图建立坐标系,设A为原点, B为(c,H), 将带状区域直线 y=yk=kH/n 把这区域ABxycyk-1xk-1ykxk分成 n个带状小区域.在带状域yk-1yyk ,可近似认为kkgyv2221)()(iiiyxx而曲线段近似认为是直线段,其长度 0 y 1e-10s=0;for j=1:nv=sqrt(2*g*j*h);s=s+v
4、/sqrt(1.0-c2*v2);endf=c-G/(h*s);if f0b=c;else a=c;endc=(a+b)/2;i=i+1;endx(1)=sqrt(g*h/2)*c*h/sqrt(1.0-c*c*2*g*h);T=sqrt(x(1)-a)2+h2)/sqrt(2*g*h)for k=2:nv=sqrt(2*g*k*h);x(k)=x(k-1)+c*v*h/sqrt(1.0-c*c*v*v);T=T+sqrt(x(k)-x(k-1)2+h2)/v;end plot(x,-(0.1:h:H),*r)利用数学软件求近似最速降线和最短时间12利用数学软件求解得到的曲线13再作分析再作分
5、析质点要走最快的路线(曲线)，应该如何变化？ 依然用从质点速度变化的角度考虑设质点从A1经直线 l 到达A2，质点速度在l 的上侧为v1，下侧为v2，则质点如何运动才最省时？A1A212 ClOD如图,若A1,A2到l 的垂足分为a, b, OD =c, 质点经过l于C别为O,D, A1,A2 到l的距离分别OC =x 那么质点由A1到A2需时间14222221)(bxcvxcaxvx222221)(bxcvxcaxvxdxdt惟一驻点满足也即2211sinsinvv这就是光学中的 Snell 折射定律A1A212ClODxabcx222122)(vbxcvaxt15建立数学模型建立数学模型分
6、析：如图建坐标系，AB 分割成小段, 考虑在第kABxyck+1k层与k +1层质点在曲线上的下滑，依能量守恒律，可近似认为质点在每层内的速度不变，于是依辅助结论知11sinsinkkkkvv注意上式对任何k成立，若用与x 轴平行的直线将16ABxyc令平行线的间距趋于零，我们就得到在曲线上任何一点（常数）1sinCv其中 为该点切线与铅垂线的夹角故导出（常数）1sinCvkk17导出微分方程导出微分方程gyv2ABxyccottan y又因111cot1sin22y于是得到2212)1 (121CyyCygy18一个引理设集合E0=g(x)C1 g(a) =g(b)=0如果在a,b连续函数
7、f(x)满足那么f (x) 0( ) ( )d0baf x g x x 对g (x) E0 ，总有19), 0 (),(cxxyygyv2另一种方法变分法ABxyc设曲线为满足 y(0)=0, y(c)=H在曲线上P(x,y）处质点速度为又设从A到P的弧长为s,则221d1ddddd2yxyxsvtttgy从而质点沿曲线由A到B需时间2011( )d2cyTT yxyg20,Ey)(min) (yTyTEy那么我们的问题成为求某个使得引进集合0)(, 0) 0 (, , 0 )(10ccCxE显然若)( xy是最速曲线函数,则0,)()( E,ExxyR于是函数)()(yTF在0取得最小值故得
8、0d0dF设集合)(, 0)0(, , 0)(1HcyycCyxyE21yygyyf2121),(0( )(,)dcFf yyx那么对0( )(,)(,) dcyyFfyyfyyx 0 (0)( ,)( ,) dcyyFfy yfy yx依复合函数求导法注意第二项000d ( ,)d( ,)( ,) ddcccyyyfy yxfy yfy yxx0为了计算)0(F,记22的任意性，由d ( ,)( ,)0dyyfy yfy yxyygyyf2121),(d ( ,)( ,)0dyy fy yf y yx上式乘以可化为y 1),(),(Cyyfyyfyy这里满足方程即 y 00d ( ,)( ,
9、) d0,dcyyfy yfy yxEx于是导出2321221)1 (gCyy注意从降线定义可知,0 y故121)2(1gCC,yCy其中1）可求解析解解法2）也可以用数值方法，例如欧拉法求解得到方程为24由于在原点y = 0 ,可改写方程0d0dyxyxyCy 求解析解求解析解提示：提示：(sin ),(1cos )xRyR解析解25function cycloid(G,H,n)if nargin=2 %两个参数则默认n为100 n=100;endg=9.8;h=H/n;minc=0;maxc=1/sqrt(2*g*h*n);x=0;y=0; while abs(G-x)1e-4 x=0;
10、c=(minc+maxc)/2; %二分法求c值 for j=1:n y=j*h; v=sqrt(2*g*y); x=x+c*v*h/sqrt(1-c2*v2); gx(j)=x; gy(j)=y; end最速降线问题仿真方法最速降线问题仿真方法Matlab程序程序26if xG %判断最后一个点与所给点的位置情况 minc=c; else maxc=c; endend T=0;for j=1:n v=sqrt(2*g*j*h); if j=1 s=sqrt(gx(1)2+h2); else s=sqrt(gx(j)-gx(j-1)2+h2); end T=T+s/v;end plot(gx,
11、-gy,*r);Tend27取G=H=10，n=10028取G=H=10，精确解29取G=H=10，仿真方法与精确解30实验任务实验任务1. 分别用数值方法和解析方法求出的最速降线的曲线和下降时间,将两种结果比较2. 在一条直线 l 的上侧有两个点A,B,试找出一条从A 到B的曲线,使得这曲线绕l 旋转所得的旋转面的面积最小.设直线l与点A,B在xy 平面，l为x轴，A为(0,（e+e-1)/2), B为(3，(e2+e-2)/2)(设c=/2, H=1)31)0(122yzx用曲线连接面上A(0,0,1), B(1,3,0)两点,求使得AB 弧长最短的曲线(短程线)4. 在第3题中，将曲面改为22yxz求在曲面上连接A(1,0,1),B(0,2,2)的最短弧线（建议以数值和解析两种方法求解加以比较）3. 圆柱面方程为32上任何一点无摩擦地滑到最低点,试求下滑所5. 若求出最速降线的曲线方程,试将质点从曲线需时间注：若选择本次实验，必须完成任务注：若选择本次实验，必须完成任务1 1、2 233上海交通大学数学科学学院上海交通大学数学科学学院数学实验数学实验谢谢各位！谢谢各位！35
